1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十九)一、选择题1.(2013郑州模拟)把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为( )(A)120(B)30(C)90(D)602.(2013银川模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为边长为1的正三角形，侧棱AA1底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin 的值为( )(A)(B)(C)(D)3.(2013合肥模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D
2、1中，二面角A1-BD-C1的余弦值为( )(A)(B)(C)(D)4.已知直二面角-l-,点A,ACl,C为垂足，B,BDl,D为垂足.若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于( )(A)(B)(C)(D)15.(2013三亚模拟)如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，ACB=90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为( )(A)(B)-(C)(D)-6.如图，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AFADa，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为( )(A)(B)(
3、C)(D)二、填空题7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为_8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为_.9.二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD，则该二面角的大小为_.10.正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角等于_三、解答题11.(2013安阳模拟)如图，正方形ABCD
4、所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，EA=ED，AE平面CDE.(1)求证：AB平面ADE.(2)设M是线段BE上一点，当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为时，试确定点M的位置.12.(2013厦门模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形且ADC=60，M为PB的中点.(1)求PA与底面ABCD所成角的大小.(2)求证：PA平面CDM.(3)求二面角D-MC-B的余弦值.13.(能力挑战题)已知正方形ABCD的边长为2，ACBD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a,得到三棱锥A-BCD，如图所示.(1)当a=2
5、时，求证：AO平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120时，求二面角A-BC-D的正切值.答案解析1.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(,0,0),B(0,0), C(0,0,),D(0,-,0),=(-,-,0),=(0,-,),|=2,| |=2, =2,.异面直线AD，BC所成的角为60.2.【解析】选D.如图，建立坐标系，易求点D(，1)，平面AA1C1C的一个法向量是n=(1,0,0),所以cosn,=,即sin =3.【解析】选D.设正方体棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,易知A1EBD，C1EBD，则A1EC1是二面角A1-BD-C1的平面
6、角，(，-，1)，(-，1)，cos.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法.其步骤是：建系;分别求构成二面角的两个半平面的法向量;求法向量夹角的余弦值;根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法.该法就是首先利用二面角的定义，找出二面角的平面角，然后用向量法或解三角形法求其余弦值.4.【解析】选C.,| |2=2.在RtBDC中，BC.平面ABC平面BCD，过D作DHBC于H，则DH平面ABC，DH的长即为D到平面ABC的距离，DH,故选C.5.【解析】选A.如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，ACB=90，F，G分别是线段AE，BC的中
7、点.以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz,A(0，2，0)，B(2，0，0)，D(0，0，2)，G(1，0，0)，F(0，2，1)，=(0，-2，2)， =(-1，2，1)，| |=2，|=，=-2，直线AD与GF所成角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B.【变式备选】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是( )(A)(B)(C)(D)【解析】选D.建立坐标系，通过向量的坐标运算可知AMOP恒成立，即AM与OP所成的角为6.【解析】选C.如图，以A为原点建立空间直角坐标
