1、9.4二项式定理必备知识预案自诊知识梳理1.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n=,nN*.(2)通项:,它表示展开式的第k+1项.(3)二项式系数:二项展开式中各项的系数(k=0,1,2,n)叫做二项式系数.问题思考(a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系?温馨提示二项式系数Cnk(k=0,1,2,n)是组合数,它与二项展开式中对应项的系数不一定相等,应注意区分二项式系数与项的系数这两个不同的概念.二项式系数是指Cn0,Cn1,Cnn,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n
2、的二项展开式中,第k+1项的二项式系数是Cnk,而该项的系数是Cnkan-kbk.当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的.2.二项式系数的性质Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)(a+b)n的展开式中的第k项是Cnkan-kbk.()(2)在二项展开式中,系数最大的项为中间的一项或中间的两项.()(3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数都与a,b无关.()(4)通项Tk+1=Cnkan-kbk中的a和b不能互换.()(5)在(a+b)n的展开式中,某项的系数与该项的二项式系
3、数相同.()2.在(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于()A.80B.40C.20D.103.若x+1xn的展开式的二项式系数之和为64,则x+1xn的展开式的常数项为()A.10B.20C.30D.1204.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为()A.9B.8C.7D.65.(2021年1月8省适应测试)(1+x)2+(1+x)3+(1+x)9的展开式中x2的系数是()A.60B.80C.84D.120关键能力学案突破考点求二项展开式中的特定项(或系数)问题(多考向探究)考向1已知二项式求其特定项(或系数)【例1】(1)(2020天津,11
4、)在x+2x25的展开式中,x2的系数是.(2)(2020云南师大附中高三月考)若(ax-1x)6的展开式中常数项等于-20,则a=()A.12B.-12C.1D.-1解题心得求形如(a+b)n(nN*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤(1)利用二项式定理写出二项展开式的通项Tk+1=Cnkan-kbk,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);(2)根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),再解出k;(3)把k代入通项中,即可求出Tk+1,有时还需要先求n,再求k,才能求出Tk+1或者其他量.对点训练1
5、(1)-x+1x10的展开式中x2的系数等于()A.45B.-20C.-45D.-90(2)已知x-ax5的展开式中x5的系数为A,x2的系数为B,若A+B=11,则a=.考向2已知两个因式之积求其特定项(或系数)【例2】(1)(1+x2)1-1x6的展开式中的常数项为()A.-15B.16C.15D.-16(2)若x+12x8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为21,则实数a的值为()A.3B.-3C.2D.-2(3)(1-x)8(1+x)5的展开式中x2的系数是()A.-5B.10C.-15D.25解题心得求形如(a+b)m(c+d)n(m,nN*)的展开式中与特定项相关的量的步骤(
6、1)根据二项式定理把(a+b)m与(c+d)n分别展开,并写出其通项;(2)根据特定项的次数,分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些项相乘得到;(3)把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.对点训练2(1)(1-x)6(1+x)4的展开式中x的系数是()A.-4B.-3C.3D.4(2)已知(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2的项的系数为0,则正实数a=.考向3已知三项式求其特定项(或系数)【例3】(1)x2+1x+25的展开式中的常数项为.(2)(x2-x-2)4的展开式中x2的系数是.解题心得求三项展开式中某些特定项(或系数)的方法:(1)通过变形先把三项式转化为
7、二项式,再用二项式定理求解;(2)两次利用二项式定理的通项求解;(3)由二项式定理的推证方法知,可用排列、组合的基本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.对点训练3(1)(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)(1+x+x)4的展开式中x2的系数为.考点二项式系数的性质与各项系数的和(多考向探究)考向1二项式系数的最值问题【例4】已知m为正整数,(x+y)2m的展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1的展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8解
