1、广东省肇庆市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设z1=3+4i，z2=23i，则z1+z2在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的基本运算和几何意义进行求解解答：解：z1=3+4i，z2=23i，z1+z2=3+4i+23i=1+i，对应的坐标为（1，1）位于第二象限，故选：B点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算是解决本题的关键2已知f（x）=ex+sin
2、x，则f（x）=( )Alnx+cosxBlnxcosxCex+cosxDexcosx考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用分析：根据求导公式和法则求出已知函数的导数即可解答：解：f（x）=ex+sinx，f（x）=ex+cosx，故选：C点评：本题考查了求导公式和法则的简单应用，是基础题3若复数（a22a3）+（a+1）i是纯虚数，则实数a的值为( )A3B3C1D1或3考点：复数的基本概念 专题：数系的扩充和复数分析：复数为纯虚数，那么实部为0，且虚部不等于0解答：解：因为复数（a22a3）+（a+1）i是纯虚数，a是实数，所以a22a3=0且a+10，解得a=3故选A点评：本题考查了复
3、数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0且b04在曲线y=x3上切线的斜率为3的点是( )A（0，0）B（1，1）C（1，1）D（1，1）或（1，1）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可解答：解：曲线y=x3，可得y=3x2，曲线y=x3上切线的斜率为3，可得3x2=3，解得x=1，切点坐标为：（1，1）或（1，1）故选：D点评：本题考查函数的导数的应用，导数的几何意义，考查计算能力5否定“自然数m，n，k中恰有一个奇数”时正确的反设为( )Am，n，k都是奇数Bm，n，k都是偶数Cm，n，
4、k中至少有两个偶数Dm，n，k都是偶数或至少有两个奇数考点：反证法 专题：推理和证明分析：求得命题：“自然数m，n，k中恰有一个奇数”的否定，即可得出结论解答：解：由于命题：“自然数m，n，k中恰有一个奇数”的否定为：“m，n，k都是偶数或至少有两个奇数”，故否定“自然数m，n，k中恰有一个奇数”时正确的反设为：“m，n，k都是偶数或至少有两个奇数”，故选：D点评：本题主要考查反证法，求一个命题的否定，属于基础题6下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）”的是( )Af（x）=Bf（x）=x+Cf（x）=（x1）2Df（x）=ln（x+1）考
5、点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据条件可得函数f（x）在（0，+）上为减函数，然后进行判断即可解答：解：“对任意x1，x2（0，+），当x1x2时，都有f（x1）f（x2）”，函数f（x）在（0，+）上为减函数，则Af（x）=满足条件Bf（x）=x+在（0，1）上递减，在1，+）上递增，不满足条件Cf（x）=（x1）2在（0，1）上递减，在1，+）上递增，不满足条件Df（x）=ln（x+1）在（0，+）上为增函数，不满足条件故选：A点评：本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性的性质7复数的共轭复数是( )ABC1iD1+i考点：复数代数形式的混合运算 专
6、题：计算题分析：先利用两个复数的除法法则化简复数，再依据共轭复数的定义求出复数的共轭复数解答：解：复数=i，复数的共轭复数是 +i，故选 A点评：本题考查两个复数代数形式的混合运算法则以及共轭复数的概念8函数f（x）=lnx的单调递增区间为( )A（，1）与（1，+）B（0，1）（1，+）C（0，1）D（1，+）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间解答：解：f（x）=lnx，函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=x=，当f（x）0时，解得0x1时，函数单调递增，函数f（x）=lnx的单
7、调递增区间为为（0，1）故选：C点评：本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是求导，属于基础题9=( )A1+iB1iC1+iD1i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果解答：解：=（1+i）=1i，故选：D点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题10把一段长为12的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )AB3CD4考点：三角形的面积公式 专题：函数的性质及应用分析：设两段分别为x和12x，其中0x12，可得面积之和S=
8、（2x224x+144），由二次函数区间的最值可得解答：解：设两段分别为x和12x，其中0x12，可得面积之和S=（）2+（）2=（2x224x+144），由二次函数可知当x=6时，上式取最小值2故选：A点评：本题考查最值问题，涉及二次函数区间的最值，属基础题11若不等式kx2+2kx+20的解集为空集，则实数k的取值范围是( )A0k2B0k2C0k2Dk2考点：一元二次不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：根据题意，讨论k的取值，是否满足不等式kx2+2kx+20的解集为空集即可解答：解：当k=0时，满足题意；当k0时，=4k28k0，解得0k2；实数k的取值范围是0，2故选：C点评
