1、天津市静海区第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一选择题：每小题4分，共28分.1. 已知集合，且，则实数的值为 （）A. 3B. 2C. 0或3D. 0或2或3A分析：根据元素与集合的关系，分类讨论，并验证集合元素的互异性，即可求解.解答：由题意，知，可得（1）当时，不满足集合元素的互异性，舍去；（2）当，解得或，当是不满足元素的互异性，舍去，当时，此时集合，符合题意.故选A.点拨：本题主要考查了元素与集合的关系的应用，以及集合中元素的性质的应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.2. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要
2、不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件B分析：先把化简，再利用充分条件和必要条件的定义域进行判断即可解答：解：由，得，因为当时，不一定成立，当时，一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B3. 已知角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. A分析：根据角的终边经过点，利用三角函数的定义可求出的正弦和余弦，进而利用二倍角公式，两角和的余弦公式即可求解.解答：解：角的终边经过点，由三角函数的定义知：，.故选：A.4. 已知函数（且）的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则（ ）A. B. C. D. A分析：先求得函数所过的定点,将定点坐标代入可求得.将化简,再代入,结合
3、对数的运算即可求解.解答：函数（且）的图象恒过定点可得因为也在函数的图象上代入可得,解得 所以因为则故选:A点拨：本题考查了对数函数过定点,指数型函数解析式的求法,根据对数的运算进行化简求值,属于基础题.5. 已知函数，是常数，的部分图象如图所示.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A. 先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变B. 先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C. 先向左平移个单位长度，再将所得图象横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D. 先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变D分析：先根据函
4、数图象求出函数的解析式，由三角函数图象的变换即可求解.解答：由图可知，所以，即，解得.当时，,所以又，所以.所以.将的图象先向左平移个单位长度，得到，.再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到.故选：D点拨：易错点点睛：图象变换的两种方法的区别，由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位6. 设，则（ ）A. B. C. D. C分析：借助中间量和比较大小即可.解答：解：由对数函数在单调递增的性质得：，由指数函
5、数在单调递减的性质得：，由三角函数在上单调递增的性质得.所以.故选：C.点拨：本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量和，尤其在比较与的大小时，将变形得，进而与比较大小是重中之核心步骤.7. 设函数，若在区间上是单调函数，则（ ）A. B. C. D. 或B分析：因为在单调递增，所以在也是单调递增，且，解不等式组，即可得到本题答案.解答：当时，所以此时函数在区间上单调递增，因为在区间上是单调函数，所以在区间上单调递增，当时，对称轴，此时在上单调递增，且需满足，得；当时，符合题意；当时，对称轴，此时在上单调递增，且需满足，得；综上得，.
6、故选：B点拨：本题主要考查分段函数的单调性问题，涉及到分类讨论的方法.二填空题：每空5分，共30分.8. 用长为的铁丝围成半径为的扇形，则扇形的中心角为_弧度.1分析：扇形周长为两个半径长度与弧长的和，利用已知求出弧长，再利用弧度数即中心角为弧长除以半径，计算得出结果解答：因为半径为，扇形周长为，所以弧长为，因此弧度数为: 1.故答案为：1.点拨：本题考查扇形弧长公式的应用，考查学生计算能力，属于基础题9. 已知，则_.分析：根据待求角与已知角的关系，利用诱导公式求解即可.解答：因为，所以，故答案为：10. 若满足，则的最小值是_.分析：化简，得到，结合基本不等式，即可求解.解答：由满足，可得
7、，则，当且仅当时，即时等号成立，所以最小值是.故答案为：.点拨：通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤：（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；（2）把确定定值（常数）变形为1；（3）把“1”的表达式与所求的最值的表达式相乘或相除，进而构造或积为定值的形式；（4）利用基本不等式求最值.11. 已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是_.分析：可得时，有一个零点，所以只需要当时，有一个根，利用“分离参数法”求解即可.解答：因为函数,当时，有一个零点，所以只需要当时，有一个根即可，即有一根,当时，且单调递增，所以，即，故答案为点拨：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)，求参数取值
8、范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解12. 设函数，当a=1时，f(x)的最小值是_；若恒成立，则a的取值范围是_. (1). 1 (2). 0，分析：当a=1时，分段求出函数的最小值，比较可得分段函数的最小值；分类讨论代入解析式，将不等式恒成立化为最值问题求解可得结果.解答：当a=1时，当时，当时，当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.当时，即，即恒成立，所以恒成立，即恒成立，
9、所以，即.当时，即恒成立，因为，当且仅当时，等号成立，所以，所以.综上所述：a的取值范围是.故答案为：1；点拨：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方三解答题：(本大题共4小题，共36分)13. 求值：（1）；（2）（1）0（2）分析：（1）利用诱导公式化简，即可求解；（
10、2）先利用二倍角公式化简，由切化弦化，通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值.解答：利用（1）原式（2）原式=点拨：关键点点睛：三角函数化简求值，需要根据式子的结构特征选择合适的公式，并且要注意公式的正用、逆用，特别是复杂式子的灵活运用，属于难题.14. 已知函数，（1）恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围.（1）（2）分析：（1）由题意转化为恒成立，转化为二次不等式，对进行讨论可得的取值范围；（2）根据对数型复合函数的单调性求解，并注意函数的定义域.解答：（1）因为，由可得，即恒成立，当时，恒成立，当时，只需，解得 ，综上实数a的取值范围是.（2）由
11、题意知，为减函数，在 上为增函数，是减函数，且在 恒成立，解得，故实数的取值范围为.点拨：关键点点睛：解决形如二次不等式恒成立问题时，一定要注意分类讨论，当二次项系数为零时注意验证不等式是否恒成立，当二次项系数不等于零时，根据对应二次函数图象及判别式解决恒成立问题，属于中档题.15. 已知函数.（1）求；（2）求的单调递增区间及最小正周期.（3）若，且，求.（4）若，求的值.（1）（2），（3）（4）分析：（1）化简函数解析式代入直接求值即可；（2）由正弦型函数的性质求解即可；（3）先求出，再利用求解即可；（4）由两角差的正弦化简后再利用弦化切求解.详解】（1）,故.（2）由（1）知,令,解得
12、,所以函数的单调递增区间为，函数的周期为.（3），且，即，因为，所以，故（4）点拨：关键点点睛：涉及三角函数的求值化简问题，关键要根据式子结构特征，选择合适的公式，正用、逆用公式，并结合切化弦、弦化切思想，角的变换技巧，灵活运用公式，熟练运算，属于中档题.16. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）求的解析式.（2）求的最大值.（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.（4）对于第（3）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，试确定的值，并求的值.（1）（2）（3）（4）分析：（1）利用三角恒等变换的公式，
13、化简函数的解析式，利用正弦函数的周期，奇偶性求得函数的解析式；（2）令，利用换元法转化为，求最大值即可；（3）利用函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域；（4）由方程，得到，根据，求得，设，转化为，结合正弦函数图象与性质，即可求解.解答：（1）由题意，函数因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，又由函数为奇函数，可得，所以，因为，所以，所以函数.（2），令，则，所以，因为对称轴，所以当时，即的最大值为.（3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，当时，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最小值为，故函数的值域.（4）由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，如图可得方程在区间有5个解，即，其中，即解得所以.点拨：关键点点睛：解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念.