8、题心得二项式系数最大项的确定方法(1)若n是偶数,则中间一项Tn2+1的二项式系数最大;(2)若n是奇数,则中间两项Tn+12与Tn+12+1的二项式系数相等并且最大.对点训练4在x+axn(a0)的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,且所有项的系数和为256,则含x6的项的系数为.考向2项的系数的最值问题【例5】已知(3x+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x-1)n的展开式的二项式系数和大992,则在2x-1x2n的展开式中,二项式系数最大的项为,系数的绝对值最大的项为.解题心得二项展开式系数最大项的求法如求(a+bx)n(a,bR)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设
9、展开式各项系数分别为A1,A2,An+1,且第k项系数最大,应用AkAk-1,AkAk+1,从而解得k.对点训练5x+ax5的展开式中各项系数的和为-1,则该展开式中系数最大的项为.考向3求二项展开式中系数的和【例6】若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+a8x8,则a0=,a0+a2+a8=.解题心得求二项展开式系数和的常用方法是赋值法:(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,bR)的式子,求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.(
10、2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+=f(1)+f(-1)2,偶数项系数之和为a1+a3+a5+=f(1)-f(-1)2.对点训练6已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7.求:(1)a1+a2+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|.考点二项式定理的应用(多考向探究)考向1利用二项式定理近似计算【例7】0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A.0.940B.0.941C.0.942D.0.943解题
11、心得由(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn,当x的绝对值与1相比很小且n很大时,x2,x3,xn等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计.对点训练71.028(小数点后保留三位小数).考向2利用二项式定理解决整除或余数问题【例8】设aZ且0a13,若512 012+a能被13整除,则a等于()A.0B.1C.11D.12解题心得用二项式定理处理整除问题,通常把幂的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再利用二项式定理展开,只考虑后面一、二项(或者是某些项)即可.对点训练81-90C101+902C102-903C103+(-1)k90kC10k
12、+9010C1010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.87在解决一些与正整数n有关的组合恒等式或不等式问题时,常利用构造法,通过构造不同的二项式,利用二项式的不同展开方法和二项式定理的相关知识来实现.【典例】求证:(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+(Cnn)2=(2n)!(n!)2.解题指导此题若直接证明相当困难.不难发现,(2n)!n!n!=C2nn,因而可以考虑利用组合的知识或二项式定理来解决.证明(方法1)构造等式(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n,则C2nn是二项式(1+x)2n中xn的系数,于是我们考虑(1+x)n(1+x)n中xn的系数.若第一个因式取常
13、数项x0,系数为Cn0,则第二个因式应取xn,系数为Cnn,此时xn的系数为Cn0Cnn=(Cn0)2;若xk取自第一个因式,其系数为Cnk,xn-k取自第二个因式,其系数为Cnn-k,此时(1+x)n(1+x)n的展开式中xn的系数为CnkCnn-k=(Cnk)2.所以(1+x)n(1+x)n中xn的系数为Cn0Cnn+Cn1Cnn-1+CnkCnn-k+CnnCn0=(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+(Cnn)2.所以(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+(Cnn)2=C2nn=(2n)!n!n!=(2n)!(n!)2.(方法2)构造组合模型如下:某班有2n名学生,现从中选出n
