1、专题五十六 圆锥曲线的综合问题【高频考点解读】1.掌握解决直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的思想方法2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合思想【热点题型】题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1、如图，点F1(c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点解法二设直线x与x轴交于点M.由条件知，P.【提分秘籍】 1过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或
2、重合的直线2经过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线3过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线4. 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法，即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x、y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法，即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；
3、(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程【热点题型】题型二 圆锥曲线的弦长问题例2、设过原点的直线l与抛物线y24(x1)交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点F.求：(1)直线l的方程；(2)|AB|的长【解析】(1)设直线l：ykx，抛物线的焦点为F(2,0)，则【提分秘籍】1.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍解题的
4、主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”2利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长3对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法其解题步骤为：(1)设点：即设出弦的两端点坐标；(2)代入：即代入圆锥曲线方程；(3)作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开；(4)整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解【举一反三】已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若|F2A|F2B|12，则|AB|_.解析：由题意知(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)|AB|AF2|BF2|2a2a，
5、又由a5，可得|AB|(|BF2|AF2|)20，即|AB|8. 答案：8 【热点题型】题型三 定点、定值的探索与证明例3、(2013年高考安徽卷)设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上【提分秘籍】1求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利
6、用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关【举一反三】椭圆E：1(ab0)的焦点到直线x3y0的距离为，离心率为，抛物线G：y22px(p0)的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B，与G交于C，D.(1)求椭圆E及抛物线G的方程；(2)是否存在常数，使为常数，若存在，求的值，若不存在，说明理由直线l的方程yk(x2)与抛物线G的方程联立得k2x2(4k28)x4k20，x3x4，|CD|x3x44，要使为常数，则204，得，故存在，使为常数.【热点题型】题型四 圆锥曲线中探索性问题 例4、(201
7、3年高考江西卷)(本题满分13分)如图，椭圆C：1(ab0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不存在，说明理由所以k1k22k，11分代入得k1k22k2k1，12分又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意13分【提分秘籍】 圆锥曲线中的探索性问题是高考命题的热点，主要以解答题的形式出现，难度较大，一般作为压轴题，解决此类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”，也可先用特殊情
8、况得到所求值，再给出一般性的证明，着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力【高考风向标】1（2014全国卷）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程【解析】解：(1)设Q(x0，4)，代入y22px，得x0，所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2，所以C的方程为y24x.2（2014安徽卷）如图14，已知两条抛物线E1：y22p1x(p10)和E2：y22p2x(p2
9、0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点图14(1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值 3（2014北京卷）已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论4（2014福建卷）已知双曲线E：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率(2)如
10、图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由图16 (2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l与x轴相交于点C.当lx轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|a，|AB|4a.又因为OAB的面积为8，方法二：(1)同方法一(2)由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意得m.由得y1， 同理得y2.设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)由SOAB|O
11、C|y1y2|8，得|t|8.所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因为4m210，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当64m2t216(4m21)(t2a2)0，即4m2a2t2a20, 即4m2a24(14m2)a20，即(14m2)(a24)0，所以a24，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.由(1)得双曲线E的方程为1，由得(4k2) x22kmxm24a20.因为4k20，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当4k2m24(4k2)(m24a2)0，即(k24)(a24)0，所以a24，所以双曲线E的方程
12、为1.当lx轴时，由OAB的面积等于8可得l：x2，又易知l：x2与双曲线E：1有且只有一个公共点综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.5（2014湖北卷）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围 (i)若由解得k.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点(ii)若或由解得k或k0，且x2，y2，从而|PQ|22.设点A到
13、直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2|，所以2d.故四边形APBQ的面积S|PQ|2d2.而00)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA(O为坐标原点)图17(1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值【解析】解：(1)设F(c，0)，因为b1，所
