1、2011年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试2011年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第卷22题24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不
2、准使用涂改液、刮纸刀.参考公式：如果事件、互斥，那么.如果、相互独立，那么.如果事件在一次试验中发生的概率为，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率为.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 已知复数在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数的值为A. 2B. 1C. 0D. 22. 已知集合，则图中阴影部分表示的集合为A. B. C. D. 3. 若点在直线上，则A. B. C. D. 4. 已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则数列的前5项和为ABCD
3、5. 设、分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上，且，则A. 2 B. C. 4D. 26. 在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图所示. 此时连结顶点B、D形成三棱锥BACD，则其侧视图的面积为A. B. C. D. 7. 某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在060分钟内的学生的频率是A. 680B. 320 C. 0.68D. 0.328. 用1、2、3、4、5、6组成一个无重复数字的六位数，要求
4、三个奇数1、3、5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为A. 18B. 108C. 216D. 4329. 已知定义域为的偶函数在上是减函数，且2，则不等式的解集为A. B. C. D. 10. 气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了A. 600天B. 800天C. 1000天D. 1200天11. 四棱锥的底面为正方形，且垂直于底面，则三棱锥与四棱锥的体积比为A. 1:2B. 1:3C. 1:6D. 1:812. 设的定义域为，若满足
5、下面两个条件，则称为闭函数.在内是单调函数；存在，使在上的值域为.如果为闭函数，那么的取值范围是A. B. 1C. D. 1 第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是.14. 依此类推，第个等式为.15. 给出下列六种图象变换方法：图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；图象向右平移个单位； 图象向左平移
6、个单位；图象向右平移个单位；图象向左平移个单位.请用上述变换中的两种变换，将函数的图象变换到函数ysin()的图象，那么这两种变换的序号依次是(填上一种你认为正确的答案即可).16. 已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分）在海岛上有一座海拔1km的山峰，山顶设有一个观察站.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东、俯角为的处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西、俯角为的处.(1) 求船的航行速度
7、；(2) 求船从到行驶过程中与观察站的最短距离.18. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求二面角的平面角的余弦值.19. （本小题满分12分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7.(1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；(2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机
8、抽取两名，记表示两人中成绩不合格的人数，求的分布列及数学期望；(3) 经过多次测试后，甲成绩在810米之间，乙成绩在9.510.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率.20. （本小题满分12分）已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点.(1) 求动点的轨迹的方程；(2) 过点作与轴不垂直的直线，交曲线于、两点,若在线段上存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形，试求的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数(1) 求函数的单调区间和极值；(2) 若函数对任意满足,求证：当,(3) 若，且，求证：请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一
9、题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲.如图，AB是O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F求证：(1) ；(2) AB2=BEBDAEAC.23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.(1) 写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2) 求曲线上的点到直线的最大距离.24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.已知，ab，求证：|f(a)f(b)|ab|.2011年东北三省四市教