14、名学生参加某项活动.显然这样的选法有C2nn种选法.另一方面,将2n名学生分成A,B两组,从A组选出0名学生,从B组选出n名学生,有Cn0Cnn=(Cn0)2种选法,从A组选出1名学生,从B组选出(n-1)名学生,有Cn1Cnn-1=(Cn1)2种选法,从A组中选出n名学生,从B组中选出0名学生,有CnnCn0=(Cnn)2种选法.由分类加法计数原理得(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+(Cnn)2=C2nn=(2n)!(n!)2.解题心得上述两种方法都用到了“算两次”的思想,所谓“算两次”的思想,就是对同一个量,用两种不同的方法去计算,所得的结果相同.证明组合恒等式的关键在于构造二项式
15、,利用二项展开式中系数的关系得到相应的恒等式.有时取二项式中的字母为某些特殊值也可得到相应的组合等式,故在解题时要注意合理赋值.对点训练求证:Cn0Cn1+Cn1Cn2+Cnn-1Cnn=C2nn-1.9.4二项式定理必备知识预案自诊知识梳理1.(1)Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn(2)Tk+1=Cnkan-kbk(3)Cnk问题思考提示(a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.BTk+1=C5k(2x)k=C5k2kxk,当k=2时,x2的系数为C5222=4
16、0.3.B因为二项式系数之和2n=64,所以n=6.x+1xn的展开式的通项是Tk+1=C6kx6-k1xk=C6kx6-2k.根据题意,得当6-2k=0,即k=3时为常数项,T4=C63=20.4.B令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8.5.D关键能力学案突破例1(1)10(2)C(1)x+2x25=(x+2x-2)5,展开式通项Tk+1=C5kx5-k(2x-2)k=2kC5kx5-3k,令5-3k=2,得k=1.x2的系数为21C51=25=10.(2)(ax-1x)6的展开式的通项为Tk+1=C6
17、k(-1)ka6-kx6-k-k=C6k(-1)ka6-kx6-2k,令6-2k=0得k=3,可得常数项为C63(-1)3a3=-20a3=-20,得a=1.对点训练1(1)A(2)1(1)通项为Tk+1=C10k-x1210-k(x-1)k=(-1)10-kC10kx5-32k,由题意可知,5-32k=2,解得k=2.当k=2时,系数为(-1)8C102=45.故选A.(2)x-ax5的展开式的通项为Tk+1=C5kx5-k-axk=C5k(-a)kx5-32k.由5-32k=5,得k=0,由5-32k=2,得k=2,所以A=C50(-a)0=1,B=C52(-a)2=10a2,则由1+10
18、a2=11,解得a=1.例2(1)B(2)A(3)A(1)因为(1+x2)1-1x6=(1+x2)1-6x+15x2-20x3+15x4-6x5+1x6,故它的展开式中的常数项是1+15=16.故选B.(2)x+12x8的展开式的通项为Tk+1=C8k(x)8-k12xk=12kC8kx8-3k2,所以令8-3k2=-12,得k=3,此时含x12的项的系数为123C83a=7a,又令8-3k2=12,得k=73N*,舍去,所以含x12项的系数为7a,所以7a=21,得a=3.故选A.(3)(1-x)8(1+x)5=(1-x)3(1-x)(1+x)5=(1-x)3(1-x)5,(1-x)3的通项
19、为C3k1(-x)k1,其中k1=0,1,2,3.(1-x)5的通项为C5k2(-x)k2,其中k2=0,1,2,3,4,5.所以展开式中x2的系数是C30(-1)0C52(-1)2+C32(-1)2C51(-1)1=10-15=-5,故选A.对点训练2(1)B(2)25(1)(方法1)(1-x)6的展开式的通项为C6m(-x)m=C6m(-1)mxm2,(1+x)4的展开式的通项为C4n(x)n=C4nxn2.令m2+n2=1,得m+n=2,于是(1-x)6(1+x)4的展开式中x的系数等于C60(-1)0C42+C61(-1)1C41+C62(-1)2C40=-3.(方法2)(1-x)6(
20、1+x)4=(1-x)(1+x)4(1-x)2=(1-x)4(1-2x+x).于是(1-x)6(1+x)4的展开式中x的系数为C401+C41(-1)11=-3.(2)(ax+1)6的展开式中含x2的项的系数为C64a2,含x的项的系数为C65a,由(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2的项的系数为0,可得-C64a2+C65a=0,因为a为正实数,所以15a=6,所以a=25.例3(1)6322(2)-8(1)原式=x2+22x+22x5=132x5(x+2)25=132x5(x+2)10.求原展开式中的常数项,转化为求(x+2)10的展开式中含x5的项的系数,即C105(2)5.所以所求
21、的常数项为C105(2)532=6322.(2)由题意知,(x2-x-2)4=(x-2)4(x+1)4,(x-2)4的通项为Tk1+1=C4k1x4-k1(-2)k1,(x+1)4的通项为Tk2+1=C4k2x4-k21k2,当k1=2,k2=4时,系数为24;当k1=3,k2=3时,系数为-128;当k1=4,k2=2时,系数为96.所以x2的系数为24-128+96=-8.故答案为-8.对点训练3(1)C(2)19(1)(方法1)(x2+x+y)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(x2+x)5-ryr,令r=2,则T3=C52(x2+x)3y2,又因为(x2+x)3的展开式的通项为Tk+1
