1、第 1 页 共 5 页绵阳南山中学 2020 年绵阳三诊模拟考试数学试题（文史类）参考答案 题号123456789101112选项BADDBCBCABAA1377，146，152，16108 6.解：若 a，b，c 两两所成角相等，则所成角为 0或 120，当它们两两所成角为 0时，|abc|a|b|c|1135；当它们两两所成角是 120时，则 ab11cos12012，同理 ac32，bc32，|abc|2a2b2c22ab2ac2bc1191334.|abc|2.故选 C.9.解析：选 A 在区间0,2中随机取两个数，构成的区域如图中大正方形，又“这两个数中较大的数大于23”为“这两个数
2、都小于或等于23”的对立事件，且在区间0,2中随机取两个数，这两个数都小于23所构成的平面区域的面积为232349，故两个数中较大的数大于23的概率P149489.11.【答案】A 直线 y 3x 与 y 3x 的夹角为 60，且 3x2y20，PA 与 PB 的夹角为 120，|PA|PB|3xy|2|3xy|23x2y24，S PAB12|PA|PB|sin 120 316(3x2y2)3 316，即 P 点的轨迹方程为 x2y231，半焦距为 c2，焦点坐标可以为(2,0)12 答案：A 解析：222xgxlnx，020gln，12 220gln，gx 在(0,1)上有零点，又 22 2
3、20 xgxln 在0,1 上成立，gx 在(0,1)上有唯一零点，设为0 x，则当0()0,xx时，0gx，当0(,)1xx时，0gx，g x在10,x上有最大值0()2g x，又 011gg，01,()g xg x，令 01,()tg xg x，要使 0fg x对10,x恒成立，则 0f t 对01,()tg x恒成立，即230tta对01,()tg x恒成立，分离a，得23att，函数23tt的对称轴为32t，又0()2g x，2(2)3mintt，则2a.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中正确理解题意，合理利用二次第 2 页 共 5 页函数的图象与性质是解答的关键，
4、着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于中档试题15.答案：2 解析：由题意知 F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4 时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为 2.16.【答案】108 正三棱锥 PABC，PA，PB，PC 两两垂直，此正三棱锥的外接球即以 PA，PB，PC 为三边的正方体的外接球 O，设球 O 的半径为 R，则正方体的边长为2 3R3，正三棱锥 PABC 的体积为 36，V13S PACPB13122 3R32 3R32 3R336，R3
5、 3，球 O 的表面积为 S4R2108.17.(1)证明 在图中，可得 ACBC2 2，从而 AC2BC2AB2，故 ACBC，又平面 ADC平面 ABC，平面 ADC平面 ABCAC，BC平面 ABC，BC平面 ACD.(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥 B-ACD 的高，BC2 2，S ACD2，VB-ACD13S ACDBC1322 24 23，又 S BCD2 2，由等体积性可知，h=2.(也可以先证明 AD平面 BCD,AD 就是所求高)18.解：(1)依题意，x 6，y 4，b241864356862 4968，a4496861134，y 关于 x 的线性回归方程为y4968
6、x1134.(2)由题意知，该商品进货量不超过 6 吨的有 2,3,4,5,6 共有 5 个，任取2 个有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共 10 种情况，故该商品进货量恰有一次不超过 3 吨的有(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共 6 种情况，故该商品进货量恰有一次不超过 3 吨的概率 P61035.19.【答案】解(1)由2423nnnSaa得：2111423,2nnnSaan，两式相减整理得：12,2nnaan，又由已知可得：13a 于是，an是以13a 为首项，
