1、第1讲几何证明选讲1(2015天津高考)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM2，MD4，CN3，则线段NE的长为()A.B3C. D.【解析】根据相交弦定理可知，CMMDAMMBAB28，CNNEANNBAB28，而CN3，所以NE.故选A.【答案】A2(2014天津高考)如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是()A BC D【解析】由弦切角定理得FBDEACB
2、AE，又BFDAFB，BFDAFB，AFBDABBF，排除A，C；又FBDEACDBC，排除B，故选D. 【答案】D3(2015重庆高考)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，则BE_【解析】首先由切割线定理得PA2PCPD，因此PD12，CDPDPC9，又CEED21，因此CE6，ED3，再有相交弦定理AEEBCEED，所以BE2.【答案】24(2015江苏高考)如图，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.【证明】因为ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又B
3、AE为公共角，可知ABDAEB.从近三年高考，特别是2015年高考来看，该部分2016年高考命题热点考向为：考什么怎么考题型与难度1.相似三角形的判定与性质考查相似三角形的有关知识；考查平行线等分线段定理和平行线截割定理.题型：三种题型都可能出现难度：基础题2.圆的切线的判定与性质考查圆的切线的判定；考查圆周角定理.题型：三种题型都可能出现难度：基础题3.圆幂定理及应用考查相交弦定理，割线定理和切割定理及应用；考查四点共圆问题题型：三种题型都可能出现难度：基础题相似三角形的判定与性质(自主探究型)1(2015广东高考)如图，已知AB是圆O的直径，AB4，EC是圆O的切线，切点为C，BC1，过圆
4、心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD_【解析】连接OC，因为ODBC，又BCAC，所以OPAC.又O为AB线段的中点，所以OPBC.在RtOCD中，OCAB2，由直角三角形的射影定理可得OC2OPOD，即OD8，故应填8.【答案】82(2015河南三市调研)如图，切线AB与圆切于点B，圆内有一点C满足ABAC，CAB的平分线AE交圆于D，E，延长EC交圆于F，延长DC交圆于G，连结FG，EG.求证：(1)ACFG；(2)ECEG.【证明】(1)AB切圆于B，AB2ADAE，又ABAC，AC2ADAE，即，又DACCAE，ACDAEC，ACDAEC，又AECDGF，ACDDG
5、F，ACFG.(2)连结BD，BE，由ABAC，BADCAD及ADAD，知ABDACD.ADBADC，BDECDE，故BEEG，由ABAC，BAECAE，AEAE，知ABEACE，BECE，ECEG.【规律感悟】判定三角形相似的常用方法(1)利用三角形判定定理；(2)利用平行线分线段成比例定理；(3)利用与圆有关的“四定理”圆的切线的判定与性质(师生共研型)【典例1】(2015新课标高考)如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E. (1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小【解】(1)证明：连接AE，由已知得，AEBC，ACAB.在Rt AEC中
6、，由已知得，DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，DE是O的切线(2)设CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CEBE，所以x2，即x4x2120.可得x，所以ACB60.【规律感悟】已知圆的切线时，常作辅助线：连结圆心与切点，若题中有圆的直径常作出直径所对的圆周角，构造直角三角形针对训练(2015东北三校一模)如图，在ABC中，ABC90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC的中点，连结OD交圆O于点M.求证：(1)DE是圆O的切线；(2)DEBCDMACDMAB.【证明】(1)连结OE，点D是
7、BC的中点，点O是AB的中点，ODAC且ODAC，ABOD，AEOEOD，OAOE，AAEO，BODEOD.在EOD和BOD中，OEOB，EOBBOD，ODOD.EODBOD，OEDOBD90，OEED.又点E是圆O上一点，DE是圆O的切线(2)延长DO交圆O于点F.EODBOD，DEDB，点D是BC的中点，BC2DB，DEBCDE2DB2DE2.AC2OD，AB2OF，DMACDMABDM(ACAB)DM(2OD2OF)2DMDF.DE是圆O的切线，DF是圆O的割线，DE2DMDF，DEBCDMACDMAB.圆幂定理及应用(多维探究型)命题角度一与切割线定理和相交弦定理有关的证明或求值【典例
8、2】(2014全国新课标高考)如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.【证明】(1)连接AB，AC.由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而BEEC.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.命题角度二证明四点共圆及其应用【典例3】(2015湖南高考)如图，在O中，相交于点E的两弦AB，C