22、=C3k(x2)3-kxk=C3kx6-k,令6-k=5,则k=1,所以(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为C52C31=30.(方法2)(x2+x+y)5表示5个x2+x+y之积.所以x5y2可从其中5个因式中,两个取x2,剩余的3个因式中一个取x,其余因式取y,因此x5y2的系数为C52C31C22=30.(2)由于x2=x2(x)0,x2=x(x)2,x2=x0(x)4,据此结合排列、组合的性质可得x2的系数为C42C20C22+C41C32C11+C40C44C00=6+12+1=19.故答案为19.例4B由题意可知,a=C2mm,b=C2m+1m.13a=7b,13(2m)
23、!m!m!=7(2m+1)!m!(m+1)!,即137=2m+1m+1,解得m=6.故选B.对点训练48因为只有第5项的二项式系数最大,所以n=8.因为所有项的系数和为256,所以(1+a)8=256,所以a=1.x+1x8的通项为Tk+1=C8kx8-k1xk=C8kx8-2k,令8-2k=6,所以k=1.所以含x6的项的系数为C81=8.故答案为8.例5-8 064-15 360x4由题意知,22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,故2n=32,解得n=5.由二项式系数的性质知,2x-1x10的展开式中第6项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项为T6=C105(2x)5
24、-1x5=-8064.设第k+1项的系数的绝对值最大,则Tk+1=C10k(2x)10-k-1xk=(-1)kC10k210-kx10-2k,令C10k210-kC10k-1210-k+1,C10k210-kC10k+1210-k-1,得C10k2C10k-1,2C10kC10k+1,即11-k2k,2(k+1)10-k,解得83k113.因为kZ,所以k=3.故系数的绝对值最大的项是第4项,T4=-C10327x4=-15360x4.对点训练580x-3由题得(1+a)5=-1,a=-2.(x-2x)5的展开式的通项为Tk+1=C5kx5-k-2xk=C5k(-2)kx5-2k,所以当k=4
25、时,其项的系数最大,且为C54(-2)4x-3=80x-3,故答案为80x-3.例6-27-940令x=0,得(-3)315=a0,所以a0=-27.令x=1,得(-2)335=a0+a1+a2+a8,令x=-1,得43=a0-a1+a2-+a8,两式相加得2(a0+a2+a8)=-1880,所以a0+a2+a8=-940.对点训练6解令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.(1)a0=C70=1,a1+a2+a3+a7=-2.(2)(-)2,得a1+a3+a5+a7=-1-372=-1094.(3)
26、(+)2,得a0+a2+a4+a6=-1+372=1093.(4)(方法1)在(1-2x)7的展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1093-(-1094)=2187.(方法2)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|即为(1+2x)7展开式中各项的系数和,令x=1,则|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=37=2187.例7C(0.99)6=(1-0.01)6=C601-C610.01+C62(0.01)2-=1-0.06+0.0015-0.942.故选C.对点训
27、练71.1721.028=(1+0.02)8=1+C810.02+C820.022+C830.023+1.172.例8D512012+a=(52-1)2012+a=C20120522012-C20121522011+C2012201152(-1)2011+C20122012(-1)2012+a,C20120522012-C20121522011+C2012201152(-1)2011能被13整除且512012+a能被13整除,C20122012(-1)2012+a=1+a也能被13整除,因此a的值为12.对点训练8B由题意1-90C101+902C102-903C103+(-1)k90kC10
28、k+9010C1010=(1-90)10=8910=(1+88)10=C100+C10188+C102882+C10108810=1+C10188+C102882+C10108810,所以除以88的余数为1.素养提升微专题12构造法在解决二项式定理问题中的应用对点训练证明(1+x)2n的展开式中xn-1的系数为C2nn-1.又(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n=(Cn0+Cn1x+Cnnxn)(Cn0+Cn1x+Cnnxn),则等式右边整理后xn-1的系数为Cn0Cnn-1+Cn1Cnn-2+Cnn-1Cn0=Cn0Cn1+Cn1Cn2+Cnn-1Cnn.两种形式下的展开式中xn-1的系数应该相等,Cn0Cn1+Cn1Cn2+Cnn-1Cnn=C2nn-1.
