1、2015-2016学年吉林省长春十一中高一（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列结论成立的是（）ABCD不能确定2下列不等式中，对任意xR都成立的是（）ABx2+12xClg（x2+1）lg2xD13已知等差数列an中a1=20，an=54，Sn=999，则n=（）A27B28C29D304在等差数列an中，a1+a15=3，则S15=（）A45B30C22.5D215已知an是等差数列，且a4+4是a2+2和a6+6的等比中项，则an的公差d=（）A1B1C2D26等比数列an的前n项和
2、为，则实数a的值是（）A3B3C1D17在ABC中，已知，B=45 则A角的度数为（）A60B120C60或120D308已知ABC的面积为，则角C的度数是（）A45B60C120D1359三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x6=0的根，则三角形的另一边长为（）A52B2C16D410已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=（）ABCD11已知ABC分别为a，b，c，边长c=2，C=，若a+b=ab，则ABC的面积为（）A1B2CD212设函数，a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，已知，其中角C为锐角，则sinA=（）ABCD二、填空
3、题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13在ABC中，已知，则边长b等于14已知数列an满足a1=1，an+1=，（nN+），则an=15先画一个边长为2的正方形，再将这个正方形的各边中点相连得到第2个正方形，依此类推，则第10个正方形的面积为（用最简分数表示）16已知等差数列an的首项和公差均为，则数列的前100项和S100=三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知等差数列an中，a1=1，a3=3数列an的前n项和Sn（1）求数列an的通项公式（2）若Sk=35，求k的值18在ABC中，角A，B，C的对角边分别为a，b，c，B=，co
4、sA=，b=（1）求sinC的值（2）求ABC的面积19如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1 km试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449）20已知数列bn前n项和Sn，且b1=1，（1）求b2，b3，b4的值；（2）求bn的通项公式附加题21已知f（x）=mx（m为常数，m0且m1）设f（a1），f（a2），f（an），（nN*）是首项为m2，公比为m的等比数列（）
5、求证：数列an是等差数列；（）若bn=anf（an），且数列bn的前n项和为Sn，当m=2时，求Sn2015-2016学年吉林省长春十一中高一（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1下列结论成立的是（）ABCD不能确定【考点】不等式的基本性质【分析】由于22，即可得出结论【解答】解：由于22，7+10+23+14+2，故选：A2下列不等式中，对任意xR都成立的是（）ABx2+12xClg（x2+1）lg2xD1【考点】不等式比较大小【分析】可采用特值排除法，例如令x=0，可排除
6、A，C，令x=1可排除B，从而可得答案【解答】解：xR，令x=0，可排除A，C；再令x=1可排除B，而1（x2）20，显然成立故选D3已知等差数列an中a1=20，an=54，Sn=999，则n=（）A27B28C29D30【考点】等差数列的前n项和【分析】由已知得=，由此能求出n【解答】解：等差数列an中a1=20，an=54，Sn=999，=，解得n=27故选：A4在等差数列an中，a1+a15=3，则S15=（）A45B30C22.5D21【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的前n项和公式直接求解【解答】解：在等差数列an中，a1+a15=3，S15=（a1+a15）=22.5
7、故选：C5已知an是等差数列，且a4+4是a2+2和a6+6的等比中项，则an的公差d=（）A1B1C2D2【考点】等差数列的通项公式【分析】a4+4是a2+2和a6+6的等比中项，可得： =（a2+2）（a6+6），化为=（a42d+2）（a4+2d+6），解出d即可【解答】解：a4+4是a2+2和a6+6的等比中项，=（a2+2）（a6+6），=（a42d+2）（a4+2d+6），化为（d+1）2=0，解得d=1故选：B6等比数列an的前n项和为，则实数a的值是（）A3B3C1D1【考点】等比数列的前n项和【分析】由于等比数列的前n项和是，得到若，则a=3【解答】解：由于等比数列an的前n
8、项和为，则数列的公比不为1，且=3n+1a=33na，所以a=3故选 B7在ABC中，已知，B=45 则A角的度数为（）A60B120C60或120D30【考点】正弦定理【分析】由B的度数求出sinB的值，同时根据a大于b，利用大边对大角得到A大于B，由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，再由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数【解答】解：a=，b=，B=45，由正弦定理=得：sinA=，45A180，A的度数为60或120故选C8已知ABC的面积为，则角C的度数是（）A45B60C120D135【考点】余弦定理【分析】根据ABC的面积为：（a2+b2c2）=abs
9、inC，求得c2=a2+b22absinC，再由余弦定理得tanC=1，由此求得C的值【解答】解：ABC的面积为（a2+b2c2）=absinC，c2=a2+b22absinC又根据余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，2absinC=2abcosC，即sinC=cosC，tanC=1，C=45，故选：A9三角形的两边边长分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x27x6=0的根，则三角形的另一边长为（）A52B2C16D4【考点】余弦定理；一元二次方程的根的分布与系数的关系【分析】解方程5x27x6=0可得cos=，利用余弦定理求出第三边的长即可【解答】解：解方程5x27x6=0可得此方程
