1、第1页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5第二章 数列第2页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5 2.5 等比数列的前n项和第3页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5第一课时 等比数列的前n项和课前预习目标 课堂互动探究 第4页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5课前预习目标 梳理知识夯实基础 第5页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5自 学 导 引1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程2能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.第6页第二章 数列
2、 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5课 前 热 身等比数列前n项和公式等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn_.当q1时，Sn_.第7页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5自我校对a11qn1q a1anq1q na1 第8页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5名 师 讲 解 1.前n项和公式及应用(1)在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可利用前n项和公式解与之有关的实际问题(2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的应用，同时
3、要注意在使用等比数列前n项和公式时，务必考虑公比q是否等于1，从而选择恰当的公式求解，特别是公比是字母时，要讨论第9页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5(3)当q1时，Sna11qn1q a11q a11qqnaaqn(其中aa11q)由此可知，若数列an的前n项和Sna(1qn)，且a0，a1，则数列an是等比数列第10页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修52错位相减法(1)课本上推导等比数列前n项和的方法，即错位相减法，解决的主要求和问题是：由等差数列与等比数列的对应项乘积构成的新数列求和问题，解此类问题仍需注意公比q是否为1.(2
4、)有些数列求和可先用分组、拆项等方法，转化成每组均可用公式或错位相减法求和的形式求解第11页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5课堂互动探究 剖析归纳触类旁通 第12页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5基本运算一 【例1】(1)在等比数列an中，S372，S6632，求an；(2)若q2，S41，求S8.【分析】(1)本题已知等比数列的前3项和前6项的和，求通项an，可利用等比数列前n项和公式，列方程组求解(2)利用前n项和求解典 例 剖 析第13页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5【解】(1)由已知S62
5、S3，则q1.又S372，S6632，a11q31q72，a11q61q632，得1q39，q2.将q2代入，可得a112，ana1qn12n2.第14页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5(2)解法1：设首项为a1，q2，S41，a1124121，得a1 115.S8a11q81q1151281217.解法2：设首项为a1，S4a11q41q1，且q2.S8a11q81q a11q41q(1q4)S4(1q4)1(124)17.第15页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5规律技巧 在等比数列an的五个基本量a1，q，an，n，Sn中，a
6、1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以列方程组求解.第16页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5错位相减法求数列的和二 【例2】已知数列an的首项a1 23，an12anan1，n1,2，.(1)证明：数列 1an1是等比数列；(2)求数列 nan的前n项和Sn.第17页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5【分析】(1)可如下变形an1 2anan1 1an112 1an12；(2)用错位相减法求数列的前n项和第18页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5【解】(1)an1 2anan1，1a
7、n1an12an 1212 1an.1an1112(1an1)又a123，1a1112，数列 1an1是以12为首项，12为公比的等比数列第19页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5(2)由(1)知 1an112 12n1 12n，即 1an 12n1，nan n2nn.设Tn12 222 323 n2n，则12Tn 122 223n12n n2n1，得12Tn12 122 12n n2n1第20页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5121 12n112 n2n11 12n n2n1，Tn2 12n1 n2n.又123nnn12，数列 n
8、an的前n项和Sn22n2n nn12n2n42n22n.第21页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5 第22页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5等比数列前n项和公式的应用三 【例3】一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？【分析】通过仔细审题，抓住“在以后每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题眼”，从而构造出等比数列模型热气球在每分钟里上升的高度组成一个等比数列，于是热气球上升的总高度便是该等比数
9、列的前n项和，利用公式即可第23页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5【解】用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an145an，因此，数列an是首项a125，公比q45的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度Sna1a2ana11qn1q25145n145第24页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5125145n 0，y1而求解第25页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5易 错 探 究求和Sn1aa2an.【错解】1，a，a2，an成等比数列，且公比为qa，Sn11an1a1an1a.第26页第二章
10、 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5【错因分析】由于字母a没有限制条件，则aR，所以当a0时，1，a，a2，an不是等比数列，当a0时，才是等比数列求和时，应分a1和a1两种情况求和，其和共有n1项，而不是n项第27页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5【正解】(1)当a0时，Sn1.(2)当a0时，1，a，a2，an是等比数列，此时公比qa，共有n1项当a1时，Sn11an11a1an11a.当a1时，Snn1.又当a0时，Sn1an11a 也成立Snn1 a1，1an11a a1.第28页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版
11、数学 必修5随 堂 训 练 1.设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S33，则S9S6()A2 B.73C.83D3第29页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5解析 S3a1a2a3，则S6(a1a2a3)(1q3)，S9(a1a2a3)(1q3q6)由S6S33，得1q33，q32.故S9S61q3q61q312412 73.答案 B第30页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修52在等比数列an中，(1)已知q2，S41，求S8；(2)a312，S39,求公比q.第31页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5解
12、(1)S4a11q41qa11241215a11，a1 115.S8a11q81q1151281217.(2)由a312，S39，得a1q212，a11qq29，得1qq2q234.即q24q40，q2.第32页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修53求和Sn1a 2a2 3a3 nan.解 分a1和a1两种情况当a1时，Sn123nnn12.当a1时，Sn1a 2a2 3a3 nan，上式两边同乘以1a，得1aSn1a2 2a3n1an nan1，两式相减，得第33页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修511a Sn1a 1a2 1an n
13、an1，即Snaan1na1ana12.综上，得Snnn12 a1，aan1na1ana12 a1.第34页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修54设数列an的前n项和为Sn.已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式第35页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5解(1)由已知，得a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13.又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列第36页第二章 数列 返回导航高中同步学习方略 新课标A版 数学 必修5(2)由(1)知等比数列bn中b13，公比q2，所以an12an32n1，于是an12n1an2n34，因此数列an2n是首项为12，公差为34的等差数列，an2n12(n1)3434n14，所以an(3n1)2n2.
