1、考点规范练44圆与圆的方程考点规范练B册第29页基础巩固组1.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的和是() A.30B.18C.102D.52答案:C解析:由圆x2+y2-4x-4y-10=0知圆心坐标为(2,2),半径为32,则圆上的点到直线x+y-14=0的最大距离为|2+2-14|2+32=82,最小距离为|2+2-14|2-32=22,故最大距离与最小距离的和为102.2.实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为()A.2B.1C.3D.2答案:B解析:设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)
2、2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=(x-0)2+(y-0)22=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.3.(2015全国,理7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.26B.8C.46D.10答案:C解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得D+3E+F+10=0,4D+2E+F+20=0,D-7E+F+50=0,解得D=-2,E=4,F=-20.则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(
3、0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16+80=46.4.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1答案:A解析:设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2.因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x02+
4、y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.5.已知圆C的圆心在曲线y=2x上,圆C过坐标原点O,且分别与x轴、y轴交于A,B两点,则OAB的面积等于()A.2B.3C.4D.8导学号92950853答案:C解析:设圆心的坐标是t,2t.圆C过坐标原点,|OC|2=t2+4t2,圆C的方程为(x-t)2+y-2t2=t2+4t2.令x=0,得y1=0,y2=4t,B点的坐标为0,4t;令y=0,得x1=0,x2=2t,A点的坐标为(2t,0),SOAB=12|OA|OB|=124t|2t|=4,即OAB的面积为4.6.如图,已知圆C与x轴相切于点T(
5、1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案:(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)-1-2解析:(1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),再取AB中点为P,连接CP,CB,则BPC为直角三角形,得|BC|=r=2=b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.(2)由(1)得,C(1,2),B(0,2+1),则kBC=-1.圆C在点B处的切线方程为y=x+2+1,令y=0,得x=-2-1,即切线在x轴上的截距为-1-2.7.(2015河北衡水中学高三一调)若实数a,b,c成等差数列,点P
6、(-1,0)在动直线l:ax+by+c=0上的射影为M,点N(0,3),则线段MN长度的最小值是.答案:4-2解析:因为a,b,c成等差数列,故有2b=a+c,即a-2b+c=0,对比方程ax+by+c=0可知,动直线恒过定点Q(1,-2).由于点P(-1,0)在动直线ax+by+c=0上的射影为M,即PMQ=90,所以点M在以PQ为直径的圆上,该圆的圆心为PQ的中点C(0,-1),且半径为PQ2=2,再由点N到圆心C的距离为NC=4,所以线段MN的最小值为NC-r=4-2.8.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),则直角顶点C的方程为.答案:(x-1)2+y2=4
7、(x3,且x-1)解析:设C的坐标为(x,y),由题意可知ACBC=0,即(x+1,y)(x-3,y)=0,整理得(x-1)2+y2=4.又C与A,B构成三角形,所以x3,且x-1,故C的方程为(x-1)2+y2=4(x3,且x-1).9.根据下列条件,求圆的方程:(1)一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距的和为2;(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2).解:(1)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D.令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.由题意
8、知-D-E=2,即D+E+2=0.又因为圆过点A,B,所以16+4+4D+2E+F=0,1+9-D+3E+F=0,解组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.(2)(方法一)如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得4x0-23-x0=1,则x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径r=22,故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(方法二)设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得y0=-4x0,(3-x0)2+(-2-y0)2=r2,|x0+y0-1|2=r,解得x0=1,y0=-4,r=22.因此所求圆的方程为(x-1)
9、2+(y+4)2=8.导学号9295085410.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y=x的距离为52,求圆P的方程.解:(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得|x0-y0|2=22.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得|x0-y0|=1,y02-x02=1.由x0-y0=1,y02-x02=1,得x0=0,y0=-1.此时,圆P的半径r=3.由x0-y0=-1,y02-
10、x02=1,得x0=0,y0=1.此时,圆P的半径r=3.故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.能力提升组11.若直线l过点P-3,-32且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则直线l的方程为()A.3x+4y+15=0B.x=-3或y=-32C.x=-3D.x=-3或3x+4y+15=0导学号92950855答案:D解析:若直线l的斜率不存在,则该直线的方程为x=-3,代入圆的方程解得y=4,故直线l被圆截得的弦长为8,满足条件;若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y+32=k(x+3),即kx-y+3k-32=0,因为直线l被圆截得的弦长为8,故半弦长为4,又圆
11、的半径为5,则圆心(0,0)到直线l的距离为52-42=3k-32k2+1,解得k=-34,此时直线方程为3x+4y+15=0.12.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.52-4B.17-1C.6-22D.17导学号92950856答案:A解析:圆C1,C2的图像如图所示.设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C1(2,-
12、3),连接C1C2,与x轴交于点P,连接PC1,可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为52-4,故选A.13.在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,-3)为OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.(1)求AB的坐标;(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.解:(1)设AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,ABOA=0,得x2+y2=100,4x-3y=0,解得x=6,y=8或x=-6,y=-8.若AB=(-6,-8),则yB=-11与yB0矛盾.x=-6,y=-8舍去,即AB=(6,8).(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=(10)2,其圆心为C(3,-1),半径r=10,OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5),直线OB的方程为y=12x.设圆心C(3,-1)关于直线y=12x的对称点的坐标为(a,b),则b+1a-3=-2,b-12=12a+32,解得a=1,b=3,所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.导学号92950857
