1、1.3全称量词与存在量词13.1 量词13.2 含有一个量词的命题的否定三维目标1知识与技能(1)通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律(2)了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用含有量词判断其命题的真假性使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定2过程与方法使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力3情感、态度与价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义
2、思想教育重点难点重点：理解全称量词与存在量词的意义，会正确地对含有一个量词的命题进行否定难点：全称命题和存在性命题真假的判定，正确地对含有一个量词的命题进行否定教学时，应从具体的实例入手，归纳出全称量词和存在性量词的定义，进而得出全称命题和存在性命题的定义，讲清命题的格式，总结命题真假的判断方法，从而突出教学重点对于含有一个量词的命题的否定，是本节课的难点，化解的方法是，由特殊到一般，由具体到抽象，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题否定时，既要否定量词，又要否定结论教学建议本节课是命题的延伸和深化，首先应分析几个全称命题、存在性命题的例子，通过具体的实例，得出全称量词和存在
3、性量词的定义，进而得出全称命题和存在性命题的定义，讲清命题的格式，总结命题真假的判断方法，进而探究命题真假性的判定方法，对于含有量词的命题的否定，由特殊到一般，由具体到抽象，掌握否定的规律教学流程演示结束课标解读1.了解全称量词与存在量词的意义，能用全称量词和存在量词叙述简单的数学内容(重点)2能判定全称命题和存在性命题的真假(难点)3了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定(易错点)全称量词、存在量词与全称命题、存在性命题【问题导思】观察下列语句(1)对于所有的 xR，x2；(2)对于任意一个 xZ,2x 都是偶数；(3)存在一个 xR，使 4x210；(4
4、)至少有一个 xR，使 x 能被 5 和 8 整除1以上语句是命题吗？【提示】都是命题2语句(1)和(2)有什么共同特点？【提示】都有对变量 x 的限定条件：“对所有的 xR”，“对任意一个 xZ”3语句(3)、(4)有什么特点？【提示】含有对变量 x 取值的限定条件“存在一个 xR”，“至少有一个 xR”1全称量词与全称命题(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“”表示“对任意x”(2)含有的命题称为全称命题，一般形式为：xM，p(x)x全称量词2存在量词和存在性命题(1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通
5、常用符号“x”表示“存在x”(2)含有的命题称为存在性命题，一般形式为：存在量词xM，p(x)全称命题与存在性命题的否定【问题导思】观察下列命题：(1)被 7 整除的整数是奇数；(2)有的函数是偶函数；(3)至少有一个三角形没有外接圆1命题(1)的否定：“被 7 整除的整数不是奇数”对吗？【提示】不对，命题(1)是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被 7 整除的整数不都是奇数”2命题(2)的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？【提示】不对，应为每一个函数都不是偶函数3判断命题(3)的否定的真假【提示】命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题1“xM，p(x)”的否定为“”2
6、“xM，p(x)”的否定为“”.xM，綈p(x)xM，綈p(x)全称命题与存在性命题的辨析 判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)有一个实数，使得 tan 无意义；(2)每个二次函数的图象都与 x 轴相交；(3)直线 ykxb(k0，k，b 是常数)在 y 轴上有截距；(4)棱锥的底面多边形中有正多边形；(5)直线 x2 的斜率不存在【思路探究】可先判断命题中的量词特征，再运用全称命题和存在性命题的定义求解【自主解答】(1)命题中含有存在量词“有一个”，因此是存在性命题(2)命题中含有全称量词“每个”，因此是全称命题(3)由于直线 ykxb(k0，k，b 是常数)表示的是一系列直线，因此
7、该命题是全称命题(4)命题用量词表示为：存在一些棱锥，它们的底面多边形是正多边形，因此是存在性命题(5)“直线 x2 的斜率不存在”，表明存在一直线 x2斜率不存在，因此是存在性命题1若命题含有全称量词或存在量词，则该命题的类别容易辨析，如(1)(2)2若一个命题在字面上没有量词出现，但隐含着量词的存在，可将量词补齐后再辨析类别判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)a0 且 a1，则对任意 x，ax0；(2)对任意实数 x1，x2，若 x1x2，则 tan x1tan x2；(3)存在实数 T，使得|sin(xT)|sin x|；(4)存在实数 x，使得 x210.【解】(1)(2)中含
8、有量词“任意”，是全称命题；(3)(4)中含有量词“存在”，是存在性命题全称命题与存在性命题的真假 判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点 P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数 x，使等式 x2x80 成立【思路探究】【自主解答】(1)真命题(2)真命题，如：函数 f(x)0 既是偶函数又是奇函数(3)假命题，如：边长为 1 的正方形的对角线长为 2，它的长度就不是有理数(4)假命题，因为该方程的判别式 310，故方程无实数解1全称命题的真假判断：一般从全称命题为假命题入手，寻找使其
