1、天津市静海区第六中学2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一选择题(每题5分，共45分)1. 设集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的并集运算，求得可得，再集合集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，可得，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合交集与并集的概念及运算，其中解答中熟记集合的交集和并集的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.2. 设xR，则“|x2|0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进
2、行判断即可【详解】解：由“|x2|1”得1x3，由x2+x20得x1或x2，即“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故选A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断3. 设，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】一是借助于中间值1，二是化为同底数的对数比较可得【详解】，即故选：B.【点睛】本题考查对数和幂的比较大小，比较大小时，同是对数的能化为同底数的化为同底数，同是幂的化为同底数或者化为同指数，不能转化的借助中间值如1，0等等比较4. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. B. C
3、. D. 【答案】D【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是，则，抛物线的准线是，因此，即，由联立解得，所以双曲线方程为故选D考点：双曲线的标准方程5. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.【点
4、睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可.【详解】函数的定义域为，则函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，当时，排除，当时，排除，故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的
5、图象.7. 已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，.则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，从而可分别以直线AC，BD为x，y轴，建立平面直角坐标系，并根据条件可求出B，C，D三点的坐标，进而根据，可求出E，F点的坐标，从而得出向量，的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可【详解】根据题意，分别以直线AC，BD为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，根据菱形ABCD的边长为2，可求出以下几点的坐标：，故选：A【点睛】本题考查了通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，中点坐标和定比分点坐标公式，向量数量积的
6、坐标运算，考查了计算能力，属于中档题8. 已知，若2是与等比中项，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据2是与的等比中项可得，的等量关系，然后直接利用基本不等式可求的最小值即可【详解】2是与的等比中项，即，结合可得，当且仅当，即，时取等号，即的最小值为，故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及等比中项的概念，同时考查了计算能力，属于中档题.9. 已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知，函数的图象与直线有三个交点，利用直线与曲线和曲线相切时，求出对应的实数的值，然后利用数形
7、结合思想可求得实数的取值范围.【详解】作出函数的图象与直线的图象如下图所示：当直线与曲线相切时，由，可得，解得，由图象可知，切点横坐标为负数，则，则；当直线与曲线相切时，由得，解得.当直线过原点时，.由图象可知，当直线与曲线有三个交点时，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两曲线的交点个数，同时要注意直线与曲线相切的临界位置的分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二填空题(每题5分，共30分)10. 已知复数z满足(1i)z1i(i是虚数单位)，则|z|_.【答案】【解析】z，|z|.11. 的展开式中的系数为_（用数字作答）【答案】60【解析】
8、的展开式的通项公式为令得的系数为故答案为6012. 如图是一样本的频率分布直方图若样本容量为100，则样本数据在15,20)内的频数是_【答案】30【解析】由频率分布直方图的性质可知：样本数据在区间内的频率是，故样本数据在区间内的频数是，应填答案13. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为_【答案】【解析】分析】先根据三棱柱的体积求圆柱的底面半径与母线长，再根据圆柱的侧面积求结果.【详解】设圆柱的底面半径为母线为，则底面正三角形边长为由三棱柱的体积得，因此圆柱的侧面积为【点睛】若所给定的几何体是可
9、直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解关键是求出高.14. 已知直线恒过定点，且以为圆心，5为半径的圆与直线相交于两点，则弦的长为_.【答案】【解析】分析：求出直线过的定点坐标C，以及圆心到直线的距离d，根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可详解：由得，即直线恒过定点C（1，2），以C为圆心，5为半径的圆的标准方程为（x+1）2+（y+2）2=25，圆心到直线的距离d=，则AB的长度为|AB|=2=2=2，故答案为2点睛：当直线与圆相交时，弦长问题属常见的问题，最常用的手法是弦心距，弦长一半，圆的半径构成直角三角形，运用勾股定理解题.15. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球
10、比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.则事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会的概率为_，设随机变量为“选出的4人中种子选手的人数”，则的数学期望为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用组合知识求出基本事件总数及事件发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型的概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望【详解】解：记“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一
11、个协会”为事件，由已知，有，事件发生的概率为；随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，2，3，随机变量的分布列为： 1 2 3 4 随机变量数学期望故答案为：；【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力三解答题(共5题，共75分)16. 在中，内角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）求的值.【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得bc.结合条件得a2c，再利用余弦定理求cos A的值；（2）先根据同角三角函数公式得sin A，再根据二倍角公式得cos 2A，sin 2
12、A，最后根据两角差余弦公式求cos的值试题解析：(1)在ABC中，由，及sin Bsin C，可得bc.由acb，得a2c.所以cos A.(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.于是cos 2A2cos2A1，sin 2A2sin Acos A.所以coscos 2Acossin 2Asin.17. 如图:已知矩形所在平面与底面垂直,直角梯形中/,，,.（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）在边上找一点，使所成角的余弦值为,并求线段的长.【答案】（）见解析；（） ；（）的长度为【解析】试题分析：（）建立直角坐标系易得,则，且，则平面；（）可求得平面法向量，平面法向量，故，；（）设为上
13、一点，则，则有，则,解得.从而线段的长度为试题解析：（）证明矩形所在平面与底面垂直，则底面/,，则，则知,则，且，则平面（）设平面法向量，设,则求得.设二面角的平面角为，设平面法向量，则，由.得，.（）设为上一点，则，则有，则,解得.，则线段的长度为.考点：立体几何的综合应用18. 设数列的前项和为，为等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用递推公式，可得，代入分别可求数列的首项，公比，从而可求.（2）由（1）可得，利用乘“公比”错位相减法求和【详解】解：(1)当时，当时，满足上式，故的通项式为设的公比为，由已知条
14、件知，所以，即(2)，两式相减得：【点睛】本题考查等差数列、等比数列的求法，错位相减法求数列通项，属于中档题.19. 已知过点的椭圆：的左右焦点分别为，为椭圆上的任意一点，且，成等差数列.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线：交椭圆于，两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出、的关系，再根据椭圆过点，求出、的值，即可写出椭圆的标准方程；（2）设，根据题意知，；联立方程消去，由方程的根与系数关系求得、，由点在以为直径的圆外，得为锐角，；由此列不等式求出的取值范围【详解】解：（1），成等差数列，由椭圆定义得，
15、；又椭圆过点，；，解得，；椭圆的标准方程为；（2）设，联立方程，消去得：；依题意直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，由方程的根与系数关系可得，；可得；由，解得，；由点在以为直径的圆外，得为锐角，即；由，；即，整理得，解得：或，实数的取值范围是或【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形20. 已知函数（，为自然对数的底数）.（1）若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3
16、）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2；（2）当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递减区间为，单调递增区间为；（3）【解析】【分析】（1）由，得出，利用，解得；（2），令，解得：或0， 对分类讨论，利用导数研究出函数的单调性；（3）由于在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立，即当时，设，则，构造函数，通过对分类讨论，利用导数研究函数的单调性，即可求出实数的取值范围.【详解】（1）解：由于，因为函数在点处的切线的斜率为，所以，解得：.（2）解：依题意知，令，解得：或0，当时，令，得或，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，令，得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（3）解：由于在区间上恒成立，即在区间上恒成立，依题意，当时，即当时，设，则，设，则，当时，当时，从而，所以在区间为上单调递增，又，当时，从而时，所以在区间为上单调递减，又，从而当时，即，于是当时，；当时，令，得，当时，在区间上单调递减，又，当时，从而当时，在区间上单调递增，又，从而当时，即，不合题意，综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究的单调性以及利用导数解决恒成立问题求参数方程，考查分类讨论思想和计算能力，属于难题
