1、河北省冀州中学2021届高三数学上学期第二次月考试题（含解析）考试时间：115分钟 考试分数：150分一单项选择题：本题共8小题.每小题5分.共40分在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的1. 已知集合.集合.则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求解集合，再求.【详解】，.故选：B2. 设是可导函数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由导数的定义计算【详解】，故选：C【点睛】本题考查导数定义，注意定义中，分子分母都是的增量，两者一样根据极限的性质，（是常数且）3. 函数在处的切线斜率为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【
2、解析】【分析】先对函数求导，然后代入切点的横坐标，即可求得本题答案.详解】由，得，所以切线斜率.故选：B【点睛】本题主要考查在曲线上一点的切线斜率，属基础题.4. 定义在上的函数满足,且时,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知, 是奇函数且周期为4,从而可得,即可进行求解.【详解】解: 在 上恒成立, 为奇函数 的周期为4 即 故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的周期性,考查了对数的运算性质.本题的难点在于根据奇偶性和周期性将所求自变量的值,转化为.一般地,若已知 ,则周期;若已知,则;若已知,则说明函数的对称轴为.5. 若，均为锐角，则（）A.
3、 B. C. 或D. 【答案】B【解析】【分析】首先判断的范围，再表示为，利用两角差的余弦公式求解.【详解】因为，均为锐角，若是锐角，那么，则，这与已知矛盾，所以是钝角，则 ， .故选：B【点睛】本题考查已知三角函数求值，重点考查角的转化，属于基础题型，本题的易错点是忽略判断的范围，而造成增根情况.6. 数列中.若.则（ ）A. -1B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】首先判断数列的周期，再求.【详解】，数列是周期的数列，.故选：B7. 若实数，满足，则，的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】令，则，
4、因为，由的图象可得：，所以；因为与互为反函数，图象关于对称，因为，所以，综上所述：.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.8. 知函数（，）满足，其图象与直线的某两个交点横坐标为，且的最小值为现给出了以下结论且 在上单调递减且在上单调递增且 是的对称中心则以上正确的结论编号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正弦型函数的周期公式、奇偶性、单调性、对称性逐一判断即可.【详解】根据及条件的最小值为，可知函数的最大值为2，的最小正周期为，因为，所以，因为，所以函数是偶函数，
5、而，所以于是序号正确，进而知；对于序号：，于是序号错误；对于序号，当且仅当取时，解得，即为的单调增区间，显然，又，故序号正确；对于序号，令，解得，即为函数的对称中心，显然是的其中一个对称中心，故序号正确，综上知正确的序号为故选：C【点睛】本题以三角函数函数为载体，主要考查三角函数图象及性质概念理解，同时考查了逻辑推理、直观想象转化能力，试题体现了理性思维、由具体到抽象转化，追寻知识背后的延伸结论，这是解题的基本功展现，试题难度：中二多选题：本题共4小题.每小题5分；共20分在每个小题给出的选项中.有多项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得3分.有选错的得0分9. 在中，D在线段上，且若
6、，则（ ）A. B. 的面积为8C. 的周长为D. 为钝角三角形【答案】BCD【解析】【分析】由同角的三角函数关系即可判断选项A；设,则,在中,利用余弦定理求得,即可求得,进而求得,即可判断选项B；在中,利用余弦定理求得,进而判断选项C；由为最大边,利用余弦定理求得,即可判断选项D.【详解】因为,所以,故A错误；设,则,在中,解得,所以,所以,故B正确；因为,所以,在中,解得,所以,故C正确；因为为最大边,所以,即为钝角,所以为钝角三角形,故D正确.故选:BCD【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积的公式的应用,考查判断三角形的形状.10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者
7、之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）A. 是偶函数B. 是奇函数C. 在上是增函数D. 的值域是【答案】BC【解析】【分析】由判断A；由奇函数定义证明B；把的解析式变形，由的单调性结合复合函数的单调性判断C正确；求出的范围，进一步求得的值域判断D【详解】，则不是偶函数，故A错误；的定义域为，为奇函数，故B正确；，又在上单调递增，在上增函数，故C正确；，则，可得，即，故D错误故选：BC【点睛】关键点点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函
8、数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.11. 已知数列的前项和为，且，（，为非零常数），则下列结论正确的是（ ）A. 是等比数列B. 当时，C. 当时，D. 【答案】ABC【解析】【分析】由和等比数列的定义，判断出A正确；利用等比数列的求和公式判断B正确；利用等比数列的通项公式计算得出C正确，D不正确【详解】由，得.时，相减可得，又，数列为首项为，公比为的等比数列，故A正确；由A可得时，故B正确；由A可得等价为，可得，故C正确；，则，即D不正确；故选：ABC.【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.12. 已知直