10、的根为2或，故夹角的余弦cos=，由余弦定理可得三角形的另一边长为： =2故选B10已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=（）ABCD【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理把等式中角的正弦转化成边，整理求得a，b和c的关系式，代入余弦定理求得cosB的值，进而求得B【解答】解：=，且=，整理得a2+c2b2=ac，cosB=，0B，B=故选：C11已知ABC分别为a，b，c，边长c=2，C=，若a+b=ab，则ABC的面积为（）A1B2CD2【考点】余弦定理【分析】由已知及余弦定理可求a2b23ab4=0，解得ab的值，利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：在ABC中，
11、c=2，C=，a+b=ab，由余弦定理c2=a2+b22abcosC，可得：4=a2+b2ab=（a+b）23ab=a2b23ab，a2b23ab4=0，解得：ab=4或1（舍去），SABC=absinC=故选：C12设函数，a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，已知，其中角C为锐角，则sinA=（）ABCD【考点】余弦函数的图象【分析】首先化简函数f（x），根据f（）=求出角C的正弦值，进而求出角C的大小；然后求出角B的正弦、余弦，最后根据两角和的正弦公式，求出sinA的值即可【解答】解：f（x）=cos（2x+）+sin2x=cos2xsin2x+=sin2x，f（）=sin
12、C=，sinC=C为锐角，C=，因为在ABC 中，cosB=，所以sinB=，所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13在ABC中，已知，则边长b等于7【考点】余弦定理【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解b的值【解答】解：，由余弦定理可得：b2=a2+c22accoB=92+（2）22=147，解得：b=7故答案为：714已知数列an满足a1=1，an+1=，（nN+），则an=【考点】数列递推式【分析】an+1=，可得=，利用“累乘求积”即可得出【解答】解：an+1=，=，an=a1=1=，n=1时
13、也成立an=故答案为：15先画一个边长为2的正方形，再将这个正方形的各边中点相连得到第2个正方形，依此类推，则第10个正方形的面积为（用最简分数表示）【考点】归纳推理【分析】根据正方形的面积成等比数列求出第10个正方形的面积即可【解答】解：第一个正方形的面积是2，第二个正方形的面积是，第三个正方形的面积是，故第n个正方形的面积是：2，故第10个正方形的面积是：2=，故答案为：16已知等差数列an的首项和公差均为，则数列的前100项和S100=【考点】数列的求和【分析】推导出=4（），由此利用裂项求和法能求出数列的前100项和【解答】解：等差数列an的首项和公差均为，an=，=4（），数列的前1
14、00项和：S100=4（1）=4（1）=故答案为：三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知等差数列an中，a1=1，a3=3数列an的前n项和Sn（1）求数列an的通项公式（2）若Sk=35，求k的值【考点】等差数列的前n项和【分析】（1）由题意可得公差d，代入通项公式可得；（2）由求和公式可得：Sk=35，解之即可【解答】解：（1）由题意可得数列的公差d=2，故数列an的通项公式an=12（n1）=32n；（2）由等差数列的求和公式可得：Sk=35，化简可得k22k35=0解之可得k=7，或k=5（舍去）故k的值为：718在ABC中，角A，B，
15、C的对角边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=（1）求sinC的值（2）求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）运用同角的平方关系和两角和的正弦公式计算即可得到；（2）运用正弦定理和三角形的面积公式计算即可得到【解答】解：（1）由cosA=，得sinA=，即有sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=；（2）由正弦定理可得，a=，则ABC的面积为S=absinC=19如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.
16、1 km试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449）【考点】解三角形的实际应用【分析】在ACD中，DAC=30推断出CD=AC，同时根据CB是CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在ABC中利用余弦定理求得AB答案可得【解答】解：在ACD中，DAC=30，ADC=60DAC=30，所以CD=AC=0.1又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在ABC中， =，sin215=，可得sin15=，即AB=，因此，BD=0.33km故B、D的距离约为0.33km20已知数列bn
17、前n项和Sn，且b1=1，（1）求b2，b3，b4的值；（2）求bn的通项公式【考点】数列递推式【分析】（1）由b1=1，分别取n=1，2，3，即可得出（2）利用递推关系即可得出【解答】解：（1）b1=1，b2=，b3=b4=（2）n2时，bn+1bn=，可得bn+1=bn，数列bn是等比数列，公比为bn=1=附加题21已知f（x）=mx（m为常数，m0且m1）设f（a1），f（a2），f（an），（nN*）是首项为m2，公比为m的等比数列（）求证：数列an是等差数列；（）若bn=anf（an），且数列bn的前n项和为Sn，当m=2时，求Sn【考点】数列的求和；等差关系的确定【分析】（I）根据
18、等比数列的通项公式，可得f（an）=m2mn1=mn+1，从而可得an=n+1，进而可证数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；（II）当m=2时，bn=（n+1）2n+1，利用错位相减法可求数列的和；【解答】证明：（I）由题意f（an）=m2mn1=mn+1，即an=n+1，an+1an=1，数列an是以2为首项，1为公差的等差数列解：（II）由题意bn=anf（an）=（n+1）mn+1，当m=2时，bn=（n+1）2n+1Sn=222+323+424+（n+1）2n+1式两端同乘以2，得2Sn=223+324+425+n2n+1+（n+1）2n+2并整理，得Sn=2222324252n+1+（n+1）2n+2=22（22+23+24+2n+1）+（n+1）2n+2=22+（n+1）2n+2=22+22（12n）+（n+1）2n+2=2n+2n2016年11月3日
