1、攻略四探究性、定点与定值问题 一、探究性问题提高同学们的探究能力是新课程改革的重要目标，由于探索性问题形式新颖，解法多样，需要灵活运用知识、技能和数学思想方法去探索结论，有利于帮助同学们形成良好的思维品质和培养创造性分析问题、解决问题的能力，也能有效地考查同学们的数学能力，因此探索性问题已经成为近几年高考新的亮点和热点探索性问题与封闭性问题相对，一般地，对于给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不确定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题(探索结论)；或者给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题(探索条件)，称为探索性问题此外，有些探索
2、性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际的数据，通过分析、探讨解决问题问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征，从探索性问题的解题过程来看，没有确定的模式，可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高，下面对几种常见的题型进行举例分析1探索条件型即从给定的问题出发，追溯结论成立的充分条件这类问题的基本特征是：针对一个结论，需探索条件解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不
3、考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，这点应引起同学们的注意【例1】设a0，b0，()A若2a2a2b3b，则abB若2a2a2b3b，则abC若2a2a2b3b，则abD若2a2a2b3b，则ab【解析】利用原命题与逆否命题的真假性相同求解当0ab时，显然2a2b,2a2b3b，2a2a2b3b，即2a2a2b3b成立它的逆否命题：若2a2a2b3b，则ab成立，故A正确，B错误当0ab时，由2a2b,2a3b，知2a2a与2b3b的大小关系不确定，C不正确，同理D不正确【答案】A2探索存在型即从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论存在这类问题的基本特征是：要判断在某些确
4、定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立解决这类问题的基本策略是：先假定对象存在，运用条件进行推理若得到相应的合理结论，则可断言这个对象是存在的；若出现矛盾，则否定先前假设，断言对象是不存在的【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率e ，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mxny1与圆O：x2y21相交于不同的两点A、B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由【解】(1)e2，a23b2，椭圆方程为1，即
5、x23y23b2.设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d，则d ，当y1时，d取得最大值，dmax3，解得b21，a23.椭圆C的方程为y21.(2)假设存在点M(m，n)满足题意，则n21，即m233n2.设圆心到直线l的距离为d，则d1，d.|AB|22 .SOAB|AB|d2 .d1，m2n21，01，10.SOAB ，当且仅当1，即m2n221时，SOAB取得最大值.由得存在点M满足题意，M点坐标为(，)，(，)，(，)或(，)此时OAB的面积为.二、定点、定值问题由于定点与定值问题涉及面广、综合性强，能较好地考查同学们的逻辑推理能力，因此是近年高考的一个热点求解这类问题的基本策略是“
6、大处着眼、小处着手”，从整体上把握问题给出的综合信息和处理问题的函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想等，并恰当地运用待定系数法、相关点法、定义法等基本数学方法下面作分类说明1定点问题定点问题可以应用特例先找到定点，从特殊的情况来推理一般的情况，从而找到解题的思路定点问题与定值问题类似，在“变”中求的“不变”【例3】(2014山东高考)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形()求C的方程；()若直线l1l，且l1和C有且只有一个公
7、共点E.()证明直线AE过定点，并求出定点坐标；()ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由()【解】由题意知F.设D(t,0)(t0)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3|t|，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.()()证明由()知F(1,0)，设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD0)，因为|FA|FD|，则|xD1|x01，由xD0得xDx02，故D(x02,0)故直线AB的斜率kAB.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为yxb，代入抛物线方程得y2y0，由题意0，得b.设E(
8、xE，yE)，则yE，xE.当y4时，kAE，可得直线AE的方程为yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直线AE恒过点F(1,0)当y4时，直线AE的方程为x1，过点F(1,0)，所以直线AE过定点F(1,0)()【解】由()知直线AE过焦点F(1,0)，所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1，因为点A(x0，y0)在直线AE上，故m.设B(x1，y1)直线AB的方程为yy0(xx0)，由于y00，可得xy2x0，代入抛物线方程得y2y84x00.所以y0y1，可求得y1y0，x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4()则ABE的面积S416，当且仅
9、当x0，即x01时等号成立所以ABE的面积的最小值为16.2定值问题定值通常是指在一定的情境下，不随其他因素的改变而改变的量求解定值问题的大体思考方法：若题设中未告知定值，可考虑用特殊值探求；若已告知，可设参数(有时甚至要设两个参数)，运算推理到最后参数必消，定值显露由于圆锥曲线是出现定值问题的热点地带，下面以圆锥曲线试题为例来探究这类问题的求解策略【例4】(2014江西高考)如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于
10、点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值证明(1)依题意可设AB方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x28，直线AO的方程为yx；BD的方程为xx2.解得交点D的坐标为注意到x1x28及x4y1，则有y2，因此D点在定直线y2(x0)上(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0，由0得(4a)216b0，化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2、y2得N1、N2的坐标为N1(a,2)，N2(a，2)，则|MN2|2|MN1|2(a)242(a)28，即|MN2|2|MN1|2为定值8.
