1、第二节 圆与直线、圆与四边形【知识梳理】1.圆周角定理及其推论(1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_.圆周角 的度数等于它所对的弧的度数的_.(2)推论:推论1:同弧或等弧所对的圆周角_;在同圆或等圆中,相等的圆 周角所对的弧也_.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是_;90的圆周角所对的 弧是_.一半 一半 相等 相等 直角 半圆 2.圆的切线的判定和性质及弦切角定理(1)切线的判定定理:经过半径的_并且_这条半径的直 线是圆的切线.(2)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的_.推论1:经过圆心且垂直于切线的直线经过_.推论2:经过切点且垂直于切线的直线经过_.外端 垂直于
2、 半径 切点 圆心(3)切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线,这两条切线长_.(4)弦切角定理:弦切角等于它所夹弧所对的_;弦切角的度数 等于它所夹弧的度数的_.相等 圆周角 一半 3.与圆有关的比例线段(1)切割线定理及推论:定理:过圆外一点作圆的一条切线和一条割线,切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的_.如图,PT是 O的切线,T是切点,PAB是O的割线,则PT2=_.比例中项 PAPB 推论:过圆外一点作圆的两条割线,在一条割线上从这点到两个交点的 线段长的_,等于另一条割线上对应线段长的_.如图,PAB和PCD是 O的两条割线,则PAPB=_.积 积 PCPD(2)相交弦定理:圆内
3、的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积 _.如图,圆的两条弦AB,CD相交于圆内一点P,则PAPB=_.相等 PCPD 4.圆内接四边形(1)圆内接四边形的性质定理及推论:定理:圆内接四边形的对角_.推论:圆内接四边形的任何一个外角都等于它的_.(2)四点共圆的判定定理及推论:定理:如果一个四边形的_,那么这个四边形四个顶点共圆.推论:如果四边形的一个外角等于其_,那么这个四边形的四个 顶点共圆.互补 内对角 内对角互补 内对角(3)托勒密定理:圆内接四边形的两对边乘积之和等于两条对角线的_.乘积【小题快练】(本部分为教师用书独具)1.(2014天津高考)如图,ABC是圆的内接三角形,BAC
4、的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:BD平分CBF;FB2=FDFA;AECE=BEDE;AFBD=ABBF.则所有正确结论的序号是()A.B.C.D.【解析】选D.由弦切角定理得FBD=EAC=BAE,又BFD=AFB,所以BFDAFB,所以 即AFBD=ABBF,排除A,C.又FBD=EAC=DBC,排除B.BFBDAFAB，2.(2014湖北高考)如图,P为O外一点,过P作O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB=.【解析】由切割线定理得QA2=QCQD=1(1
5、+3)=4,所以QA=2,PB=PA=4.答案:4 3.(2014湖南高考)如图,已知AB,BC是O的两条弦,AOBC,AB=,BC=2 ,则O的半径等于 .32【解析】延长AO,作出直径AD,连接BD,则AB垂直于BD,设BC,AD交于E,因为AOBC,AB=,BC=2 ,所以AE=1,由射影定理得AB2=AEAD,3=2r,r=.答案:3232324.(2014陕西高考)如图,ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=.【解析】由已知利用割线定理得:AEAB=AFAC,又AC=2AE,得AB=2AF,所以 且A=A得AEFACB且相似比为12
6、,又BC=6,所以EF=3.答案:3 AFAE1ABAC2考点1 圆周角定理及圆内接四边形【典例1】(2015南阳模拟)已知:直线AB过圆心O,交O于A,B,直线AF交O于F(不与B重合),直线l与O相切于C,交AB于E,且与AF垂直,垂足为G,连接AC,求证:(1)BAC=CAG.(2)AC2=AEAF.【解题提示】(1)连接BC,根据AB为O的直径得到ECB与ACG互余,根据弦切角得到ECB=BAC,得到BAC与ACG互余,再根据CAG与ACG互余,得到BAC=CAG.(2)连接CF,利用弦切角结合(1)的结论,可得GCF=ECB,再用外角进行等量代换,得到AFC=ACE,结合FAC=CA
7、E得到FACCAE,从而得到AC是AE,AF的比例中项,从而得到AC2=AEAF.【规范解答】(1)连接BC,因为AB为O的直径,所以ACB=90ECB+ACG=90.因为GC与O相切于C,所以ECB=BAC,所以BAC+ACG=90.又因为AGCGCAG+ACG=90,所以BAC=CAG.(2)连接CF.由(1)可知EAC=CAF,因为GE与O相切于C,所以GCF=CAF=BAC=ECB.因为AFC=GCF+90,ACE=ECB+90,所以AFC=ACE.因为FAC=CAE,所以FACCAE,所以 所以AC2=AEAF.ACAFAEAC，【规律方法】圆周角定理常用的转化(1)圆周角与圆周角之
