1、第18讲 抛物线的标准方程与几何性质一、教学目标1会求顶点在原点的抛物线的标准方程；2理解抛物线的几何性质；3会处理简单的直线与抛物线的位置关系。二、基础知识回顾与梳理“知识梳理”回顾 ：阅读教材2-1第50页至第53页1.列出抛物线的几何性质的表格. 2.完成教材第51页的例1.例2.第52页的例1.例2. 要点解析1.抛物线的定义实质上给出一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简2抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益3抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且
2、离心率e1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决4抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应法则，将抛物线y22px关于y轴、直线xy0与xy0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线y22px绕原点旋转90或180也可得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系5求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.6解决直线与抛物线问题时，要注意以下几点：设抛物线上的点为(x1，y1)，(x2，y2)；因为(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，故满足y2px1，y2px2；利用yy4p2x1x2可以
3、整体得到y1y2或x1x2.(2)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离，再求解7抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1y2p2，x1x2；(2)若直线AB的倾斜角为，则|AB|；(3)若F为抛物线焦点，则有.三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成3道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，加深理解。2、诊断练习点评题1. 若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则 【分析与点评】分别求
4、出双曲线和抛物线的焦点坐标即可。题2、已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2）则ABF的面积等于 。【分析与点评】本题涉及了中点弦问题，由于要回避韦达定理（事实上可以适当渗透韦达定理的方法，但不能提过高要求），因而用“点差法”不失为一种基本方法。问题：依据题设中“中点为M（2，2）”这一条件，能得到直线AB的方程吗？略解：设代入，相减可得：，所以，从而将AB的方程与联立，即可解得这样，可得所求面积为2题3抛物线上两点、到焦点F的距离分别是，若，则线段的中点到轴的距离为 。【分析与点评】本题就是抓抛物线的定义,注意图形结合. 答案为：3 3、诊断练习点评
5、：（1）要重视抛物线的定义在解题中的应用，如：基础回顾中的第3、4题和诊断练习第3题。（2）学习并体会“点差法”在解决涉及弦、中点问题时的作用四、范例导析例1：已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与此抛物线C相交于P，Q两点，且=.（1） 求直线l的斜率；（2） 若，求此时抛物线的方程.【教学处理】让学生画图观察,尝试理解条件“=”怎么转化为坐标之间的关系？再者，要大胆渗透解方程组，求得坐标这一基本的方法，从而真正实现条件的应用。【引导分析与精讲建议】1、设出直线PQ的方程中，除了含有要求的斜率外，还含有未知数根据条件“=转化得到的坐标关系是否与无关？要引导学生大胆解方程组。2、弦长的处理方
6、法，除答案上提供的方法外，是否可以用抛物线的定义，结合第(1)问中求得的斜率，能否结合图形用几何方法来求解？ 例2：过直线上的动点作抛物线的两切线,为切点.(1)若切线的斜率分别为,求证:为定值;(2)求证:直线过定点.【教学处理】第1问教师要让学生画图来分析，主要是分析之间是通过什么变量联系起来的.第2问，要在如何求出PQ直线方程这一思路上，要给学生尝试的时间。然后再进行点评。【引导分析与精讲建议】1 在解决第1问时，作图如何表示 ,它们之间有什么关系 2 如何表示出PQ的直线方程.参考答案为：(1)设过作抛物线的切线的斜率为,则切线的方程为, 与方程联立,消去,得. 因为直线与抛物线相切,
7、所以, 即. 由题意知,此方程两根为, 所以(定值) (2)设,由,得. 所以在点处的切线斜率为:,因此,切线方程为:. 由,化简可得,. 同理,得在点处的切线方程为. 因为两切线的交点为,故,. 所以两点在直线上,即直线的方程为:. 当时,所以直线经过定点 例3、在平面直角坐标系中，已知抛物线为其焦点，点的坐标为，设为抛物线上异于顶点的动点，直线交抛物线与另一点，连结并延长分别交抛物线于点。（1）当时，求直线与轴的交点坐标；（2）当直线的斜率存在且分别记为时，求证：。【教学处理】可与学生共同探讨完成，以学生的想法为主，老师适当调整。【引导分析与精讲建议】1、根据条件可直接得出直线MN方程，从
8、而得出点M,N的坐标，再分别求出P,Q的坐标即可。2、设，直线的方程为，直线的方程为，与抛物线连理方程组，得到，同理，从而，就得到两条直线的斜率之间关系。参考解答：（1）抛物线焦点（1,0）。当时，直线的方程为。将代入抛物线得。不妨设,则直线的方程是，由解得或，于是得，同理得，所以直线，所以直线与轴的交点坐标为。（2）设直线的方程为，并设，由得，于是，从而，设直线的方程为，由得，所以，同理，所以，即备用题： 已知是抛物线上的两点，且(为坐标原点) 求证：（1）两点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也为定值； （2）直线过定点； （3）求线段中点的轨迹方程【教学处理】本题中的核心条件为，条件的运用有
9、多种办法，关键是用哪一种合适。可放手让学生先行独立思考条件的转化路径及设点的坐标的方法。【引导分析与精讲建议】1、 分析条件的作用：因为我们要研究点的坐标的乘积，所以设点的坐标是必然的。2、 点坐标的设法一般有种形式：一是直接设；二是将坐标中的用表示；三是利用参数方程表示为.三种设法有各自不同的特点，也有不同的作用.在解题过程中要让学生体会和领悟.参考解答：（1）设两点的坐标分别为，依题意有， ， 从而 （2）直线的方程为，由（1）知代入，整理得到 ，所以，直线经过定点. （3）设点，则有，变为所以即【思考】已知是抛物线上的两点，若直线经过点， 你能够得到怎样的结论？【尝试】若设两点的坐标分别为，试解上述问题五、解题反思1重视抛物线的定义在解题中的作用。体会“点差法”适用的情境。2对条件的分析，不仅是初步能转化成什么，更要注意条件转化的方向。如例33运算问题，不能停留在口头上，要分析向哪个方向算，如何算，要带着学生算。只有这样，才能逐步培训和提高运算的能力和品质。
