1、数学专题五 三角函数与解三角形【考点精要】考点一. 常见的几个三角关系式。（1）若，则.(2) 若，则.(3) .考点二. 三角函数的诱导公式。考查三角函数的诱导公式的灵活变形。正弦、余弦的诱导公式(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)考点三. 正余弦定理的变形与应用。正弦定理.余弦定理;.考点四. 考查三角函数的图像与性质。如：将函数的图象按向量平移后所得图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为( )A B C D考点五. 三角公式与变换。三角公式与变换.在三角变换中“1”的变换非常巧妙。如：=。考查角的巧妙变换。如: 等，这些是利用和、差角公式求解问题中经常用到的变形。考点六. 三
2、角形中的边角关系,根据条件解三角形。已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量（），（cosA,sinA）.若，且acosB + bcosA =csinC，则角B .巧点妙拨1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从2008年至2011年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。3.基本的解
3、题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4. 三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦，降幂公式，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名高次化低次等5解斜三角形中需熟练运用正、余弦定理，掌握正、余弦定理适用的情况，合理进行边角互化，正确处理多解问题，并熟练结合使用三角
4、形中的结论如：A+B+C=，,若ABC为锐角三角形，则A+B,等6在解三角形时已知三边，用余弦定理求解时，只有一解；已知两边及夹角用余弦定理求解时，必有一解。【典题对应】例1.（2010山东理17）已知函数（，其图像过点。（1）求的值；（2）将函数的图像上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值。命题意图：本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图像变换以及三角函数的最值问题，分析问题解决问题的能力。解析：（1）因为已知函数图像过点，所以有，既有+，所以，解得（2）由（1）知：所以=，所以，因为，所以所以当=时，取最大值，当=时，取最小
5、值。名师坐堂：三角函数式的化简、诱导公式的灵活应用、二倍角公式的应用，图像变换、三角函数的最值在本题中得到综合考查，题目难度不大但知识涵盖面广，即考查数形结合又考查分类讨论，若有一处考虑欠佳都将影响整体效果。例2.（2011山东理17）在中，内角的对边分别为，已知。（）求的值；（）若的面积。命题意图：本题考查正余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，进而考查学生分析问题解决问题的能力。解析：（）由正弦定理，设，则，所以。即，化简可得。又，所以。因此。（）由得。由余弦定理，得。解得因此。又因为，且所以因此。名师坐堂：在应用正弦定理时，要注意巧妙利用其比值为同一个值，同时应注意三角形的内角和，此类题
6、目总体难度不大，但应学会借助三角公式进行化简。【授之以渔】1.三角函数是高考的重点内容，高考对三角函数主要考查以下三个方面：（1）三角函数的图象和性质，重在考查三角函数的值域、单调性、周期性、奇偶性、最值等；（2）是三角函数的恒等变换；（3）是三角函数的最值与求值问题而三角函数的图象和性质是高考的热点之一；解三角形主要考查正、余弦定理的直接应用、变形应用，以及利用正、余弦定理解斜三角形其中两类斜三角形的求解、三角形面积公式的应用是重点与实际问题相联系，考查高度、角度的测量等是高考考查的一个新热点，以平面向量为载体考查三角函数的基础知识，把平面向量、三角函数、解三角形等知识有机结合，题目精而巧正
7、在成为近年高考的热点2. 重视数学思想方法的复习，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、排除法等.另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如：关于对称问题，要利用ysinx的对称轴为xk （kZ），对称中心为（k，0），（kZ）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高考试题一般不能查表，给出的数都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果.【直击高考】1. 函数的一个单调增区间是( )A B C D2. 函数y=xcosx的部分图象是( ).3.已知函数，其中为实数，若对恒成立
8、，且，则的单调递增区间是( )A BC D来源:Zxxk.Com4. 函数f(x)=在，上的单调减区间为_.5. 设0，若函数f(x)=2sinx在上单调递增，则的取值范围是_.6.已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_7.设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,cR),已知不论、为何实数恒有f(sin)0和f(2+cos)0.（1）求证：b+c=1；（2）求证c3；（3）若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值.8. 在中，角的对边分别为，。（）求的值；（）求的面积.数学专题五 三角函数与解三角形【直击高考】1. 解析：函数=，从复合函数的角度看，原函
9、数看作，对于，当时，为减函数，当时，为增函数，当时，减函数，且，原函数此时是单调增，选A。2.解析：函数y=xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x(0, )时，y0。答案：D3. 解析：若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选C.4. 解析：在,上，y=cosx的单调递增区间是,0及,.而f(x)依cosx取值的递增而递减,故,0及,为f(x)的递减区间.5. 解析：由x，得f(x)的递增区间为,，由题设得6.解析：设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.ABC的面积为.7.解析：(1)1sin1且f(sin)0恒成立，f(1)0，12+cos3,且f(2+cos)0恒成立.f(1)0.从而知f(1)=0，b+c+1=0.(2)由f(2+cos)0,知f(3)0,9+3b+c0.又因为b+c=1,c3.(3)f(sin)=sin2+(1c)sin+c=(sin)2+c()2,当sin=1时，f(sin)max=8,由解得b=4,c=3.8. 解析：（）A、B、C为ABC的内角，且，.（）由（）知，又，在ABC中，由正弦定理，得ABC的面积。