9、为假命题的反例，找不到，再从证明xM，p(x)成立入手判定其为真命题2存在性命题的真假判断：一般从存在性命题为真命题入手，寻找使其为真命题的特例，找不到，再从证明xM，p(x)不成立入手判定其为假命题(2013 东城高二检测)下列命题中，真命题的序号是_xR，x210；xR，x22x20 恒成立，x210 恒成立，为真命题；中，x2x10 即(x12)2340恒不成立，为假命题；中，x2x14(x12)20 当 x12时，等号成立，假命题；中，(x1)210.【思路探究】【自主解答】(1)是存在性命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题(2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形不是平行四边形
10、，假命题(3)是全称命题，其否定为：存在实数 m，使得 x22xm0 没有实数根44m0，即 m1 时，一元二次方程没有实根，其否定是真命题(4)是存在性命题，其否定为：xR，x22x50.42016x2；(3)p：至少有一个二次函数没有零点；(4)p：存在一个角 R，使得 sin2cos21.【解】(1)p 是全称命题綈 p：xR，有|x|x，如 x1，|1|11，所以綈 p 是真命题(2)p 是全称命题綈 p：xR，x3x2，如 x1 时，(1)31(1)21，即(1)3(1)2，所以綈 p 是真命题(3)p 是存在性命题綈 p：所有二次函数都有零点，如二次函数 yx22x3(x1)220
11、.xR，yx22x30.所以 p 是真命题，因此綈 p 是假命题(4)p 是存在性命题綈 p：R，sin2cos21，设任意角 终边与单位圆的交点为 P(x，y)，则 sin y，cos x，显然有 sin2cos2y2x21，所以綈 p 是真命题 写出下列命题的否定(1)p：平面内凸多边形的内角至多有三个锐角；(2)p：三角形中至少有一个内角不小于 60.【错解】(1)綈 p：平面内凸多边形的内角至少有三个锐角(2)綈 p：三角形中至少有一个内角小于 60.【错因分析】错解的主要原因是不能正确认识“至少”与“至多”的区别【防范措施】对于一些含有“至多”“至少”等量词的命题的否定，由于不能正确
12、认识“至少”与“至多”的区别而导致错误一般地，“至多有 n 个”的否定是“至少有n1 个”；“至少有 n 个”的否定为“至多有 n1 个”另外，“至少有一个”所表达的含义重在“有”，即“存在”之义，其否定应该为“没有”或“不存在”【正解】(1)綈 p：存在平面内凸多边形，它的内角至少有四个是锐角(2)綈 p：存在三角形，它的内角都小于 60.1判断全称命题与存在性命题的真假，首先应分清命题的类别，然后判断真假，全称命题一假则假，都真才真；存在性命题，一真则真，都假才假2含有一个量词的命题的否定，应注意两个变化：(1)量词的变化，全称量词与存在量词互换；(2)结论的变化，p(x)变为綈 p(x)
13、3利用全称命题与存在性命题互为否定的关系，可以帮助我们间接判断一些命题的真假：若一个全称命题是真命题，则它的否定即存在性命题一定是假命题；若一个全称命题是假命题，则它的否定即存在性命题一定是真命题；若一个存在性命题是真命题，则它的否定即全称命题一定是假命题；若一个存在性命题是假命题，则它的否定即全称命题一定是真命题.1下列命题中，是全称命题的为_，是存在性命题的为_不论 m 取什么实数，关于 x 的方程 x2xm0 必有实根；对于所有的实数 x，都有 x20；存在一个平行四边形，它的两条对角线长相等【解析】显然为全称命题，为存在性命题，可写出mR，x2xm0 有实根，也为全称命题【答案】2命题
14、“有些负数满足不等式(1x)(19x)0”用“”或“”可表述为_【解析】存在性命题，用“”符号【答案】x03(2013重庆高考改编)命题“对任意 xR，都有 x20”的否定为_【解析】因为“xM，p(x)”的否定是“xM，綈 p(x)”，故“对任意 xR，都有 x20”的否定是“存在x0R，使得 x200”【答案】存在 x0R，使得 x200；(3)s：至少有一个实数 x，使 x310.【解】(1)綈 p：任意正方形都不是矩形假命题(2)綈 r：xR，x2x20.假命题(3)綈 s：xR，x310.假命题.课时作业（四）(1)若关于 x的不等式 x2axa0 的解集为(，)，求实数 a 的取值
15、范围；(2)若关于 x 的不等式 x2axa0 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围【思路探究】1解集为R恒成立全称命题2解集非有解存在性命题 法一：判别式法法二：函数最值法【自主解答】法一 判别式法(1)设 f(x)x2axa，则关于 x 的不等式 x2axa0 的解集为(，)，即 f(x)0 在(，)上恒成立a24a0，解得4a0的解集为(，)f(x)0 在(，)上恒成立f(x)min0，即 f(x)min4aa240，解得4a0.(2)设 f(x)x2axa，则关于 x 的不等式 x2axa0的 解 集 不 是 空 集 f(x)0 在(，)上 能 成 立 f(x)min0，即 f(x)min4aa240，即 a24a0，解得 a4 或 a0.1对于一元二次不等式的解法以及不等式“恒成立”和“能成立”问题，可以结合全称命题和存在性命题的意义，转化为“三个二次”的相互关系，运用一元二次方程的根的判别式以及函数的最值加以解决2求解问题的过程中，要注意等价转化，否则将导致错误已知命题“xR，ax22ax30”是真命题，求实数 a 的取值范围【解】当 a0 时，对任意的 xR，不等式30 恒成立；当 a0 时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax22ax30恒成立的等价条件是a0且其判别式 4a212a0，即3a0.综合以上两种情形可知，实数 a 的取值范围是3,0.
