1、应用三角函数求最值典型例题： 例1. （2012年天津市文5分）将函数（其中0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点（，0），则的最小值是【 】（A） （B）1 （C） （D）2【答案】D。【考点】函数的图象变换。【分析】将函数的图像向右平移得到函数。此时函数过点，即。又0，的最小值为2。故选D。例2.（2012年山东省文5分）函数的最大值与最小值之和为【 】 A B 0C 1D 【答案】A。【考点】三角函数的值域。【解析】，当时，最小，为 当时，最大，为。函数的最大值与最小值之和为。故选A。例3. （2012年上海市文4分）函数的最小正周期是 【答案】。【考点】行列式的基本运算，三角函数
2、的值域，二倍角公式。【解析】,函数的最小正周期是。例4. （2012年北京市文13分）已知函数。（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递增区间。【答案】解：（1）由解得， 的定义域为。 又 的最小正周期为。（2）， 根据正弦函数的增减性，得或，。 解得或，。的单调递增区间为。【考点】三角函数的定义域、最小正周期和单调增减性。【解析】（1）根据分式分母不为0的条件，结合正弦函数的零点得出的定义域。将变形，即可由求最小正周期的公式求得。 （2）根据正弦函数的增减性，结合的定义域，求出的单调递增区间。例5.（2012年四川省文12分）已知函数。（）求函数的最小正周期和值域；（）若，求的值。【答
3、案】解：（），的最小正周期为2，值域为。（）由（）知，=， cos。 。【考点】三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式。【解析】（）将化为 即可求得的最小正周期和值域。（）由=可求得cos，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得的值。例6. （2012年湖北省文12分）设函数f(x)sin2x2sinxcosxcos2x(xR)的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.（）求函数f(x)的最小正周期；（）若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域【答案】解：（）f(x)sin2xcos2x2sinxcosxcos2xsin2x2sin.，且直线x是yf(x)图象的一条对称轴，si
4、n1。2k(kR)，即(kR)。又，kR，k1。f(x)的最小正周期是。（）由yf(x)的图象过点，得f0，即2sin2sin。f(x)2sin，函数f(x)的值域为2，2【考点】三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f(x)化为y=Asin（x+）+k型函数，再利用函数的对称性和的范围，计算的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期。（）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f(x)的值域。例7. （2012年重庆市文12分）设函数（其中 ）在处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为
5、。（I）求的解析式（5分）；（II）求函数的值域（7分）。【答案】解：（）函数图象与轴的相邻两个交点的距离为，的周期为，即，解得。在处取得最大值2，=2。，即。又，。的解析式为。（）函数， 又，且， 的值域为。【考点】三角函数中的恒等变换应用，由的部分图象确定其解析式。【分析】（）通过函数的周期求出，求出，利用函数经过的特殊点求出，推出的解析式。（）利用（）推出函数的表达式，应用同角函数关系式、倍角函数关系式得到。通过，且，求出的值域。例8. （2012年全国课标卷理5分）已知，函数在上单调递减。则的取值范围是【 】 【答案】。【考点】三角函数的性质。【解析】根据三角函数的性质利用排它法逐项判
6、断： 时，不合题意，排除。 时，合题意，排除。故选。例9. （2012年湖南省理5分）函数的值域为【 】 A B. C. D. 【答案】B。【考点】三角恒等变换。【解析】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域： ，。 函数的值域为。故选B。例10. （2012年四川省理12分）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点， 、为图象与轴的交点，且为正三角形。（）求的值及函数的值域；（）若，且，求的值。【答案】解：（）由已知可得：又正的高为2，BC=4。函数的同期，即，解得。函数的值域为。（），由（）有，即。 由得x0。 。【考点】三角函数的图像与性质，同角三角函数的关系、两角和的正（
7、余）弦公式、二倍角公式。【解析】（）将）化简为，利用正弦函数的周期公式与性质可求的值及函数的值域。（）由，知 ，由，可求得即，利用两角和的正弦公式即可求得。例11. （2012年天津市理13分）已知函数，.()求函数的最小正周期；（）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】解：() ，函数的最小正周期。（）函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 又， 函数在的最大值为 2 ，最小值为1。【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值。【分析】()利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将化为，即可求得函数的最小正周期。（）分析得到函数在区间上的增减性，即可是求得
8、在区间的最大值和最小值。例12. （2012年安徽省理12分） 设函数 （I）求函数的最小正周期； （II）设函数对任意，有，且当时， ； 求函数在上的解析式。【答案】解：（I）， 函数的最小正周期。（II）当时， 当时， ，当时， ，。函数在上的解析式为。【考点】三角函数公式和性质。，【解析】（I）将化为，即可求出函数的最小正周期。 （II）由得出关于的函数关系式。由分区间讨论即可。例13. （2012年湖北省理12分）已知向量，设函数的图像关于直线=对称，其中为常数，且（）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。【答案】解：。（）函数的图像关于直线=对称，。又，
9、。的最小正周期为。（II）若的图像经过点，则有，。，。函数在区间上的取值范围为。【考点】数量积的坐标表达式，三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（）先利用向量数量积运算性质，求函数的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数化为，最后利用函数的对称性和的范围，计算的值，从而得函数的最小正周期。（II）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数的值域。例14. （2012年重庆市理13分）设，其中（）求函数 的值域；（8分）（）若在区间上为增函数，求的最大值.（5分）【答案】解：（） ，。即函数的值域为。（）由得。 在上为增函数。时，为增函数，对某个整数成立，易知必有=0。，解得。的最大值为。【考点】二倍角的余弦和正弦，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性。【分析】（I）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到，由此易求得函数的值域。（II）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值。