9、线分别与函数和的图象交于点，则下列结论正确的是( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】根据互为反函数的性质可得的中点坐标为，从而可判断A；利用基本不等式可判断B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称，将与联立，则，由直线分别与函数和的图象交于点，作出函数图像：则的中点坐标为，对于A，由，解得，故A正确；对于B，因为，即等号不成立，所以，故B正确；对于C，将与联立可得，即，设，且函数为单调递增函数，故函数的零点在上，即，由，则，故C正确；对于D，由，解得，由于，则，故D错误；故选：ABC【点睛】本题考查了互为反函数的性
10、质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.三填空题：本题共4小题.每小题5分.共20分13. 已知集合，则 _【答案】【解析】【分析】利用交集的定义和对数函数的性质求解【详解】解：集合，故答案为：【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用14. 已知中的内角为，重心为，若，则_.【答案】【解析】【详解】试题分析：设为角所对的边，由正弦定理得 ，则即，又因为不共线，则, ,即所以，.考点：向量及解三角形.15. 若函数，的图象与直线恰有两个不同交点，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题意，画出的图象，数形结
11、合，即可求得参数的取值范围.【详解】因为，所以，所以，所以，且，作出函数的图象， 如图：由题意结合函数图象可知.故答案为：.【点睛】本题考查利用数形结合由图象交点个数求参数范围，涉及正弦型函数图象的绘制，属综合基础题.16. 各项均为正数的等比数列的前n项和为，则使成立的n的最小值为_.【答案】8【解析】【分析】由条件解出，然后求出，然后解出不等式即可【详解】设等比数列的公比为因为，所以解得或（舍）所以所以由可得，所以使成立的n的最小值为8故答案为：8【点睛】本题考查的是等比数列基本量的计算，较简单.四解答题：本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17. 已知等差数列的
12、公差它的前项和为，若且成等比数列（1）求数列通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）等差数列的通项公式ana1（n1）d和前n项和公式Snna1中，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，这五个量中知其中三个就能求另外两个，解题中要注意方程思想的运用（2）利用，通过裂项相消法即可【详解】（1）由题意得解得（2）考点：数列通项及求和的简单应用18. 已知函数.（1）若的最小值是2，求a；（2）把函数图像向右平移个单位长度，得到函数图像，若时，求使成立的x的取值集合.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）化简，求出最小值，即可求解；（2）根
13、据平移关系求出，再解关于三角不等式，即可求解.【详解】（1），（2） 由知，解得， 满足的x取值的集合为.【点睛】本题考查三角函数的化简、性质；考查三角函数的平移关系以及解三角不等式，属于中档题.19. 已知中，角的对边分别为（1）若依次成等差数列，且公差为2，求的值；（2）若的外接圆面积为，求周长的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由成等差数列，且公差为，可得，利用余弦定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设，利用外接圆面积为，求得外接圆的半径根据正弦定理，利用表示出三边，将周长表示为关于的函数，利用三角函数的值域求解方法求得最大值.【详解】（1）依次成等差数列，且公
14、差为 ，由余弦定理得：整理得：，解得：或又，则（2）设，外接圆的半径为，则，解得：由正弦定理可得：可得：，的周长又 当，即：时，取得最大值【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题20. 如图，在平面四边形，已知，.（1）若平分，且，求的长；（2）若，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平分，得出，进而得出，再由余弦定理，即可得出的长；（2）根据三角恒等变换的公式，求得，再由正弦定理得出的长.【详解】（1）若平分，则由余弦定理得解得
15、或（舍）（2）又在中，由正弦定理可得即【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.21. 已知数列中，.（1）证明数列是等比数列并求数列的通项公式；（2）若数列的通项公式，数列满足，记数列的前项和为.若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出，由此能证明数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而的通项，由此能求出的通项公式（2）由（1）可得，利用错位相减法求和，再对分奇、偶两种情况分别求出参数的取值范围；【详解】解：（1）因为，所以.所以，且.所以数列是以为首项，3为公比的等比数列.因此，从而.（2）由（1）得，所以
16、，由-得，所以.因为不等式对任意恒成立，所以当为偶数时，因为，所以；当为奇数时，因为，所以；综上：实数的取值范围是.【点睛】本题考查待定系数法求数列的通项公式以及错位相减法求和，属于中档题.22. 已知函数.（）当时，求在上的最值；（）若对一切，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（）最大值1，最小值；（）.【解析】【分析】（）当时， 求得函数的导数，得到函数的单调性和最值，即可求解；（）由不等式的恒成立转化为求解函数的的最值，结合导数对分类讨论求，最后结合函数的单调性和性质，即可求解.【详解】（）由函数，则，当时， 可得令，即，解得；令，即，解得；所以在递增，在递减，所以，又，所以，所以在上的最大值为1，最小值为.（）由函数，则，解得，又由，因为，则，可得，所以，（i）当时，所以在递增，所以恒成立；（ii）当时，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以，使得，所以当时，；当是，所以在单调递减，在单调递增，又因为，所以，所以，即实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，恒成立问题的求解，以及三角函数的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题