9、：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，讨论字母系数的取值情况，从而得出正确的答案12已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是( )A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用分析：由题意可得f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可解答：解：f（x）=ax33x2+1，f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；当a=0时，f（x）=3x2+1有两个零点，不成立；当a0时，
10、f（x）=ax33x2+1在（，0）上有零点，故不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（0，+）上有且只有一个零点；故f（x）=ax33x2+1在（，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上取得最小值；故f（）=3+10；故a2；综上所述，实数a的取值范围是（，2）；故选：D点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13计算（1+i）（1i）+（1+i）=1+i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：由复数的运算法则化简即可解答：解：化简可
11、得（1+i）（1i）+（1+i）=1i21+i=1+11+i=1+i故答案为：1+i点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题14一物体的运动方程为s=3t22，则其在t=时的瞬时速度为1考点：变化的快慢与变化率 专题：导数的概念及应用分析：求出位移的导函数，据位移的导数是瞬时速度，根据瞬时速度为1，代入即可求出时间t解答：解：s=6t，令6t=1，解得t=故答案为：点评：本题考查物体的位移的导数表示物体运动的瞬时速度15若复数z=2+（a+1）i，且|z|2，则实数a的取值范围是（3，1）考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的几何意义以及复数的模长公
12、式进行化简即可解答：解：z=2+（a+1）i，且|z|2，2，即4+（a+1）28，即（a+1）24，2a+12，解得3a1，故答案为：（3，1）点评：本题主要考查复数的基本运算和复数的几何意义，比较基础16数列an满足an+1=，a8=2，则a1=考点：数列递推式 专题：计算题分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值解答：解：由题意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=1；令n=5代入得，a6=，解得a5=2；根据以上结果发现，求得结果按2，1循环，83=22
13、，故a1=故答案为：点评：本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.17在平面直角坐标系xOy中，直线 l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数）（）试求直线l和曲线C的普通方程；（）求直线l和曲线C的公共点的坐标考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：（I）消去参数t，把直线 l的参数方程化为普通方程，消去参数，把曲线C的参数方程化为普通方程；（ II）由直线l与曲线C的方程组成方程组，求得公共点的坐标解答：解：（I）直线 l的参数方程为（t 为参数），消去参数
14、t，直线l的普通方程为2xy2=0；又曲线C的参数方程为（为参数），消去参数，曲线C的普通方程为y2=2x；（ II）由直线l与曲线C组成方程组，解得，或；公共点的坐标为（2，2），（，1）点评：本题考查了参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为直角坐标系方程来进行解答，是基础题18某产品的广告费用支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：x/百万元24568y/百万元3040605070（1）求y与x之间的回归直线方程；（参考数据：22+42+52+62+82=145，230+440+560+650+870=1380）（2）试预测广告费用支出为1千万元时，销售额是多少？考点：线
15、性回归方程 专题：概率与统计分析：（1）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程（2）把所给的广告费支出为1千万元时，代入线性回归方程，可估算出对应的销售额解答：解：（1），所以回归直线方程为（2）当x=10时，（百万元），即当广告费用支出为1千万元时，销售额约是8.25千万元点评：本题考查求线性回归方程，是一个运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心19随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下22列联表：读营养说明不读营养说明合计男16420女81220合计2
