1、广东省肇庆市2020届高三数学下学期质量监测试题 理（含解析）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合.，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域和函数的值域，化简
2、集合，按照交集定义，即可求解.【详解】，.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，涉及到函数的定义域与值域，属于基础题.2. 已知复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得【详解】，故.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.3. 已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由对数函数的单调性和正切函数的性质可得，即可得解.【详解】由对数函数的单调性可知，由正切函数的性质得，故.故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较大小，考查了正切函数的性质，属于
3、基础题.4. 已知，则“”是“是直角三角形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析】若，则或；若，则；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】若，则或，不能推出是直角三角形；若，则，所以是直角三角形不能推出;所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.5. 若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点（不重合），则 (为坐标原点）的值是（ ）A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】抛物线为，焦点为，设，由有，所以，故，选D.6.
4、 聊斋志异中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术”.在数学中，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则m，n满足的关系式为（ ）A. n =2m-1B. n=2(m-1)C. n=(m-1)2D. n=m2 -1【答案】D【解析】【分析】根据不完全归纳法，以及根式中的分子和分母的关系，可得结果.【详解】由题可知：，则可归纳：，所以故选：D【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，仔细观察，发现特点，对选择题以及填空题，常可采用特殊值以及不完全归纳法解决问题，化繁为简，属基础题.7. 已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A
5、【解析】【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.【详解】因此当时，；当时，；当时，；故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题.8. 执行下面的程序框图，若输出的结果是16，则空白框中应填（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据四个选项依次代入检验进行求解判断即可【详解】A：若空白处是，时，成立，成立，所以成立，所以成立，所以不成立，故，不符合题意；B：若空白处是，时，成立，成立，所以成立，所以成立，所以不成立，故，不符合题意；C：若空白处是，时，成立，成立，所以成立，所以成立，
6、所以不成立，故，不符合题意；D：若空白处是，时，成立，成立，所以成立，所以成立，所以不成立，故，符合题意.故选：D【点睛】根据程序框图的输出结果补全程序框图，考查了数学运算能力.9. 已知函数（，）的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若函数的最小正周期为，为函数的一条对称轴，则函数的一个单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用辅助角公式化简函数为，再由平移变换得到，然后根据的最小正周期为，为的一条对称轴，求得，再利用正弦函数的性质求解.【详解】由题意知，所以，因为的最小正周期为，所以，解得，所以，因为为的一条对称轴，则（），即（），因为，可得，所以函数，
7、令（），解得，（），当时，.故选：C【点睛】本题主要考查辅助角公式，三角函数图象变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10. 分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能.其计算式子为，其中，为静电常量，、分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知，且，则的近似值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将，代入，结合化简计算可得出
8、的近似值.【详解】.故选：D.【点睛】本题考查的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11. 过双曲线的右焦点的直线在第一、第四象限交两渐近线分别于、两点，且，为坐标原点，若内切圆的半径为，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出图形，设的内切圆圆心为，则在轴上，过点分别作于，于，可知四边形为正方形，可求得、，进而求得，然后利用公式可求得该双曲线的离心率的值.【详解】如图，设的内切圆圆心为，则在轴上，过点分别作于，于，由得四边形为正方形，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，又，所以，由，得，所以，故.故选：B.【点
9、睛】本题考查双曲线离心率的计算，涉及相似三角形的应用，考查计算能力，属于中等题.12. 设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.【详解】由题意知函数的定义域为，.因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与
10、极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 己知，且这两个向量的夹角的余弦值为，则 _.【答案】1【解析】【分析】直接根据向量夹角公式计算得到答案.【详解】两个向量的夹角的余弦值为，故，即，解得或，验证不成立.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量夹角求参数，意在考查学生的计算能力.14. 若，则函数在区间内单调递增的概率是_.【答案】【解析】【分析】利用函数在区间内单调递增，得出不等式对任意的恒成立，可求得实数的取值范围，再由几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】函数在区间单调递增，在恒成立，在恒成立，又因为，所以函数在区间内单调递
11、增的概率是.故答案为：.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.15. 的展开式中项的系数是_.(用数字作答)【答案】300【解析】【分析】求出展开式中的常数项和含的项，分别与和相乘，即可求解.【详解】展开式的通项为，令，展开式中，常数项为，含项为，的展开式中项系数为.故答案为：300.【点睛】本题考查二项展开式定理，熟练掌握二项展开式通项是解题的关键，属于基础题.16. 已知四棱锥中，底面ABCD是梯形，且，AD的中点为E，则四棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】由已知得，是直角梯形，那么