9、D的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)MENNOM180；(2) FEFNFMFO.【证明】(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180，又四边形的内角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FEFNFMFO.【规律感悟】1.一般地，涉及圆内的两条相交弦时首先考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别2若证明四点共圆，可证明这四点到某
10、点的距离相等，也可证明该四点组成的四边形的对角互补针对训练1(2015陕西高考)如图，AB切O于点B，直线AO 交O于D，E两点，BCDE，垂足为C. (1)证明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直径【解】(1)证明：因为DE为O直径，则BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED，又AB切O于点B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)由(1)知BD平分CBA，则3，又BC，从而AB3，所以AC4，所以AD3，由切割线定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O直径为3.2(2015河北唐山五校二联)已知ABC中，ABAC，D为ABC外接圆劣
11、弧AC上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F.求证：(1)CDFEDF；(2)ABACDFADFCFB.【证明】(1)A，B，C，D四点共圆，CDFABC.ABAC，ABCACB，又ADBACB，EDFADB，CDFEDF.(2)由(1)得ADBABF，又BADFAB，BADFAB，AB2ADAF，又ABAC，ABACADAF，ABACDFADAFDF，根据割线定理得DFAFFCFB，ABACDFADFCFB.1重要性质相似三角形的判定与性质(1)平行线等分线段定理及其推论定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他(与这组平行线相交的)直线上截得的
12、线段也相等推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰(2)平行线分线段成比例定理及其推论定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例(3)相似三角形相似三角形的判定a判定定理.两角对应相等的两个三角形相似.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边对应成比例的两个三角形相似b推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似c直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相
13、似比的平方直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积2重要结论(1)圆周角 (2)圆的切线 (3)弦切角定理及其推论定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半如图，AB是O的切线，BAC的度数等于AmC的度数推论弦切角等于它所夹弧所对的圆周角如图，AB是O的切线，BAC的度数等于ADC的度数 (4)与圆有关的比例线段(5)圆内接四边形的性质定理和判定定理【易错提醒】1相似三角形的对应角所对的边是对应边，写比例关系时不能混淆2涉及平行线问题应注意转化为三角形相似或平行线分线段成比例问题解决3涉及切线问题应注意
14、连接切点和圆心的直线及切割线定理的应用4与圆有关的问题，注意通过圆心角、圆周角、弦切角、圆内接四边形的外角等实现角之间的转化限时训练(文19理21)一、填空题1(2014广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则_【解析】易证AEFCDF，3AECD，3.【答案】32(2015陕西西安五校联考)如图，P是圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，切点分别为A，B，PA的中点为M，过M作圆O的一条割线交圆O于C，D两点，若PB2，MC1，则CD_【解析】由已知得MAPAPB，MA是圆O的切线，MCD是圆O的割线，MA2MCMD，MC1，31(1CD)，
15、解得CD2.【答案】23(2015湖南高考)如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC3PB，则_【解析】因为PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，由切割线定理，知PA2PBPCPB(PBBC)因为BC3PB，所以PA24PB2，即PA2PB.由PABPCA，所以.【答案】4(2015广东高考)如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB4，CE2，则AD_【解析】连接OC，则OCDE，ADDE，OCAD，由切割线定理得CE2BEAE，BE(BE4)12.即BE24BE120，解得BE2(舍负)，AD3.