16、41640（1）根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“性别与是否读营养说明之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从读营养说明的学生中随机抽取3人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率考点：独立性检验 专题：应用题；概率与统计分析：（1）计算观测值，对照表中数据做出概率统计；（2）根据分层抽样原理，得出男、女生应抽取的人数各是多少；（3）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率解答：解：（1）因为，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“性别与是否读营养说明之间有关系”（2）根据分层抽样原
17、理，得男生应抽取的人数是：（人），女生抽取的人数是：（人）； （3）由（2）知，男生抽取的人数为2人，设为a，b；女生抽取的人数为1人，设为c；则所有基本事件数是：（a，b），（a，c），（b，c）共3种其中满足条件的基本事件是：（a，c），（b，c）共2种，所以，恰有一男一女的概率为点评：本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题目20如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCDM是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC（1）证明：BCCM；（2）证明：PQ平面BCD考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关
18、系与距离分析：（1）由AD与平面BCD垂直，得到BC与AD垂直，进而得到BC与平面ACD垂直，即可得证；（2）取BD的中点E，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接PE，EF，QF，利用中位线定理得到PE与DM平行，进而得到PE与AD平行，等于AD的四分之一，在三角形CAD中，根据题意得到DF与AD平行，且DF等于AD的四分之一，得到PE与DF平行且相等，进而确定出四边形EDQP为平行四边形，得到PQ与EF平行，即可得证解答：证明：（1）AD平面BCD，BC平面BCD，BCAD，又BCCD，且CD、AD平面ACD，CDAD=D，BC平面ACD，CM平面ACDBCCM；（2）取BD的中点E，
19、在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接PE，EF，QF，P、E分别是BM、BD的中点，PE为BDM的中位线，PEDM，且PE=DM，即PEAD，且PE=AD，在CAD中，AQ=3QC，DF=3FC，QFAD，且QF=AD，PEQF，且PE=QF，四边形EFQP为平行四边形，PQEF，EF平面BCD，PQ平面BCD，PQ平面BCD点评：此题考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，熟练掌握性质与判定是解本题的关键21已知数列an满足a1=1，an+1=3an+1（）证明an+是等比数列，并求an的通项公式；（）证明：+考点：数列的求和；等比数列的性质 专题：证明题；等差数列与等比数列
20、分析：（）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列； 再根据等比数列的通项化式，求出an的通项公式；（）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式解答：证明（）=3，0，数列an+是以首项为，公比为3的等比数列；an+=，即；（）由（）知，当n2时，3n13n3n1，=，当n=1时，成立，当n2时，+1+=对nN+时，+点评：本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消
21、法求和的新数列属于中档题22已知函数f（x）=x3+ax24（aR），f（x）是f（x）的导函数（1）当a=2时，对于任意的m1，1，n1，1求f（m）+f（n）的最小值；（2）若存在x0（0，+），使f（x0）0求a的取值范围考点：函数最值的应用；函数单调性的性质 专题：计算题；压轴题分析：（1）欲求f（m）+f（n）的最小值，就分别求f（m）、f（n）的最小值（2）存在x0（0，+），使f（x0）0即寻找f（x）max0是变量a的范围解答：解：（1）由题意知f（x）=x3+2x24，f（x）=3x2+4x令f（x）=0，得x=0或当x在1，1上变化时，f（x），f（x）随x的变化情况如下表
22、：X1（1，0）0（0，1）1f（x）70+1f（x）143对于m1，1，f（m）的最小值为f（0）=4，f（x）=3x2+4x的对称轴为且抛物线开口向下对于n1，1，f（n）的最小值为f（1）=7，f（m）+f（n）的最小值为11（2）f（x）=3x（x）若a0，当x0，时f（x）0f（x）在0，+）上单调递减，又f（0）=4，则当x0时，f（x）4当a0时，不存在x00，使f（x0）0若a0，则当0x时，f（x）0，当x时，f（x）0从而f（x）在（0，上单调递增，在，+）上单调递减，当x（0，+）时，f（x）max=f（）=根据题意，即a327，解得a3综上，a的取值范围是（3，+）点评：本题考查了三次函数、二次函数的最值问题，以及存在性问题
