1、12018 级高二下学期 5 月月考题 理科数学（考试时间：120 分钟；满分：150 分）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.复数iz3在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C2.有 8 名男三好学生，7 名女三好学生，从中选出一名学生出席市三好学生表彰大会，选法种数为（）A.7B.8C.15D.56答案C3.若复数immz)2()1(是纯虚数（i 是虚数单位），则实数m（）A.1B.1C.2D.1或 2答案B4.已知直线l 是曲线2xy 在点)1,1(P处的切线，则直线l 的斜率为（）A 2B1C 1D1 或1答案xy2，2k，选 A.5.
2、在读书活动中，一个学生要从 2 本不同的科技书，3 本不同的政治书中，各选一本来读，选法种数是（）A.7B.6C.5D.4答案 B6.已知命题 p：“*Nx，3)21(x”，则p为（）A*Nx，3)21(xB*Nx，3)21(xC*0Nx，3)21(0 xD*0Nx，3)21(0 x答案D7.设3)2(f，则xfxfx)2()2(lim0（）A.3B.2C.2D.3答案D28.已知)(xfy 的图象如图，)(xf 是)(xf的导数，则)(1xf 与)(2xf 的大小关系是（）A)()(21xfxfB)()(21xfxfC)()(21xfxfD)(1xf 与)(2xf 大小不能确定答案B9.下列
3、命题中，是真命题的是（）A1a，1b1abB求导：xx3)3(C0 ba1baD求导：xxcos1)(tan答案A10.已知复数biz1，则 z（）A.恒等于 1B.有最大值 1，无最小值C.有最小值 1，无最大值D.无最大值，也无最小值答案biz1，112 bz，选 C.11.若2是函数xeaxxxf)1()(2（Ra）的极值点，则)(xf的极小值点为（）A.25eB.1C.eD.2答案xeaxaxxf1)2()(2，01)2(24)2(2 eaaf，1a，xexxxf)2()(2，xxexxexxxf)1)(2()2()(2，选 B12.已知函数)(xf与)(xf 的图象如图所示，则函数x
4、exfxg)()(的递减区间为（）A.)4,0(B.)4,34(),1,(C.)34,0(D.),4(),1,0(答案D解析在)4,34(x，上方的图象是)(xf 的图象，xxxxexfxfeexfexfxg)()()()()()(2，令0)(xg，即0)()(xfxf，由图可得),4()1,0(x，故函数单调递减区间为),4(),1,0(，故选 D.3二、填空题(本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13.若iz21（i 是虚数单位），则z解：3z.14.设 p：21 x,q：ax 1,若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取范围是解：由 p 是 q 的充分不必要条件，
5、得2a,即 a 的取范围是),2(.15.若过原点的直线l 与曲线xey 相切，则切点坐标是解：切点坐标是),1(e.16.若xxxxfln3421)(2在区间1,tt上不单调，则实数t 的取值范围解：xxxxxxxxxf)3)(1(3434)(2，)(xf 在开区间)1,(tt有零点，注意到，1,tt的区间长度为1，结合图形知)3,2()1,0(t.三、解答题（17 题 10 分，其余各题每题 12 分，共 70 分，请写出必要的解题步骤）17.（本题 10 分）已知命题 p：021 m，q：012m.（I）若命题q为真命题，求实数 m 的取值范围.（II）若qp 为真命题，qp 为假命题，
6、求实数 m 的取值范围.【解析】（I）法一：q为：012m，命题q为真时，有1m或1m，即实数 m 的取值范围是),1()1,(;法二：当 q 真时，有11m，q为真时，1m或1m，即实数 m 的取值范围是),1()1,(;（II）由题意得qp,一真一假，即 p 真q 假，或 p 假 q 真，即)(qp真，或qp 真p 真：21m；p 假：21m，即p真：021 m，21m，q 真：11m，q 假：1m或1m，即q真：1m或1m，当 p 真 q 假，)(qp真时，1m，当 p 假 q 真，qp 真时，121 m，故实数 m 的取值范围是1,21)1,(。418.（本题 12 分）（I）复数ia
7、z)7(221，iaz)32(12，若izz5321，求实数 a 的值.（II）若i21是关于 x 的方程02cbxx（Rcb,）的根，求实数b 和c 的值解：（I）iiaazz53)102(3221，01522 aa，3a或5a.（II）法一：0)21()21(2cibi，024412cbibii，02441cbibi，0)42(3ibcb，04203bcb，52cb法二：ix211，ix212是一元二方程02cbxx的两根，541)21)(21(2)21()21(22121iiixxiixx，cxxbxx2121，52cb，52cb19.（本题 12 分）已知函数xxxxf1ln)(，)(