16、【答案】35(2015广东肇庆二模)如图，在ABC中，BAC90，ADBC，DEAE，D、E为垂足，若AE4，BE1，则AC_【解析】根据题意知ABBEAE5，在ABD与DBE中，因为ABDDBE且ADBDEB，所以ABDDBE，则BD，因为ADBD，所以AD2，又因为ABDCBA且ADBBAC，所以ABDCBA，则AC10.【答案】10二、解答题6(2015新课标高考)如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点 (1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积【解】(1
17、)证明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF.从而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线，又EF为O的弦，所以O在AD上连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2，所以AO4，OE2.因为OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四边形EBCF的面积为(2)2.7(2015河北衡水中学五调)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上 (1)若，求
18、的值；(2)若EF2FAFB，证明：EFCD.【解】(1)A，B，C，D四点共圆，ECDEAB，EDCB，EDCEBA，()2，即()2，.(2)证明：EF2FAFB，又EFABFE，FAEFEB，FEAFBE，又A，B，C，D四点共圆，EDCEBF，FEAEDC，EFCD.8(2015东北师大附中四模)已知，在ABC中，D是AB上一点，ACD的外接圆交BC于E，AB2BE. (1)证明：BC2BD；(2)若CD平分ACB，且AC2，EC1，求BD的长【解】(1)证明：连结DE，四边形ACED是圆的内接四边形，BDEBCA，又DBECBA，DBECBA，又AB2BE，BC2BD.(2)由(1)
19、知DBECBA，得，又AB2BE，AC2DE.AC2，DE1.而CD平分ACB，DADE1.设BDx，根据割线定理得BDBABEBC，x(x1)(2x1)2x，解得x1，即BD1.9(2015甘肃兰州名校联考)已知：如图，AB是O的直径，AC与O相切于点A，且ACAB，CO与O相交于点P，CO的延长线与O相交于点F，BP的延长线与AC相交于点E. (1)证明：；(2)若AB2，求tanCPE的值【解】(1)证明：AC与O相切于点A，PACPFA，又CC，APCFAC，即，又ABAC，.(2)AB是O的直径，ABAC，AB2，AOAB1，AC2，AC与O相切于点A，ABAC，OBOP，OBPOP
20、B，又CPEOPB，COAOBPOPB，COA2CPE，设tanCPEk(k0)，tanCOA2，即k2k10，解得k(k舍去)，tanCPE.10(2015广西三市1月联考)如图所示，AB是O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作O的切线，切点为H，求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH2GEGF.【证明】(1)连接BC.AB是O的直径，ACB90，AGFG，AGE90，又EAGBAC，ABCAEG，又FDCABC，FDCAEG，FDCCEF180.C，D，F，E四点共圆(2)GH为O的切线，GCD为O
21、的割线，GH2GCGD，由C，D，F，E四点共圆，得GCEAFE，CEGFDG，GCEGFD，即GCGDGEGF，GH2GEGF.第2讲坐标系与参数方程1(2015湖南高考)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为2sin ，则曲线C的直角坐标方程为_【解析】将极坐标方程2sin 两边同乘得22sin ，x2y22y，故曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.【答案】x2y22y02(2015安徽高考)在极坐标系中，圆8sin 上的点到直线(R)距离的最大值是_【解析】由8sin 得x2y28y，即x2(y4)216，由得yx，即xy0，圆心
22、(0，4)到直线yx的距离为2，圆8sin 上的点到直线的最大距离为426.【答案】63(2015重庆高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 24，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_【解析】直线l的直角坐标方程为yx2，由2cos 24得2(cos2sin2)4，直角坐标方程为x2y24，把yx2代入双曲线方程解得x2，因此交点为(2，0)，其极坐标为(2，)【答案】(2，)4(2015江苏高考)已知圆C的极坐标方程为22sin40，求圆C的半径【解】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴
23、，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.从近三年高考，特别是2015年高考来看，该部分2016年高考命题热点考向为：考什么怎么考题型难度1.极坐标方程考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化；会写出简单图形的极坐标方程题型：填空题难度：基础题2.参数方程及应用考查参数方程与普通方程之间的互化能力；考查考生对基础公式及方法的理解和应用.题型：填空题难度：基础题3.极坐标方程与参数方程的综合应用考查极坐标方程与参数方程的综合应用(互化、位置关系、最值等)题型：解答题
24、难度：基础题、中档题极坐标方程(自主探究型)1.(2015北京高考)在极坐标系中，点到直线(cos sin )6的距离为_【解析】在平面直角坐标系下，点化为(1，)，直线方程为：xy6，点(1，)到直线的距离为d1.【答案】12(2014广东高考)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2cos2sin 与cos 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为_【解析】2cos2sin ，22cos2 sin 即2x2y，cos 1，x1，x1，y2，交点坐标为(1，2)【答案】(1，2)3(2015新课标高考)在直角坐标系xOy中，
25、直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积【解】(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，所以C2MN的面积为.【规律感悟】1.研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化当条件涉及角度和到定点距离时，引入极坐标系会对问题
