1、课时提升练(三十七)空间几何体的表面积与体积一、选择题1(2013课标全国卷)某几何体的三视图如图7212所示，则该几何体的体积为()图7212A168B88C1616 D.816【解析】原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V422224168.【答案】A2(2014广州模拟)已知一个几何体的三视图如图7213所示(单位：cm)，那么这个几何体的侧面积是()图7213A(1)cm2B.(3)cm2C(4)cm2D.(5)cm2【解析】由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以侧面积为(4)cm2.故选C.【答案】C3(2014辽宁高考)某几何体三视图如图721
2、4所示，则该几何体的体积为()图7214A82B.8C8D.8【解析】这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V2312228.【答案】B4(2014课标全国卷)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3B. C1D.【解析】如图，在正ABC中，D为BC中点，则有ADAB，SDB1C12.又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高V三棱锥AB1DC1SDB1C1AD1.【答案】C5(2013重庆高考)某几何体的三视图如图7215所示，则该几
3、何体的表面积为()图7215A180B200 C220D240【解析】等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S底(82)4240，S侧1081022105200，S表40200240，故选D.【答案】D6(2015石家庄模拟)一个正三棱柱的侧视图是边长为的正方形，则它的外接球的表面积等于()图7216A8B. C9D.【解析】因为正三棱柱ABCDEF的侧视图是边长为的正方形，所以正三棱柱的高为，正三角形的高也是.设它的外接球的球心为O，半径为R，底面ABC的中心为G，所以OGA是直角三角形，OG是高的一半，即OG.又GA是正三角形ABC的高的，所以GA.在
4、OGA中，由勾股定理得R2OG2GA2，解得R2.所以外接球的表面积为4R2，故选B.【答案】B二、填空题7(2013陕西高考)某几何体的三视图如图7217所示，则其表面积为_图7217【解析】由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即43.【答案】38(2014天津高考)一个几何体的三视图如图7218所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.图7218【解析】根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m，高为2 m的圆锥，下部是一个底面直径为2 m，高为4 m的圆柱故该几何体的体积V222124(m3)【答案】9(2015福州模拟)已知两个圆锥
5、有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_【解析】如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.由题意得r24R2.r2R2，根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，且ABO1C.OO1R，因此体积较小的圆锥的高AO1RR，体积较大的圆锥的高BO1RR.且这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为.【答案】三、解答题10有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求
6、这时容器中水的深度【解】如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为V2hh3，由VV，得hr.11如图7219，已知平行四边形ABCD中，BC2，BDCD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点记CDx，V(x)表示四棱锥FABCD的体积(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值图7219【解】(1)平面ADEF平面ABCD，交线为AD且FAAD，FA平面
7、ABCD.BDCD，BC2，CDx，FA2，BD(0x2)，SABCDCDBDx，V(x)SABCDFAx(0x2)(2)V(x)x.0x2，0x24，当x22，即x时，V(x)取得最大值，且V(x)max.12如图7220，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB1，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2.图7220(1)求AB的长度；(2)求该长方体外接球的表面积【解】(1)设ABx，点A到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC1|.甲如图乙的最短路程为|AC1|，乙因为x1，所以x22x2x222x24，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.由题意得2，解得x2.即AB的长度为2.(2)设长方体外接球的半径为R，则(2R)21212226，所以R2，所以S表4R26.即该长方体外接球的表面积为6.