8、间的转化.(2)圆周角与圆心角之间的转化.(3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化.(4)圆内接四边形的外角与其相对的内角的转化.【变式训练】(2015齐齐哈尔模拟)如图,ABC是直角三角形,ABC=90,以AB为 直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接OD交圆O于点M.求证:O,B,D,E四点共圆.【证明】连接BE,OE,因为AB为圆O的直径,所以AEB=90,得BEEC,又因为D是BC的中点,所以ED是RtBEC的中线,可得DE=BD.又因为OE=OB,OD=OD,所以ODEODB.可得OED=OBD=90,因此,O,B,D,E四点共圆.【加固训练】(2014南通模拟)如图,圆O
9、的两弦AB和CD交于点E,EFCB,EF交AD的延长线于点F.求证:DEFEAF.【证明】因为EFCB,所以BCD=FED,又BAD与BCD是 所对应的圆周角,所以BAD=BCD,所以BAD=FED,又EFD=EFD,所以DEFEAF.BD考点2 圆的切线性质与判定定理、弦切角定理【典例2】(2014辽宁高考)如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径.(2)若AC=BD,求证:AB=ED.【解题提示】(1)利用已知条件证明ADB=90,从而证明AB为圆的直径.(2)设法证明ED也是直径
10、,即可证明AB=ED.【规范解答】(1)因为PG=PD,所以PDG=PGD.由于PD为切线,所以PDA=DBA,又由于EGA=PGD,所以EGA=DBA.所以DBA+BAD=EGA+BAD,从而BDA=PFA,由于AFEP,所以PFA=90,所以BDA=90,故AB为圆的直径.(2)连接BC,DC.由于AB为圆的直径,所以BDA=ACB=90.在RtBDA,RtACB中,AB=BA,BD=AC,从而RtBDARtACB.所以DAB=CBA.又因为DCB=DAB,所以DCB=CBA,故DCAB.由于ABEP,所以DCEP,所以DCE=90,所以ED为直径,所以AB=ED.【规律方法】与圆的切线有
11、关的问题及处理方法(1)证明直线是圆的切线的常用方法:若已知直线与圆有公共点,则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可.若已知直线与圆没有明确的公共点,则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径.(2)求弦切角的问题往往转化为求同弧上的圆周角.(3)求切线长问题往往利用切线长定理和切割线定理.提醒:利用弦切角定理时,一定要注意是弦切角与同弧上的圆周角相等.【变式训练】如图,直线AB经过O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,O交直线OB于E,D,连接EC,CD.(1)求证:直线AB是O的切线.(2)若tanCED=,O的半径为3,求OA的长.12【解析】(1)如图,连接OC,因为OA=OB,CA
12、=CB,所以OCAB.所以AB是O的切线.(2)因为BC是圆O的切线,且BE是圆O的割线,所以BC2=BDBE,因为tanCED=,所以 .因为BCDBEC,所以 ,设BD=x,BC=2x.又BC2=BDBE,所以(2x)2=x(x+6),解得x1=0,x2=2,因为BD=x0,所以BD=2,所以OA=OB=BD+OD=2+3=5.12CD1EC2BDCD1BCEC2考点3 与圆有关的比例线段【典例3】(2015濮阳模拟)如图,O的直径AB的延长线与弦CD的延 长线相交于点P,E为O上一点,DE交AB于点F.(1)证明:DFEF=OFFP.(2)当AB=2BP时,证明:OF=BF.ACAE【解
13、题提示】(1)证明OFEDFP后利用对应边成比例求解.(2)利用相交弦定理化简证明.【规范解答】(1)连接OE.因为 ,所以AOE=CDE,所以EOF=PDF,又EFO=PFD,所以OFEDFP,所以 ,所以DFEF=OFFP.ACAEOFEFDFPF(2)设BP=a,由AB=2BP,得AO=BO=BP=a,由相交弦定理得:DFEF=AFBF,所以AFBF=OFFP,所以OF(a+BF)=(a+OF)BF,所以OF=BF.【规律方法】与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理.(2)见到圆的两条割线就要想到割线定理.(3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理.【变式训
14、练】(2014新课标全国卷)如图,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E.证明:(1)BE=EC.(2)ADDE=2PB2.【证明】(1)因为PC=2PA,PD=DC,所以PA=PD,PAD为等腰三角形.连接AB,则PAB=DEB=,BCE=BAE=.因为PAB+BCE=PAB+BAD=PAD=PDA=DEB+DBE,所以+=+DBE,所以=DBE,即BCE=DBE,所以BE=EC.(2)因为ADDE=BDDC,PA2=PBPC,PD=DC=PA,所以PA2=PBPC=PB2PA,即PA=2PB,所以BDDC=(P
15、A-PB)PA=PA2-PBPA=PBPC-PBPA=PB(PC-PA)=PBPA=PB2PB=2PB2,即ADDE=2PB2.【加固训练】(2014吉林模拟)如图,AB,CD是圆的两条平行弦,BEAC,BE交CD于E,交圆于F,过A点的切线交DC的延长线于P,PC=ED=1,PA=2.(1)求AC的长.(2)试比较BE与EF的长度关系.【解析】(1)连接BC.因为过A点的切线交DC的延长线于P,所以PA2=PCPD,因为PC=1,PA=2,所以PD=4.又PC=ED=1,所以CE=2,因为PAC=CBA,PCA=CAB,所以PACCBA,所以 ,所以AC2=PCAB=2,所以AC=.PCACACAB2(2)BE=AC=,由相交弦定理可得CEED=BEEF.因为CE=2,ED=1,所以EF=,所以EF=BE.22