26、的解决带来很大的方便2在极坐标方程化为直角坐标方程时，只要整体上用x代换其中的cos 、y代替其中的sin 即可，其中所含的2也可以写成2(cos2sin2)x2y2.参数方程及应用(师生共研型)【典例1】(2014江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，求线段AB的长【解】将直线l的参数方程代入抛物线方程y24x，得4，解得t10，t28.所以|AB|t1t2|8.【规律感悟】将曲线的参数方程化为普通方程时，要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性参数
27、方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2sin21，1tan2.针对训练(2014全国新课标高考)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值【解】(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|
28、PA|取得最小值，最小值为.极坐标方程与参数方程的综合应用(多维探究型)命题角度一直线与圆的极坐标方程与参数方程的综合应用【典例2】(2015湖南高考)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值【解】(1)2cos 等价于22cos .将2x2y2，cos x代入即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0.(2)将代入式，得t25t180.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|
29、MA|MB|t1t2|18.命题角度二直线与其他曲线的极坐标方程与参数方程的综合应用【典例3】(2014辽宁高考)将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程【解】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得，由xy1得x21，即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由，解得：，或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，
30、所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.【规律感悟】1.要判断参数方程或极坐标方程所描述的方程类型，常常是将其转化为直角坐标系下的普遍方程但是，对于一些常见的参数方程或极坐标方程，如果能够快速识别方程的形式，理解对应参数的几何意义，则可使问题得到快速的突破2在坐标系与参数方程的考查中，最能够体现坐标方法的解题优势，灵活地利用坐标方法可以使问题得到简捷的解答针对训练1(2015陕西高考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)
31、P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标【解】(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设P，又C(0，)，则|PC|，故当t0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0)2(2015河南唐山一模)已知椭圆C：1，直线l：，(t为参数)(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标【解】(1)椭圆C：，(为参数)，直线l：xy90.(2)设P(2cos，sin)，则|AP|2cos，点P到直线l的距离d.由|AP|d得3sin4cos
32、5，又sin2cos21，得sin，cos.故P(，)1必记公式(1)极坐标方程极坐标方程：设M(，)为曲线上任意一点，则以，为变量的方程f(，)0就是曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r，0)，半径为r的圆2rcos()圆心为(r，)，半径为r的圆2rsin(0)过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点(a，0)，与极轴垂直的直线cos()过点(a，)，与极轴平行的直线sina(0)极坐标与直角坐标的互化设点P的直角坐标为(x，y)，它的极坐标为(，)，则直角坐标方程化为极坐标方程的公式为极坐标方程化为直角坐标方程的公式为(2)直
33、线与圆、椭圆的参数方程过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是(t为参数)圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数)椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数)【易错提醒】(1)在极坐标系中，有序实数对(，)确定平面内一个点的位置，反之，平面内的一个点，可以有无数个极坐标(，2k)(kZ)与之对应(2)极坐标(，)化为直角坐标是(cos，sin)；直角坐标化为极坐标(，)时，唯一确定，但由tan(x0)确定角时，一般根据点(x，y)所在的象限取最小正角(3)将曲线的参数方程化为普通方程时，要把其中的参数消去，还要注意消去参数的过程要保持普通方程与参数方程的等价性参数方程化为普通方程
34、常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后再加减消元等(4)应用直线的参数方程时，一定注意直线方程是否是直线参数方程的标准形式，即t是参数，是直线的倾斜角，再确定t的几何意义(5)求解极坐标方程和参数方程的综合问题应统一化为直角坐标方程后处理限时训练(文20理22)一、填空题1(2015广东高考)已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_【解析】依题已知直线l：2sin和点A可化为l：xy10和A(2，2)，所以点A到直线l的距离为d.【答案】2(2014安徽江南十校眹考)在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为sin1，圆C的圆心为，半径为，则直线l被圆C所截
35、得的弦长是_【解析】直线l的极坐标方程为sin1，可化为直角坐标方程xy2，由圆C的圆心为，得圆C的圆心的直角坐标系(1，1)，所以圆心C(1，1)到直线l的距离d1，又因为圆C的半径r，所以直线l被圆C截得的弦长为22.【答案】23(2015湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|_【解析】直线l的极坐标方程(sin 3cos )0化为直角坐标方程为3xy0，曲线C的参数方程两式经过平方相减，化为普通方程为y2x24，联立解得或所以点A，B.所
36、以|AB| 2.【答案】24(2013湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_【解析】直线l：消去参数t后得yxa.椭圆C：消去参数后得1.又椭圆C的右顶点为(3，0)，代入yxa得a3.【答案】35(2015湖北武汉调研)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线(cos sin )a0与曲线(为参数)有两个不同的交点，则实数a的取值范围为_【解析】直线的直角坐标方程为xya0，曲线的普通方程为x2y(x)，画出图象分析，a的取值范围是0a.【答案】二、解答题6(2014福建高考)已知直线l的参