7、2 为公差的等差数列.an2n1，nN*.(2)由 bn1nn1212n112n3，得 Tn b1 b2 b3 bn 12 1315151712n112n3 12 1312n3 nn，由nn 215，解得 n6.故所求的最大正整数 n 为 5.第 3 页 共 5 页20.解：(1)设 AF1 的中点为 M，连接 OM，AF2(O 为坐标原点)，在 AF1F2 中，O 为 F1F2的中点，所以|OM|12|AF2|12(2a|AF1|)a12|AF1|.由题意得|OM|312|AF1|，所以 a3，故椭圆的长轴长为 6.(2)由 b1，ca2 23，a2b2c2,得 c2 2，a3，所以椭圆 C
8、 的方程为x29y21.当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 yk(x2 2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x29y29，ykx2 2消去 y，得(9k21)x236 2k2x72k290，0 恒成立则 x1x236 2k29k21，x1x272k299k21，y1y2k2(x12 2)(x22 2)k29k21.设 T(x0,0)，则 TA TBx1x2(x1x2)x0 x20y1y2x2036 2x0k2x2099k21，当 9x2036 2x0719(x209)，即 x019 29时，TA TB为定值，定值为 x209 781.当直线 AB 的斜率不存在时，不妨设
9、 A2 2，13，B2 2，13，当 T19 29，0 时，TA TB29，13 29，13 781.综上，在 x 轴上存在定点 T19 29，0，使得 TA TB为定值 78121.（1）212(12)1()2(12)axa xfxaxaxx(21)(1)axxx，当0a 时，由()0fx，得112xa，21x ，当12a1，即102a时，()f x 在(0,1)上是减函数，所以()f x 在 1,12上的最小值为(1)1fa 2 分当 11122a，即112a 时，()f x 在 11,22a上是减函数，在1,12a上是增函数，所以()f x 的最小值为11()1ln(2)24faaa 4
10、 分第 4 页 共 5 页当1122a，即1a 时，()f x 在 1,12上是增函数，所以()f x 的最小值为113()ln2224fa综上，()f x 在区间 1,12上的最小值min()f x13ln2,1,24111ln(2),1,4211,0.2aaaaaaa 6 分（2）设00(,)M xy，则点 N 的横坐标为1202xxx，直线 AB 的斜率2212112122112121()(12)()lnlnyyka xxa xxxxxxxx=211212lnln()(12)xxa xxaxx，曲线 C 在点 N 处的切线斜率20()kfx0012(12)axax12122()(12)a
11、 xxaxx，假设曲线 C 在点 N 处的切线平行于直线 AB，则12kk，即211212lnln2=xxxxxx，9 分所以22211211212(1)2()ln1xxxxxxxxxx，不妨设12xx，211xtx ，则2(1)ln1ttt，令2(1)()ln(1)1tg tttt，22214(1)()0(1+t)(1)tg tttt，所以()g t 在(1,+)上是增函数，又(1)0g，所以()0g t，即2(1)ln1ttt不成立，所以曲线 C 在点 N 处的切线不平行于直线 AB12 分22.解(1)由x5 2cos t，y3 2sin t消去参数 t，得(x5)2(y3)22，所以圆
12、 C 的普通方程为(x5)2(y3)22.由 22 cos4 1，得 cos sin 2，所以直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(2)直线 l 与 x 轴，y 轴的交点分别为 A(2,0)，B(0,2)，第 5 页 共 5 页设点 P 的坐标为(5 2cos，3 2sin)，则点 P 到直线 l 的距离 d|5 2cos 3 2sin 2|262cos42，当 cos4-1，即 42k+(kZ)时，点 P 到直线 l 的距离取得最大值，所以 dmax4 2，又|AB|2 2，所以 PAB 面积的最小值 S12dmax|AB|124 22 28.23.解：(1)因为 f(x)3f(x1)，所以|x1|3|x2|x1|x2|3x2，2x33，解得 0 x1 或 1x2 或 2x3，所以 0 x3，故不等式 f(x)3f(x1)的解集为0,3(2)因为1，32 M，所以当 x1，32 时，f(x)f(x1)|xa|恒成立，而 f(x)f(x1)|xa|x1|x|xa|0|xa|x|x1|，因为 x1，32，所以|xa|1，即 x1ax1，由题意，知 x1ax1 对于任意的 x1，32 恒成立，所以12a2，故实数 a 的取值范围为12，2.