8、xf 是)(xf的导数.（I）求)(xf；（II）求曲线)(xfy 在1x处的切线方程.解：（I）11ln11ln)(2xxxxxxxf；（II）1)1(f，切点为)1,1(，2)1(fk，曲线切线方程为)1(21xy，即12 xy，即012 yx。20.（本题 12 分）（I）已知函数293)(23xxxxf，求函数)(xf的单调区间和极值；（II）求证：1 xex（Rx）.（I）解：)3)(1(3)32(3963)(22xxxxxxxf，)1,(1)3,1(3),3()(xf 正0负0正)(xf增极大值为 7减极小值为-25增由上表知：)(xf的增区间是)1,(和),3(，减区间是)3,1
9、(;当1x时，)(xf的极大值是7；当3x时，)(xf的极大值是25.（II）证明：1 xex01 xex，设1)(xexgx（Rx），则1)(xexg，)0,(0),0()(xg负0正)(xg减极小值为 0增5由上表知：)(xg的减区间是)0,(，增区间是),0(;当0 x时，)(xg的最大值为 0，01)(xexgx，1 xex.21.（本题 12 分）已知函数axxxxf2ln2)(（Ra）（I）若曲线)(xfy 在1x处的切线方程为12 xy，求 a 的值；（II）若函数maxxfxg)()(在,1ee上有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围解：（I）当2a时，xxxxf2ln2)(
10、2，axxxf22)(，则222)1(af.2a（II）法一：由题意得，mxxxg2ln2)(，则xxxxxxg)1)(1(222)(.,1eex，令0)(xg，得1x.当11 xe时，0)(xg，)(xg单调递增；当ex 1时，0)(xg，)(xg单调递减故)(xg在,1ee上有最大值1)1(mg.又212)1(emeg，22)(emeg，014)1()(22eeegeg，则)1()(egeg，)(xg在,1ee上有最小值22)(emeg，)(xg在,1ee上有两个不同的零点的条件是012)1(01)1(2emegmg，解得2121em，实数 m 的取值范围是12,1(2e.法二：由题意得，
11、mxxxg2ln2)(，令0ln2)(2mxxxg，则xxmln22，设xxxhln2)(2，,1eex，则xxxxxxh)1)(1(222)(.,1eex，令0)(xh，得1x.当11 xe时，0)(xh，)(xh单调递减；当ex 1时，0)(xh，)(xh单调递增故)(xh在,1ee上有最小值1)1(h.6又21)1(2 eeh，2)(2 eeh，014)1()(22eeeheh，则)1()(eheh，)(xh在,1ee上有最大值2)(2 eeh，)(xg在,1ee上有两个不同的零点的条件是2121em，实数 m 的取值范围是12,1(2e.22.（本题 12 分）已知函数xxxaxfln
12、)()(2（Ra）（I）若)(xf在1x处取到极值，求a 的值；（II）若0)(xf在),1 上恒成立，求a 的取值范围；解：（I）xaaxxf12)(，)(xf在1x 处取到极值，01)1(af，1a，当1a时，xxxxxxxxxf)1)(12(12112)(2（0 x），)(xf在)1,0(上单调递减，在),1(上单调递增，)(xf在1x 处取到极小值，符合条件，综上所述：1a（II）xaxaxxf12)(2，令12)(2axaxxg（1x），1 当0a时，01)(xxf，)(xf在),1 上单调递减，0)1()(fxf，不符合；2 当0a时，)(xg的抛物线的开口方向向上，对称轴为41x
13、，过点)1,0(，若01)1(ag，即1a，则)(xf在),1 上单调递增，0)1()(fxf，符合；若01)1(ag，即1a，则存在),1(0 x，使得0)(0 xg，于是)(xf在),10 x上单调递减，0)1()(fxf，不符合；3 当0a时，)(xg的抛物线的开口方向向上，对称轴为41x，过点)1,0(，01)1(ag，存在)1,0(0 x，使得0)(0 xg，于是)(xf在),1 上单调递减，0)1()(fxf，不符合；综上所述：a 的取值范围为),1 ；回顾与反思：本小题还别的方法吗？应当还有两种方法，请读者自已完成（III）证明：由（I）知令1a，当),1 x时，0ln)(2xxx（当且仅当1x时，取等号），7当2x时，xxxxxxx111)1(11ln12即当 x 2，3，4，n，有nnnnnn111)111()3121()211(ln13ln12ln1点睛：这个题目考查了导数在研究函数极值和单调性，最值中的应用，最终还用到了赋值的思想，证明不等式.其中有典型的恒成立求参的问题.一般是转化成函数最值问题，或者先变量分离，将参数和变量分离到不等号的两侧，再转化为最值问题.
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