10、研协作体等值诊断联合考试2011年长春市高中毕业班第二次调研测试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.A 2.B 3. C 4. B 5.D 6.C 7.D 8.D 9.A 10.B 11.C 12.A简答与提示：1. A 化简复数i1(a1)i，由题意知a11，解得a2.2. B 阴影部分表示的集合为.3. C点P在y2x上，sin2cos，sin22cos22sincos2(2cos21)4cos24cos222.4. B，.，前5项和为.5. D0，则|2|2.6. C由正视图和俯视图可知，平面平面.三棱锥BACD侧视图为等腰直角三角形，
11、直角边长为，侧视图面积为.7. D程序框图统计的是作业时间为60分钟以上的学生的数量，因此由输出结果为680知，有680名学生的作业时间超过60分钟，因此作业时间在060分钟内的学生总数有320人，故所求频率为0.32.8. D 第一步，先将1、3、5分成两组，共种方法；第二步，将2、4、6排成一排共种方法；第三步：将两组奇数插三个偶数形成的四个空位，共种方法.综上共有32612432.9. A作出函数的示意图如图，则或，解得或. 10. B 设一共使用了天，则使用天的平均耗资为,当且仅当时，取得最小值，此时n800.11. C ，.1:6. 12. A为上的增函数，又在上的值域为，即在上有两
12、个不等实根，即 在上有两个不等实根.(方法一)问题可化为和在上有两个不同交点. 对于临界直线，应有，即.对于临界直线，令1，得切点横坐标为0，令，得，1，即.综上，.(方法二)化简方程，得.令，则由根的分布可得,即，解得.又，.综上，.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 或(填出其中一种即可) 16. 简答与提示：13. 原命题的否定形式为0，为真命题.即0恒成立，只需=0，解得.14. .15. 或(填出其中一种即可)ysinxysin(x)ysin()，或ysinxysinxysin(x)sin().16. 依题意，解得.三、解答题(本大题必做题5小
13、题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查解三角形的有关知识及空间想象能力，具体涉及到余弦定理、正弦定理，三角形的面积公式.【试题解析】解：设船速为km/h，则km.在中，与俯角相等为30，.同理，中，. (4分)在中，154560，由余弦定理得，km/h，船的航行速度为km/h. (6分)(方法一) 作于点，当船行驶到点时，最小，从而最小.此时，. (10分).船在行驶过程中与观察站的最短距离为km. (12分) (方法二) 由知在中，由正弦定理，. (8分)作于点，当船行驶到点时，最小，从而最小.此时，. (10分).船在行驶过程中与观察站的最短距
14、离为km. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.【试题解析】(方法一)证明：如图一，连结与交于点，连结.在中，、为中点，.(3分)又平面，平面，平面. (5分)解：二面角与二面角互补.如图二，作，垂足为，又平面平面，平面.作，垂足为，连结，则，为二面角的平面角. (8分)设，在等边中，为中点，在正方形中，,，. (11分)所求二面角的余弦值为. (12分) 图一图二 图三(方法二)证明：如图三以的中点为原点建系，设.设是平面的一个法向量，则.又，.令，. (3分) ，.又平面，平
15、面. (5分)解：设是平面的一个法向量， 则.又，.令，. (8分) . (11分)所求二面角的余弦值为. (12分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、二项分布及几何概型.【试题解析】解：(1)第6小组的频率为1(0.040.100.140.280.30)0.14， 此次测试总人数为(人).第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.280.300.14)5036(人) (4分)(2)=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为,.，. (7分)所求分布列为X012P (9分)(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为、米，则基本事件满足的
16、区域为，事件“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为，如图所示. 由几何概型. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识.【试题解析】解：设是线段的中点， (2分)|=，.化简得点的轨迹的方程为.(5分)设，代入椭圆，得，. (7分)中点的坐标为.以、为邻边的平行四边形是菱形，即. (9分)，.(11分)又点在线段上，.综上，.(12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，并考查数学证明.【试题解析】解：=，=.
17、(2分)令=0，解得.20极大值在内是增函数，在内是减函数. (3分)当时，取得极大值=. (4分)证明：，,=. (6分)当时，0，4，从而0，0，在是增函数. (8分)证明：在内是增函数，在内是减函数. 当，且，、不可能在同一单调区间内.不妨设，由可知，又，.，.，且在区间内为增函数，即(12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要平面几何的证明，具体涉及到四点共圆、相交弦定理及三角形相似等内容.【试题解析】证明：连结AD，因为AB为圆的直径，所以ADB=90，(2分)又EFAB，EFA=90，则A、D、E、F四点共圆，DEA=DFA. (5分)由(1)知，BDBE=BABF
18、.又ABCAEF，即ABAF=AEAC. (7分) BEBDAEAC =BABFABAF =AB(BFAF) =AB2. (10分)23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容.【试题解析】解：由得，. (3分)由得. (5分)在上任取一点，则点到直线的距离为3.(8分)当1，即时，.(10分)24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值三角不等式及不等式证明等内容.【试题解析】解：|f(a)f(b)|(2分) (5分)|ab|. (10分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
