1、2015-2016学年广东省肇庆市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1与60相等的弧度数是（）A60B6CD2已知向量=（2，1），=（3，4），则的结果是（）A（7，2）B（1，2）C（1，3）D（7，2）3在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=30，b=2，则的值是（）A2B3C4D64已知等比数列an满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A64B81C128D2435在ABC中，三顶点分别为A（2，4），B（1，2），C（1，0），点P（x，y）在ABC内部及其边界上
2、运动，则m=yx的取值范围为（）A1，3B3，1C1，3D3，16在ABC中，已知|=|=4且=8，则该三角形是（）A等边三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D不能判断形状7我们把1，3，6，10，15，这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）则第七个三角形数是（）A27B28C29D308化简，得到的结果是（）AsinBcosCtanD9若0，sin（）=，则cos的值是（）ABCD10函数f（x）=Asin（x+）（A0，0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（11）的值是（）A2+2B22C0D111设=（1，2），=（a，1），=（b，0）（a0，b0
3、，O为坐标原点），若A、B、C三点 共线，则的最小值是（）A4BC8D912对实数a与b，定义新运算“”：设函数f（x）=（x22）（xx2），xR若函数y=f（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13函数f（x）=cos（x）的最小正周期是14九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致如某一问题：现有扇形田，下周长（弧长）20步，径长（两段半径的和）24步，则该扇形田的面积为平方步15如图，四边形ABCD中，ABC=C=120，AB=4，BC=CD=2，则该四边形
4、的面积是16设x，m，n，y成等差数列，x，p，q，y成等比数列，则的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.）17（）在等差数列an中，a6=10，S5=5，求该数列的第8项a8；（）在等比数列bn中，b1+b3=10，b4+b6=，求该数列的前5项和S518已知是第三象限角，且sin=（）求tan与tan（）的值；（）求cos2的值19已知函数f（x）=sin2x+cos2x+1（）求f（x）的递减区间；（）当x，时，求f（x）的最值，并指出取得最值时相应的x的值20设数列an的前n项和为Sn=n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2（a2a1）=b1
5、（1）求数列an，bn的通项公式（2）设cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn21某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内分界线OB固定，且OB=（1+）百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足AOC=75，AOB=30，BOC=45设OA=x（3x6）百米，OC=y百米（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积SOAC最小，并求出其面积的最小值22已知数列an满足，nN*（1）求证：数列为等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成
6、等差数列，且am1，as1，at1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由2015-2016学年广东省肇庆市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1与60相等的弧度数是（）A60B6CD【考点】弧度与角度的互化【分析】根据弧度等于180，求得60化为弧度角的值【解答】解：与60相等的弧度数是=，故选：D2已知向量=（2，1），=（3，4），则的结果是（）A（7，2）B（1，2）C（1，3）D（7，2）【考点】平面向量的坐标运算【分析】向量的坐标的加减运算
7、法则计算即可【解答】解：=（2，1），=（3，4），=2（2，1）（3，4）=（4，2）（3，4）=（4+3，24）=（7，2），故选：A3在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=30，b=2，则的值是（）A2B3C4D6【考点】正弦定理【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解【解答】解：B=30，b=2，由正弦定理可得： =4，故选：C4已知等比数列an满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（）A64B81C128D243【考点】等比数列【分析】由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解【解答】解：由a2+a3=q（a1+a2）=