37、数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为，(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围【解】(1)2xy2a0.又，x2y216.直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.实数a的取值范围为2，27(2015福建高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR)(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到
38、直线l的距离等于2，求m的值【解】(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.由sinm，得sin cos m0.所以直线l的直角坐标方程为xym0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即2，解得m32.8(2015新课标高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值【解】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得
39、或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.9(2015黑龙江哈尔滨二模)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线C2交于点D(2，)(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A(1，0)，B(2，2)，若A、B都在曲线C1上，求的值【解】(1)C1的参数方程为C1的普
40、通方程为y21.由题意知曲线C2的极坐标方程为2acos(a为半径)，将D(2，)代入，得22a，a2，圆C2的圆心的直角坐标为(2，0)，半径为2，C2的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)曲线C1的极坐标方程为2sin21，即2.，.10(2015河南郑州质检二)在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为sin()t.(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；(2)若曲线N与曲线M有公共点，求实数t的取值范围【解】(1)由xcossin得x2(cossin)22cos22sincos1，又
41、由y2sincos2sin22得2sincosy2sin22，所以曲线M的普通方程为x2y1，即yx21，又易知x2，2，曲线M的普通方程为yx21，x2，2由sin()t得sincost，所以sincost，所以曲线N的直角坐标方程为xyt.(2)当直线N过点(2，3)时，与曲线M有公共点，此时t5，从该位置向左下方平行移动直到与曲线M相切总有公共点，联立得x2x1t0，14(1t)，令14(1t)0，解得t.t5.所求实数t的取值范围是，5第3讲不等式选讲1(2015山东高考)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4)B(，1)C(1，4) D(1，5)【解析】由绝对值的几何意义知，|x
42、1|x5|表示数轴上的点x到点1和点5的距离之差当x4时，|x1|x5|2；当x4时，|x1|x5|2.【答案】A2(2014湖南高考)若关于x的不等式|ax2|3的解集为，则a_【解析】由|ax2|3，解得1ax5，不等式的解集为x|x0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围【解】(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1，0)，C(a，a1
43、)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)【规律感悟】解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f(x)的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围针对训练(2015东北四校联考)已知关于x的不等式|2x1|x1|log2a(其中a0)(1)当a4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围【解】(1)当a4时，log2a2，当x时，x22，得4x；当x1时，3x2，得x；当x1时，此时x不存在所以不等式的解集为x|4x(2)设f(x)|2x1|x1|由
44、f(x)的图象知f(x)，f(x)min.log2a，a.所以实数a的取值范围是，).不等式的证明(多维探究题)命题角度一比较法、综合法证明不等式【典例2】(2015吉林长春质检三)(1)已知a，b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：abc.【证明】(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab2)因为a，b都是正数，所以ab0.于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.(2)因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc.同理，b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得
45、2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc.命题角度二不等式的其它证明方法【典例3】(2015湖南高考)设a0，b0，且ab.证明：(1)ab2；(2)a2a2与b2b2不可能同时成立【证明】由ab，a0，b0，得ab1.由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a2及a0得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立【规律感悟】证明不等式的基本方法(1)证明不等式的传统方法有：比较法、综合法、分析法比较法常
46、有作差比较法和作商比较法两种用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，一方面要注意基本不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单，条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表述整个证明过程(2)不等式证明还有一些常用方法：拆项法、添项法、逆代法、换元法、放缩法、反证法、函数的单调性法、判别式法、数形结合法换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩
