1、11 命题及其关系11.1 命题题型一 命题的判断例 1 判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由(1)“垂直同一条直线的两条直线必平行吗?”;(2)“一个数不是正数就是负数”;(3)“大角所对的边大于小角所对的边”;(4)“xy 为有理数,则 x,y 也都是有理数”;(5)“ABCABC”分析:解答本题,首先要根据命题的概念,判断是否是命题,若是,再根据条件和结论的逻辑关系判断真假 解析:(1)疑问句没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行做出判断,不是命题(2)是假命题数 0 既不是正数也不是负数(3)是假命题没有说明在同一个三角形中(4)是假命题如 x 3,y 3.(5)祈使句
2、不是命题 规律技巧:判断一个语句是否是命题,关键在于能否判断其真假一般地,陈述句“是有理数”,反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗?”都叫命题;而祈使句“求证 2是无理数”,疑问句“是无理数吗?”,感叹句“向抗洪英雄学习!”等就不是命题 变式训练1判断下列语句是不是命题,并说明理由(1)三角函数是函数;(2)若 a 与 b 是无理数,则 ab 是无理数;(3)5x7;(4)刘翔是 2010 年亚运会 110 米栏的冠军;(5)这件衣服好看吗?解析:(1)是陈述句,并且它是真的,因此它是命题(2)是陈述句,并且它是假的,因此它是命题(3)因为 x 是未知数,不能判断“5x7”的真假,所以不是命题
3、(4)是陈述句,并且它是真的,因此它是命题(5)是陈述句,且衣服好看不好看带有主观色彩,不能判断真假,不是命题题型二 真假命题的判断例 2 下列命题中是真命题的是()A若1x1y,则 xyB若 x21,则 x1C若 xy,则 x yD若 xy,则 x2y2分析:根据命题本身涉及的知识去判断真假的方法 解析:A 项正确 若 x21,则 x1,B 错误 若 xy0,则 x,y无意义,C 错误 若 xy0,则 x2y2,D 错误 答案:A方法总结:判断命题的真假的方法:(1)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题,也是判断一个命题是否为真命题的依据,有时也可依据客观事实进行判断(2)若命题为假,
4、只需用一个反例检验即可 变式训练2判断下列命题的真假(1)x24x40;(2)正项等差数列的公差大于零;(3)奇函数的图象关于原点对称;(4)能被 2 整除的数一定能被 4 整除解析:(1)因为 x24x4(x2)20,所以是真命题(2)假命题反例:若此数列为有限项的递减数列,如数列:20,17,14,11,它的公差却是:3.(3)真命题这是奇函数的性质(4)假命题反例:“2,6 都能被 2 整除,但不能被 4 整除”点评:判断一个命题是假命题时,只要能找出一个反例就可以了;反之要判断一个命题为真命题,却要有严格的证明题型三 命题的结构形式例 3 把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式:(1
5、)末位是 0 的整数,可以被 5 整除;(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;(3)有一个角为直角的平行四边形为矩形;(4)到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线解析:(1)若一个整数的末位是 0,则它可以被 5 整除;(2)若一个点在线段的垂直平分线上,则它与这条线段两个端点的距离相等;(3)若平行四边形的一个角为直角,则它是矩形;(4)若一条直线到圆心的距离不等于半径,则它不是圆的切线 方法总结:把一个命题改写成“若 p,则 q”的形式,首先要确定命题的条件和结论,若条件和结论比较隐含,要补充完整,有时一个条件有多个结论,有时一个结论需多个条件,还要注意有的命题改写形式也不唯一 变式训练3把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式:(1)等比数列an的前 n 项和 Sna1(1qn)1q;(2)平行于同一直线的两直线必平行;(3)垂直于同一平面的两条直线互相平行;(4)质数是奇数答案:(1)若数列an是等比数列,则它的前 n 项和 Sna1(1qn)1q;(2)若两条直线同时和第三条直线平行,则这两条直线也平行;(3)若两条直线都垂直于同一平面,则这两条直线平行;(4)若一个数是质数,则它是奇数