8、3q=6，q=2，a1（1+q）=3，a1=1，a7=26=64故选A5在ABC中，三顶点分别为A（2，4），B（1，2），C（1，0），点P（x，y）在ABC内部及其边界上运动，则m=yx的取值范围为（）A1，3B3，1C1，3D3，1【考点】简单线性规划【分析】根据m的几何意义，平移直线y=x+m，利用数形结合即可求出m的取值范围【解答】解：由m=yx得y=x+m，平移直线y=x+m，由图象可知当直线y=x+m经过点B（1，2）时，直线y=x+m的截距最大，此时m最大，此时mmax=2（1）=3直线y=x+m经过点C（1，0）时，直线y=x+m的截距最小，此时m最小，mmin=01=1即1
9、m3，即m1，3故选：C6在ABC中，已知|=|=4且=8，则该三角形是（）A等边三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D不能判断形状【考点】平面向量数量积的运算【分析】运用向量的数量积的定义可得=|cosA，解方程可得A=，即可判断三角形的形状【解答】解：由|=|=4且=8，可得=|cosA=44cosA=8，即cosA=，由0A，可得A=，则ABC为等边三角形故选：A7我们把1，3，6，10，15，这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）则第七个三角形数是（）A27B28C29D30【考点】数列的应用【分析】原来三角形数是从l开始的连续自然数的和l是第一个三角形数，3
10、是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28【解答】解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数，那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28故选B8化简，得到的结果是（）AsinBcosCtanD【考点】三角函数的化简求值【分析】原式利用诱导公式化简，约分并利用同角三角函数间的基本关系化简即可得到结果【解答】解： =，故选：C9若0，sin（）=，则cos的值是（）ABCD【考点】两角和
11、与差的余弦函数【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cos（），再利用两角差的余弦公式求得cos=cos（）+的值【解答】解：0，sin（）=，则cos（）=，cos=cos（）+=cos（）cossin（）sin=，故选：B10函数f（x）=Asin（x+）（A0，0）的部分图象如图所示，则f（1）+f（2）+f（11）的值是（）A2+2B22C0D1【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】依题意，可求得f（x）=2sinx，其周期T=8，分别求得f（1）、f（2）、f（3）、f（8）的值，即可求得f（1）+f（2）+f（11）的值【解答】解：由图知，A=2，T=2（62
12、）=8，=，又0+=2k（kZ），=2k（kZ），f（x）=2sinx，f（1）=，f（2）=2，f（3）=，f（4）=0，f（5）=，f（6）=2，f（7）=，f（8）=0，f（1）+f（2）+f（8）=0，T=8，f（1）+f（2）+f（11）=f（1）+f（2）+f（3）=2+2故选：A11设=（1，2），=（a，1），=（b，0）（a0，b0，O为坐标原点），若A、B、C三点 共线，则的最小值是（）A4BC8D9【考点】平面向量的坐标运算；基本不等式；平行向量与共线向量【分析】由题意可得=K，即=K（），K为常数，化简可得2a+b=1根据=4+1+，利用基本不等式求得它的最小值【解答】
13、解：由题意可得=K，即=K（），K为常数即（a1，1）=K（b1，2），a1=bKK，1=2K解得 K=，2a+b=1再由a0，b0，=+=4+1+5+2=9，当且仅当=时，取等号，即的最小值是9，故选D12对实数a与b，定义新运算“”：设函数f（x）=（x22）（xx2），xR若函数y=f（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）ABCD【考点】函数与方程的综合运用【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x22）（xx2）的解析式，并求出f（x）的取值范围，函数y=f（x）c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范
14、围【解答】解：，函数f（x）=（x22）（xx2）=，由图可知，当c函数f（x） 与y=c的图象有两个公共点，c的取值范围是，故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13函数f（x）=cos（x）的最小正周期是2【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将w=代入即可得到答案【解答】解：f（x）=cos（x），T=2故答案为：214九章算术是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致如某一问题：现有扇形田，下周长（弧长）20步，径长（两段半径的和）24步，则该扇形田的面积为120平方步【考点】扇形面积公式【分
15、析】利用扇形面积计算公式即可得出【解答】解：由题意可得：弧长l=20，半径r=12，扇形面积S=lr=120（平方步），故答案为：12015如图，四边形ABCD中，ABC=C=120，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积是【考点】正弦定理【分析】由已知利用余弦定理可求BD，进而利用三角形面积公式可求SABD和SBCD，从而求得四边形的面积【解答】解：ABC=C=120，AB=4，BC=CD=2，在BCD中，BD=2，SABD=ABBDsin=4，SBCD=，四边形的面积S=SABD+SBCD=4=5故答案为：16设x，m，n，y成等差数列，x，p，q，y成等比数列，则的取值范围是（，04