12、DEBC是正方形，由平面，可知平面，可解得PB，可知是等边三角形，外接球的球心到四点距离相等，设在平面的投影为，根据勾股定理可知点H是对角线的交点，在中可得，过作于，再根据，可求出，由外接球面积公式即得。【详解】由题得，又，四边形是正方形，平面，又，平面，所以.则有，即，解得.球心到四点距离相等，设在平面的投影为，那么，设，则有，又，.是正方形，平面上且到四点距离相等的点即为正方形的对称中心，即对角线的交点，则.过作于，平面，平面，即是点在平面的投影.是等边三角形，与联立,解得，则.故答案为：【点睛】本题考查求空间几何体的外接球的表面积，是常考题型，解题关键是建立球心和四棱锥顶点的联系。三、解
13、答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知数列的前n项和，是等差数列，且.（）求数列的通项公式； （）令.求数列的前n项和.【答案】（）;（）【解析】试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.试题解析：（1）由题意知当时，当时，所以设数列的公差为，由，即，可解得，所以（2）由（1）知，又，得， ，两式作差，得所以考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、
14、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18. 九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在九章算术中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du);阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵中,.(1)求证:四棱锥为阳马;(
15、2)若,当鳖膈体积最大时,求锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】【分析】(1)按照题目定义，只要证明面即可，而由，即可证出面；(2)先根据基本不等式求出当时，鳖膈体积最大，然后建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量法即可求出锐二面角的余弦值【详解】(1)底面，面又，面，又四边形为矩形四棱锥为阳马(2)，又底面，当且仅当时，取最大值，底面以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设面一个法向量由得同理得二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，基本不等式的应用，以及向量法求二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题19. 设椭圆：
16、的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】(1)首先可根据题意得出，然后根据得出，最后通过计算出的值并写出椭圆方程；(2)首先可以设、，然后根据直线过点设出直线方程，再然后联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理得出以及，再然后结合题意得出四边形是平行四边形以及其面积，最后通过计算即可得出结果.【详解】(1)因为椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4，所以，因为，所以，所以椭圆C方程为.(2)设，因为直线过点，所以可设直线方程为，联立方程
17、，消去可得：，化简整理得，其中，因为，所以四边形是平行四边形，设平面四边形的面积为，则，设，则，所以，因为，所以，所以四边形面积的最大值为6.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法以及直线与椭圆相交的相关问题，可利用椭圆的、三者之间的联系求椭圆方程，考查韦达定理的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，是难题.20. 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩
18、不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）0
19、.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中）【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）详见解析期望；方差【解析】【分析】（1）完成列联表，代入数据即可判断；（2）利用分层抽样可得的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知，计算出期望与方差.【详解】（1）分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）由分层抽样知
20、，需要从不足120分的学生中抽取人，的可能取值为0，1，2，3，4，所以，的分布列：从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，故，.【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.21. 已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在上的极值；（3）设函数，若，且对任意的实数，不等式恒成立（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值；（3）.
21、【解析】【分析】（1）代入，求导，求出斜率和切点，利用点斜式可写出直线方程；（2）求导，分类讨论求出函数在上单调性，列表，找到极值点，进而可得极值；（3）对任意的，恒成立，先通过估算实数a的取值范围，再分和讨论，求导，求出的最大值，列不等式求解即可.【详解】（1）当时，所以，所以曲线在点处的切线方程为即；（2），.当时，在上单调增，所以无极值；当时，令，得，列表如下：x0极小值所以的极小值为.综上所述，当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值；（3）因为.由题意，对任意的，恒成立，所以，解得，又，所以.当时，因为，所以，当且仅当时，取等号.由（2）知，在上单调增，所以.所以，当且仅当时，取等号
22、，所以在上单调增，则，解得，此时，.当时，由（2）知，在上单调递增，且，又，所以存在，且，使得，即，得.所以的解为和a，列表如下：xa00极大值极小值所以，即，又，所以恒成立，此时，.综上所述，实数a的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值问题，考查学生转化能力和分析能力，考查了分类讨论的思想，是中档题.【选考题】请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
23、线的极坐标方程为（）.（1）求曲线、的直角坐标方程.（2）若、分别为、上的动点，且、间距离的最小值为，求实数的值.【答案】（1），.（2）或者.【解析】【详解】分析：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，极坐标方程化为直角坐标方程为.（2）设，由点到直线距离公式可得到的距离，结合题意分类讨论可得或者.详解：（1）消去参数可得的直角坐标方程为，的方程即：，即，则直角坐标方程为：.（2）设，则到的距离 ，.由、间距离的最小值为知：当时，不符合题意当时，得；当时，得.综上：或者.点睛：本题主要考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与互化，极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【选修4-5：不等式选讲】23. 已知实数正数x， y满足.（1）解关于x的不等式； （2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得，并把代入不等式后利用绝对值的性质解不等式；（2）把和中的分子1用代换，然后化简后用基本不等式可证明【详解】（1）解得，所以不等式的解集为（2）且，. 当且仅当时，等号成立.【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式的证明解题关键是“1”的代换，解不等式是利用消元法，而不等式的证明用到了“1”的代换，代换时要注意次数的一致性，否则达不到目的
