1、11 命题及其关系11.1 命题题型一 命题的判断例 1 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由(1)“垂直同一条直线的两条直线必平行吗？”；(2)“一个数不是正数就是负数”；(3)“大角所对的边大于小角所对的边”；(4)“xy 为有理数，则 x，y 也都是有理数”；(5)“ABCABC”分析：解答本题，首先要根据命题的概念，判断是否是命题，若是，再根据条件和结论的逻辑关系判断真假 解析：(1)疑问句没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行做出判断，不是命题(2)是假命题数 0 既不是正数也不是负数(3)是假命题没有说明在同一个三角形中(4)是假命题如 x 3，y 3.(5)祈使句
2、不是命题 规律技巧：判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假一般地，陈述句“是有理数”，反意疑问句“难道矩形不是平行四边形吗？”都叫命题；而祈使句“求证 2是无理数”，疑问句“是无理数吗？”，感叹句“向抗洪英雄学习！”等就不是命题 变式训练1判断下列语句是不是命题，并说明理由(1)三角函数是函数；(2)若 a 与 b 是无理数，则 ab 是无理数；(3)5x7；(4)刘翔是 2010 年亚运会 110 米栏的冠军；(5)这件衣服好看吗？解析：(1)是陈述句，并且它是真的，因此它是命题(2)是陈述句，并且它是假的，因此它是命题(3)因为 x 是未知数，不能判断“5x7”的真假，所以不是命题
3、(4)是陈述句，并且它是真的，因此它是命题(5)是陈述句，且衣服好看不好看带有主观色彩，不能判断真假，不是命题题型二 真假命题的判断例 2 下列命题中是真命题的是()A若1x1y，则 xyB若 x21，则 x1C若 xy，则 x yD若 xy，则 x2y2分析：根据命题本身涉及的知识去判断真假的方法 解析：A 项正确 若 x21，则 x1，B 错误 若 xy0，则 x，y无意义，C 错误 若 xy0，则 x2y2，D 错误 答案：A方法总结：判断命题的真假的方法：(1)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题，也是判断一个命题是否为真命题的依据，有时也可依据客观事实进行判断(2)若命题为假，
4、只需用一个反例检验即可 变式训练2判断下列命题的真假(1)x24x40；(2)正项等差数列的公差大于零；(3)奇函数的图象关于原点对称；(4)能被 2 整除的数一定能被 4 整除解析：(1)因为 x24x4(x2)20，所以是真命题(2)假命题反例：若此数列为有限项的递减数列，如数列：20，17，14，11，它的公差却是：3.(3)真命题这是奇函数的性质(4)假命题反例：“2，6 都能被 2 整除，但不能被 4 整除”点评：判断一个命题是假命题时，只要能找出一个反例就可以了；反之要判断一个命题为真命题，却要有严格的证明题型三 命题的结构形式例 3 把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式：(1
5、)末位是 0 的整数，可以被 5 整除；(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；(3)有一个角为直角的平行四边形为矩形；(4)到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线解析：(1)若一个整数的末位是 0，则它可以被 5 整除；(2)若一个点在线段的垂直平分线上，则它与这条线段两个端点的距离相等；(3)若平行四边形的一个角为直角，则它是矩形；(4)若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线 方法总结：把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一 变式训练3把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式：(1)等比数列an的前 n 项和 Sna1（1qn）1q；(2)平行于同一直线的两直线必平行；(3)垂直于同一平面的两条直线互相平行；(4)质数是奇数答案：(1)若数列an是等比数列，则它的前 n 项和 Sna1（1qn）1q；(2)若两条直线同时和第三条直线平行，则这两条直线也平行；(3)若两条直线都垂直于同一平面，则这两条直线平行；(4)若一个数是质数，则它是奇数