8、系，则A(0，0，0)，B(0,2a,0)，C(0，2a,2a)，G(a,a，0)，F(a，0，0)，(a，a，0)，(0，2a，2a)，(a，-a，0)，(0，0，2a).设平面AGC的一个法向量为n1(x1,y1,1),由n1=(1,-1,1).设为GB与平面AGC所成的角，则sin =.7.【解析】以D为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B1(2,2,2)，N(0,2,1)，(2,0,1)，又M(0,1,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，则(2,2,0)，(0,1,2)，可得平面BDM的一个法向量n(2，2,1)，因为，故直线B1N与平面BDM
9、所成角的正弦值是.答案：8.【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O(,1)，=(0，1，0)， =(-1，0，1)，设平面ABC1D1的法向量n=(x,y,z)，由得令x=1，得n=(1,0,1).又(-,-,0)，O到平面ABC1D1的距离d=.答案:9.【解析】由条件,知0，0，62+42+82+268cos=()2,cos=,120,二面角的大小为60.答案：6010.【解析】如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=
10、a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(-a,0,0)，P(0，)，则(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0).设平面PAC的法向量为n，可取n(0,1,1)，则，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案：3011.【解析】(1)AE平面CDE，CD平面CDE，AECD.在正方形ABCD中，CDAD,ADAE=A,CD平面ADE.ABCD,AB平面ADE.(2)由(1)得平面EAD平面ABCD，取AD中点O，连接EO.EA=ED,EOAD,EO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1).设M(x,y,z
11、).=(x-1,y-2,z), =(-1,-2,1),B,M,E三点共线，设=,M(1-,2-2,),=(-,2-2,).设AM与平面EAD所成角为,平面EAD的一法向量为n=(0,1,0),sin =，解得=，即点M为BE的中点.【变式备选】(2013石家庄模拟)如图，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都是2，底面正方形两条对角线相交于O点，M是侧棱PC的中点.(1)求此正四棱锥的体积.(2)求直线BM与侧面PAB所成角的正弦值.【解析】(1)由题可得，PO底面ABCD.在RtAOP中，AOAC，AP2，PO.故VP-ABCD=S底PO4.(2)由(1)知PO底面ABCD，且OAOB，以O点
12、为原点，OA，OB，OP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为A(，0，0)，B(0，0)，P(0，0，)，M()，设平面ABP的一个法向量为n(x,y,z)，则有取x=1，则y=1,z=1，n=(1,1,1),sin = 12.【解析】(1)取DC的中点O，由PDC是正三角形，有PODC.又平面PDC底面ABCD，PO平面ABCD于O.连接OA,则OA是PA在底面上的射影,PAO就是PA与底面所成的角.ADC=60,由已知PCD和ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=.PAO=45,PA与底面ABCD所成角的大小为45.(2)由底面ABCD为菱形且AD
13、C=60,DC=2,DO=1,得OADC.建立空间直角坐标系如图，则A(,0,0),P(0,0,),D(0,-1,0),B(,2,0),C(0,1,0).由M为PB中点,M(,1,),=(,2,)，=(，0，-),=(0,2,0),=0+20+0(-)=0,PADM,PADC.又DMDC=D,PA平面CDM.(3)=(,0,)，=(，1，0).令平面BMC的法向量n=(x,y,z),则n=0，从而x+z=0;n=0,从而x+y=0,由，取x=-1，则y=,z=1.可取n=(-1,1).由(2)知平面CDM的法向量可取=(,0,-),所求二面角的余弦值为.13.【解析】(1)根据题意，在AOC中
14、，AC=a=2,AO=CO=,所以AC2=AO2+CO2，所以AOCO.又AOBD,BDCO=O,所以AO平面BCD.(2)方法一：由(1)知，COOD,以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系O-xyz,则有O(0,0,0),D(0, ,0),C(,0,0),B(0,-,0).设A(x0,0,z0)(x00),则=(x0,0,z0), =(0,0).平面ABD的一个法向量为n=(z0,0,-x0).平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120,所以|cosm,n|=|cos 120|=,得z02=3x02.因为|OA|=,所以
15、.解得x0=,z0=.所以A().平面ABC的一个法向量为l=(1,-1,).设二面角A-BC-D的平面角为,所以cos =|cosl,m|=.所以tan =.所以二面角A-BC-D的正切值为.方法二：折叠后，BDAO,BDCO.所以AOC是二面角A-BD-C的平面角，即AOC=120.在AOC中，AO=CO=，所以AC=.如图，过点A作CO的垂线交CO延长线于点H，因为BDCO,BDAO,且COAO=O，所以BD平面AOC.因为AH平面AOC，所以BDAH.又COAH,且COBD=O,所以AH平面BCD.所以AHBC.过点A作AKBC,垂足为K，连接HK，因为BCAH,AKAH=A,所以BC平面AHK.因为HK平面AHK，所以BCHK.所以AKH为二面角A-BC-D的平面角.在AOH中，得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=.在RtCHK中，HK=,在RtAHK中，tanAKH=.所以二面角A-BC-D的正切值为.关闭Word文档返回原板块。