47、要有的放矢，目标可以从要证的结论中提取有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法存在性、唯一性等问题或题目中带有“至少有一个”“至多有一个”“不能都”等字样的问题，都可以用反证法针对训练1(2013全国新课标高考)设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcca；(2)1.【证明】(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.2(2015东北三校二模)已知a，b
48、，c0，abc1.证明：(1)；(2).【证明】(1)由柯西不等式得()2(111)2(121212)()2()2()23，当且仅当，即abc时等号成立，.(2)证法一：(3a1)24(当且仅当3a1时取等)，33a.同理得33b，33c，以上三式相加得，4()93(abc)6(当且仅当abc时取等)，.证法二：由柯西不等式得(3a1)(3b1)(3c1)()()29(当且仅当abc时取等)，又abc1，6()9，.1重要结论(1)基本不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立算术平均与几何平均如果a，b都是正数，我们就称为a，b的算术平均，为a，b的几何平均定理
49、2(基本不等式)：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立也可以表述为：两个正数的算术平均不小于它们的几何平均(2)三个正数的算术几何平均不等式定理3：如果a，b，c(0，)，那么，当且仅当abc时，等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立(3)绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立(4)绝对值不等式的解法含绝对值的不等式|
50、x|a与|x|a的解集不等式a0a0a0|x|ax|axa|x|ax|xa或xaxR|x0R|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法()|axb|ccaxbc；()|axb|caxbc或axbc.|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想(5)不等式证明的基本方法比较法()作差比较法()作商比较法综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得
51、出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法2易错提醒(1)含有绝对值的不等式问题有两种处理方法，一是根据绝对值的定义脱去绝对值号，化为等价的不等式组，二是把未知量看作变量，画出函数的图象，用数形结合思想处理(2)要注意区别af(x)对任意x恒成立，af(x)有解，af(x)无解三种情形的不同：af(x)恒成立af(x)min；af(x)有解af(x)m
52、ax；af(x)无解af(x)max.限时训练(文21理23)一、填空题1(2014广东高考)不等式|x1|x2|5的解集为_【解析】方法一：要去掉绝对值符号，需要对x与2和1进行大小比较，2和1可以把数轴分成三部分当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2方法二：|x1|x2|表示数轴上的点x到点1和点2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点2的距离的和为5的点有3和2，故满足不等式|x1|x2|5的x的取值为x3或x2，所以不等式的解集为x|x3
53、或x2【答案】x|x3或x22(2014江西高考)x，yR，若 |x|y|x1|y1|2，则xy 的取值范围为_【解析】因为|x|x1|x(x1)|1，当且仅当x(x1)0，即0x1时取等号，|y|y1|y(y1)|1，当且仅当y(y1)0，即0y1时取等号，所以|x|y|x1|y1|112.又已知|x|y|x1|y1|2，所以|x|y|x1|y1|2，0x1且0y1，所以0xy2.【答案】0，23(2014重庆高考)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_【解】|2x1|x2|x，取最小值31，|2x1|x2|a2a2，即2a2a10，1a.【答案】4(20
54、15重庆高考)若函数f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a_.【解析】由绝对值的性质知f(x)的最小值在x1或xa时取得，若f(1)2|1a|5，a或a，经检验均不合适；若f(a)5，则|x1|5，a4或a6，经检验合题意，因此a4或a6.【答案】6或45(2015浙江高考)若实数x，y满足x2y21，则|2xy2|6x3y|的最小值是_【解析】设z|2xy2|6x3y|.x2y21，6x3y0，z|2xy2|6x3y.若2xy20，则zx2y4.由数形结合知，x，y时，zmin3；若2xy20，则z3x4y8.由数形结合知，x，y时，zmin3；由知，zmin3.故答案为3.【答案
55、】3二、解答题6(2015陕西高考)已知关于x的不等式|xa|b的解集为x|2x4(1)求实数a，b的值；(2)求的最大值【解】(1)由|xa|b，得baxba，则解得a3，b1.(2)24，当且仅当，即t1时等号成立，故()max4.7(2015山西第三次四校联考)设函数f(x)|x2|x2|，xR，不等式f(x)6的解集为M.(1)求M；(2)当a，bM时，证明：|ab|ab3|.【解】(1)|x2|x2|6等价于或或解得3x3，M3，3(2)证明：当a，bM，即3a3，3b3时，要证|ab|ab3|，即证3(ab)2(ab3)2.3(ab)2(ab3)23(a22abb2)(a2b26a
56、b9)3a23b2a2b29(a23)(3b2)0，|ab|ab3|.8(2015河北衡水中学二模)设函数f(x)|2x1|2xa|a，xR.(1)当a3时，求不等式f(x)7的解集；(2)对任意xR恒有f(x)3，求实数a的取值范围【解】(1)当a3时，f(x)结合f(x)的图象(图略)可知f(x)7的解集为x|x0或x2(2)f(x)|2x1|a2x|a|2x1a2x|a|a1|a.由f(x)3恒成立，有|a1|a3，解得a2.所以实数a的取值范围是2，)9(2015广西玉林、贵港4月联考)已知函数f(x)|x1|.(1)解不等式f(x)f(x4)8；(2)若|a|1，|b|1，且a0，求
57、证：f(ab)|a|f()【解】(1)f(x)f(x4)|x1|x3|当x3时，由2x28，解得x5，当3x1时，f(x)f(x4)8不成立，当x1时，由2x28，解得x3.所以不等式的解集为x|x5或x3(2)证明：f(ab)|a|f()|ab1|ab|.因为|a|1，|b|1，所以|ab1|2|ab|2(a2b22ab1)(a22abb2)a2b21a2b2(a21)(b21)0，所以|ab1|ab|，故所证不等式成立10(2015福建高考)已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值【解】(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以|ab|ab.所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为.
