1、13.2 函数的极值与导数研题型 学方法 题型一 求函数的极值例 1 求函数 f(x)13x332x22x1 的极值解析：f(x)x23x2(x1)(x2)令 f(x)0，解得 x1 或 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况见下表：当 x1 时，f(x)有极大值，且极大值为 f(1)16；当 x2 时，f(x)有极小值，且极小值为 f(2)13.规律方法：求可导函数 f(x)的极值的方法：(1)求导数 f(x)(2)求方程 f(x)0 的所有实数根(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数 f(x)的符号如何变化：如果 f(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值
2、；如果 f(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值；如果在 f(x)的根 xx0 的左右两侧符号不变，则 f(x0)不是极值 变式训练 1已知函数 f(x)x3px2qx 的图象与 x 轴切于(1，0)点，则 f(x)的极大值为_，极小值为_解析：因为 f(x)与 x 轴切于(1，0)点，f(x)3x22pxq，所以 f(1)32pq0.又 f(1)1pq0，所以 p2，q1.所以 f(x)3x24x1.由 f(x)0 得 x113，x21.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)极大值f13 427，f(x)极小值f(1)0.答案：427 0题型二 已知函数的极值求参
3、数例 2 已知 f(x)x3ax2bxc 在 x1 与 x23时都取得极值求 a，b 的值若 f(1)32，求 f(x)的单调区间和极值解析：f(x)3x22axb，令 f(x)0，由题设知 x1 与 x23为 f(x)0 的解12323a，123b3.a12，b2.由知 f(x)x312x22xc，由 f(1)1122c32，得 c1.f(x)x312x22x1.f(x)3x2x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)的递增区间为，23 和(1，)，递减区间为23，1.当 x23时，f(x)有极大值为 f23 4927；当 x1 时，f(x)有极小值为 f(1)12.
4、规律方法：对于求含参数函数的极值问题，若参数对函数的单调性(即导数的正负)有影响则需对参数分类讨论，否则不用讨论参数 变式训练 2设 aR，若函数 yexax，xR 有大于零的极值点，则(A)Aa1 Ca1eDa1e 解析：yexa，设该函数大于 0 的极值点为 x0，则 y|xx0ex0a0，aex0e01.题型三 函数极值的综合应用例 3 已知 a 为实数，函数 f(x)x33xa.(1)求函数 f(x)的极值；(2)当 a 为何值时，方程 f(x)0 恰好有两个实数根？解析：(1)由 f(x)x33xa，得 f(x)3x23，令 f(x)0，得 x1 或 x1.当 x 变化时，f(x)，
5、f(x)的变化情况如下表：由表可知函数 f(x)的极小值为 f(1)a2；极大值为 f(1)a2.(2)结合图象(图略)，当极大值 a20，极小值小于 0时，曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)0 恰有两个实数根，所以 a2 满足条件；当极小值 a20，极大值大于 0 时，曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)0 恰好有两个实数根，所以 a2 满足条件 综上，当 a2 时，方程恰有两个实数根 规律方法：极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用在解题过程
6、中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键变式训练 3函数 f(x)x2aln(1x)有两个极值点 x1，x2，且x10，g（1）a0，0a12.析疑难 提能力 对用导数求极值的方法掌握不熟致误.【典例】函数 y13x3x2x5 的极大值是()A5 B4C.163D不存在解析：因为 yx22x1(x1)20 在 R 上恒成立，所以函数 y13x3x2x5 在 R 上是单调增函数，所以函数无极值故选 D.答案：D【易错剖析】本题会出现下面的错解：yx22x1(x1)2，令 y0，得(x1)20，即x1，所以当 x1 时，函数有极大值为163.这是由于对用导数求函数极值的方法掌握不熟，没有讨论 x1 的两侧 y的值的符号，只有 y的符号改变，函数在 x1 处才有极大值或极小值