14、以c.由题意，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，所以B.又直线OA的方程为yx，则A，所以kAB.又因为ABOB，所以1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.(2)由(1)知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y(y00)因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x的交点为N，则.又P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，所以，为定值8（2014辽宁卷）圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图16所示)双曲线C1：1过点P且离心率为.图16(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1
15、有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程【解析】解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，.故其围成的三角形的面积S.由xy42x0y0知，当且仅当x0y0时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)由题意知解得a21，b22，故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此可设C2的方程为1，其中b10.由P(，)在C2上，得1，解得b3，因此C2的方程为1.显然，l不是直线
16、y0.设直线l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22 my30.又y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40，将代入式整理得2m22 m4 110，解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.9（2014新课标全国卷 已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【解析】解：(1)设F
17、(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故可设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120，当16(4k23)0，即k2时，x1，2，从而|PQ|x1x2|.又点O到直线l的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，满足0，所以，当OPQ的面积最大时，k，l的方程为yx2或yx2.10（2014新课标全国卷 设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为
18、()A. B. C. D.11（2014新课标全国卷 设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.【解析】解：(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离心率为.12（2014山东卷）已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形(
19、1)求C的方程(2)若直线l1l，且l1和C有且只有一个公共点E.证明直线AE过定点，并求出定点坐标ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【解析】解：(1)由题意知F.设D(t，0)(t0)，则FD的中点为.因为|FA|FD|，由抛物线的定义知3，解得t3p或t3(舍去)由3，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明：由(1)知F(1，0)设A(x0，y0)(x0y00)，D(xD，0)(xD0)因为|FA|FD|，则|xD1|x01，代入抛物线方程得y2y84x00，所以y0y1，13（2014陕西卷）如图15所示，曲线C由上半椭圆C1：1(ab0，
20、y0)和部分抛物线C2：yx21(y0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.(1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若APAQ，求直线l的方程图15【解析】解：(1)在C1，C2的方程中，令y0，可得b1，且A(1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点设C1的半焦距为c，由及a2c2b21得a2，a2，b1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为x21(y0)易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为yk(x1)(k0)，代入C1的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)14（2014四川卷）已知
21、椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标【解析】解：(1)由已知可得解得a26，b22，所以椭圆C的标准方程是1.(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(2，0)，设T点的坐标为(3，m)，故当最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，1)15（2014天津卷）设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为
22、椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率 设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx.由l与圆相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4，所以直线l的斜率为4或4.16（2014浙江卷）如图16，设椭圆C：1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.图16【随堂巩固】 1过点P(4,4)且与双曲线1只有一个公共点的直线有()A1条B2条C3条 D4条解析：结合图形知，过P
23、(4,4)与双曲线只有一个公共点的直线，有两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，共4条答案：D2已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 B2C2 D.3已知双曲线1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A. B(，) C.D，解析：由题意知，F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为yx.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A.
24、 B2C. D45斜率为的直线与双曲线1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是()A2，) B(2，)C(1，) D(，)解析：要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于，所以，e2，即e(2，)故选B.答案：B6已知抛物线y28x的焦点为F，直线yk(x2)与此抛物线相交于P，Q两点，则()A. B1C2 D47已知F1为椭圆C：y21的左焦点，直线l：yx1与椭圆C交于A、B两点，则|F1A|F1B|的值为_8直线l：xy0与椭圆y21相交于A、B两点，点C是椭圆上的动点，则ABC面积的最大值是_9已知双曲线1的离心率为p，焦点为F的抛物线y22px与直线yk(x)交
25、于A， B两点，且p，则k的值为_10已知圆C：(x)2y216，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，AOB(O是坐标原点)的面积S，求直线AB的方程11.如图所示，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：1(ab0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合(1)求椭圆C的方程；(2)ABD的面积是否存在最大值；若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)求证：直线AB、AD斜率之和为定值 12如图所示，椭圆C：1(ab0)，A1、A2为椭圆C的左、右顶点(1)设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，|PF1|取得最小值与最大值；(2)若椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C的标准方程；(3)若直线l：ykxm与(2)中所述椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且满足AA2BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 (3)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(34k2)x28mkx4(m23)0，则又y1y2(kx1m) (kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.