1、62.4向量的数量积新课程标准解读核心素养1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积数学抽象2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义数学运算3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系逻辑推理我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F| N，小车在水平面上位移s的大小为|s| m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为，那么这个力所做的功为W|F|s|cos .问题(1)显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？(2)给定任意两个向量a，b，能确定出一个
2、类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由知识点一向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作a，b，则AOB(0)叫做向量a与b的夹角(如图所示)其中：(1)向量a与b的夹角的范围是0；(2)当0时，a与b同向；当时，a与b反向；(3)如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作ab若ABC为等边三角形，则与的夹角为_，与的夹角为_答案：60120知识点二向量的数量积1定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos_叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos_规定：零向量与任一向量的数量积为2投影向量：如图，设a，b
3、是两个非零向量，a，b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量如图，我们可以在平面内任取一点O，作a，b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量1向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？提示：不相同，向量的数量积运算结果是一个实数，向量的数乘运算结果是向量2已知非零向量a，b，a与b的夹角为，若ab0，则是钝角对吗？提示：不对若时，ab0.1若|a|3，|b|4，a，b的夹角为45，则ab()A3B6C6 D2解析：选Cab|a|b|cos 453
4、46.2已知|a|10，|b|12，且ab60，则向量a与b的夹角为()A60 B120C135 D150解析：选B设a与b的夹角为，则cos ，又0180，120.3已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量为_解析：b在a方向上的投影向量为|b|cos2aa.答案：a知识点三向量的数量积的性质及运算律1向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则(1)aeea|a|cos_；(2)abab0；(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|特别地，aa|a|2或|a|；(4)|ab|a|b|.2向量数量积的运算律
5、(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)；(3)(ab)cacbc(分配律)1向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且acbc，但得不到ab.2(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线，因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立. 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)对于向量a，b，若ab0，则a0或b0.()(2)(ab)2a22abb2.()(3)a(bc)(ab)c.()(4)().()答案：(1)(2)(3)(4)2若e1，e2是夹角为的单位向量，且a2e1e2
6、，b3e12e2，则ab()A1B4CD解析：选C由已知，得e1e2|e1|e2|cos ，ab(2e1e2)(3e12e2)6|e1|22|e2|2e1e2.故选C.3下面给出的关系式中正确的序号是_(填序号)0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.解析：正确，错误，|ab|a|b|cos |ab，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2a2b2.答案：向量数量积的运算例1(链接教科书第17页例9)(1)已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求：ab；(ab)(a2b)；(2)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段C
7、B的延长线上，且AEBE，求的值解(1)由已知得ab|a|b|cos 42cos 1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)ADBC，且DAB30，ABE30.EAEB，EAB30，AEB120.在AEB中，EAEB2，()()21222cos 3052 cos 3052cos 180226151.1求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简2向量的数量积在平面几何中的应用(1)解决几何图形中的向量的数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里
8、的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量；(2)向量的夹角是由向量的方向确定的，在ABC中，与，与，与的夹角不是C，A，B，而是它们的补角 跟踪训练1如图所示，已知O为ABC的外接圆，AB6，BC7，CA8，则_解析：|cos(180BAO)|2，同理，|2，|2，(627282).答案：2已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得|cos .由图可知，|cos |，因此|21.答案：1求向量的投影向量例2如图，在ABC中，ABAC4，BAC90，D是BC边的中点，求：(1)在上的投影向量；(2)在上的投影向量解如图，连接A
9、D，因为ABAC4，BAC90，所以ABC是等腰直角三角形又D是BC边的中点，所以ADBC，ABD45，所以BD2.延长AB到E，则与的夹角为DBE18045135.(1)设与向量方向相同的单位向量为e1，则在上的投影向量是|cos 135e14e12e1.(2)设与向量方向相同的单位向量为e2，则在上的投影向量是|cos 135e22e22e2.投影向量的求解策略求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键确定两向量的夹角时，一定要注意“共始点” 跟踪训练已知ABC外接圆的圆心为O，半径为2，0且|，则向量在上的投影向量的模为()
10、A.B3C. D2解析：选A如图，0，0，.四边形ABOC为平行四边形，又O为ABC外接圆的圆心，且|2，OAB是边长为2的正三角形，平行四边形ABOC是边长为2的菱形且ABO60.|2，ACB30，故向量在上的投影向量的模为|cos ACB2cos 30.向量的模例3已知|a|b|5，向量a与b的夹角为.求|ab|，|ab|.解ab|a|b|cos 55.|ab| 5.|ab| 5.求向量模的一般思路及常用公式(1)求向量模的常见思路(2)常用公式(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2；|ab|2(ab)2a22abb2. 跟踪训练1已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满
11、足be1be21，则|b|_解析：令e1与e2的夹角为，e1e2|e1|e2|cos cos .又0180，60.b(e1e2)0，且be1be21，b与e1，e2的夹角均为30，be1|b|e1|cos 301，从而|b|.答案：2已知向量a，b的夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_解析：a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210，|b|3.答案：3向量的夹角与垂直问题例4(1)若非零向量a，b满足|a|b|，且(2ab)b，则a与b的夹角为()A30 B60C120 D150(2)已知非零向量a，b满足|a|b|ab|，求a与
12、ab的夹角及a与ab的夹角(1)解析(2ab)b，(2ab)b0，2ab|b|20.设a，b的夹角为，则2|a|b|cos |b|20.又|a|b|，2|b|2cos |b|20，因此cos ，从而120，故选C.答案C(2)解如图，在平面内取一点O，作a，b，使|，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，四边形OACB为菱形，OC平分AOB，此时ab，ab.由于|a|b|ab|，即|，AOC60，即a与ab的夹角为60.AOC60，AOB120.又|，OAB30，即a与ab的夹角为30.1求向量夹角的基本步骤2向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是abab0，利用数量积的运算代入，
13、结合与向量的模、夹角相关的知识解题 跟踪训练1已知a，b均为单位向量，(2ab)(a2b)，则a与b的夹角为()A30 B45C135 D150解析：选A(2ab)(a2b)2a24abab2b23ab，ab.设a与b的夹角为，则cos .又0180，30.2已知平面向量a，b满足|a|3，|b|2，a与b的夹角为60，若(amb)a，则实数m的值为()A1 B.C2 D3解析：选D(amb)a，(amb)a0，a2mab0，即9m32cos 600，m3.1已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4 B3C2 D0解析：选Ba(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab
14、1，原式21213.故选B.2已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：选B因为(ab)b，所以(ab)babb20，所以abb2，所以cos ，因为0，所以a与b的夹角为.故选B.3若平面四边形ABCD满足0，()0，则该四边形一定是()A直角梯形 B矩形C菱形 D正方形解析：选C由0，得平面四边形ABCD是平行四边形，由()0，得0，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，则该四边形一定是菱形4已知|a|6，|b|4，ab12，向量b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b方向上的投影向量是_解析：因为ab|a|b|cos ，所以1264cos ，所以cos ，所以向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cos e6e3e.答案：3e5已知|a|2，|b|1，a与b的夹角为，若向量2akb与ab垂直，则实数k的值为_解析：ab|a|b|cos211.因为2akb与ab垂直，所以(2akb)(ab)0.所以2a22abkabk b20.所以2222kk0.所以k5.答案：5