16、，+）【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知得m+n=x+y，pq=xy，从而=，由此能求出的取值范围【解答】解：设x，m，n，y成等差数列，x，p，q，y成等比数列，m+n=x+y，pq=xy，=，当xy0时， =2+2=4，当xy0时， =2+2=0的取值范围是（，04，+）故答案为：（，04，+）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.）17（）在等差数列an中，a6=10，S5=5，求该数列的第8项a8；（）在等比数列bn中，b1+b3=10，b4+b6=，求该数列的前5项和S5【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式【分析】（）由等差数列通项公式列
17、出方程组，求出首项与公差，由此能求出该数列的第8项a8（）法一：由等比数列通项公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的前5项和S5；法二：由，得，从而求出公比，进而得b1，由此能求出该数列的前5项和S5【解答】（本小题满分10分）解：（）设数列an的公差为d，由已知a6=10，S5=5，得，解得，所以a8=a1+7d=5+73=16（或者a8=a6+2d=10+23=16）（）解法一：设数列bn的公比为q，由已知，得，解得，所以=解法二：设数列bn的公比为q由，得，从而得又因为，从而得b1=8所以=18已知是第三象限角，且sin=（）求tan与tan（）的值；（）求cos2的值【考点
18、】两角和与差的正切函数；二倍角的余弦【分析】（）利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，求得tan与tan（）的值（）由条件利用二倍角公式，求得cos2的值【解答】解：（）因为是第三象限角，sin=，cos0又因为sin2+cos2=1，所以=故=，=（）由（）知，所以，cos2=cos2sin2=19已知函数f（x）=sin2x+cos2x+1（）求f（x）的递减区间；（）当x，时，求f（x）的最值，并指出取得最值时相应的x的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（I）利用和差公式、倍角公式可得f（x）=，再利用正弦函数的单调性即可得出；（II）利用正弦函数的单调性
19、即可得出【解答】解：（） =，要使f（x）递减，则要满足：，即，所以函数f（x）的递减区间是（）因为，所以，所以，所以，所以故当时，函数f（x）的最小值是0，此时，得；函数f（x）的最大值是，此时，得20设数列an的前n项和为Sn=n2，bn为等比数列，且a1=b1，b2（a2a1）=b1（1）求数列an，bn的通项公式（2）设cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由已知利用递推公式an=可得an，代入分别可求数列bn的首项b1，公比q，从而可求bn；（2）由（1）可得cn=（2n1）4n1，利用乘“公比”错位相减求和【解答】解：（1）：当n=1时
20、，a1=S1=1；当n2时，an=SnSn1=n2（n1）2=2n1，故an的通项公式为an=2n1，即an是a1=1，公差d=2的等差数列设bn的公比为q，则b1qd=b1，d=2，q=故bn=b1qn1=1，即bn的通项公式为bn=（）n1；（2）cn=anbn=（2n1）（）n1，Tn=c1+c2+cn即Tn=1+3+5+（2n1）（）n1，Tn=1+3+5+（2n3）（）n1+（2n1）（）n，两式相减得， Tn=1+2（+（）n1）（2n1）（）n=3（2n1）（）nTn=621某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站
21、建在区域AOB内分界线OB固定，且OB=（1+）百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足AOC=75，AOB=30，BOC=45设OA=x（3x6）百米，OC=y百米（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积SOAC最小，并求出其面积的最小值【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）由图形知，SBOC+SAOB=SAOC，代入面积公式，求出函数y的解析式；（2）由（1）知，函数y的解析式，求出SAOC的表达式，利用基本不等式求出SOAC最小时，x的取值以及最小面积是什么【解答】解：（1）结合图形可知，SBOC+SAOB=SAOC于是
22、， x（1+）sin30+y（1+）sin45=xysin75，解得：y=，（其中3x6）（2）由（1）知，y=（3x6），因此，SAOC=xysin75= （x2）+42+2（当且仅当x2=，即x=4时，等号成立）当x=400米时，整个中转站的占地面积SOAC最小，最小面积是（2+2）104平方米22已知数列an满足，nN*（1）求证：数列为等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成等差数列，且am1，as1，at1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由【考点】数列递推式；等比关系的确定【分析】（1）由，变形可得，从而可证明数列为等比数列；（2）假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，则有，代入条件，利用基本不等式，即可得出结论【解答】（1）证明：因为，所以所以因为，则所以数列是首项为，公比为的等比数列（2）解：由（1）知，所以假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，则有由与，得即3m+t+23m+23t=32s+43s因为m+t=2s，所以3m+3t=23s因为，当且仅当m=t时等号成立，这与m，s，t互不相等矛盾所以不存在互不相等的正整数m，s，t满足条件2016年7月30日
