1、专题三十九 直接证明与间接证明【高频考点解读】1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点【热点题型】题型一 直接证明例1、若P，Q(a0)，则P，Q的大小关系为()APQBPQCP2，求证：2与0，证明 a2.【证明】要证 a2，只需证 (2)因为a0，所以(2)0，所以只需证22，即2(2)84，只需证a2.因为a0，a2显然成立，所以要证的不等式成立【提分秘籍】 分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用到的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是
2、含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法，注意用分析法证题时，一定要严格按照格式书写【举一反三】已知非零向量a，b，且ab，求证：.【高考风向标】 1（2014山东卷） 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A. 方程x2axb0没有实根 B. 方程x2axb0至多有一个实根 C. 方程x2axb0至多有两个实根 D. 方程x2axb0恰好有两个实根【答案】A【解析】 “方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”故选A.2（2013北京卷
3、）已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn.(1)若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dnd(n1，2，3，)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(3)证明：若a12，dn1(n1，2，3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. 【随堂巩固】 1用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()Aa，b，c中至少有两个偶数Ba，b， c中至少有两个偶
4、数或都是奇数Ca，b，c都是奇数D a，b，c都是偶数解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”答案：B2若x，yR，则下面四个式子中恒成立的是()Alog2(12x2)0Bx2y22(xy1)Cx23xy2y2 D. 3分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证 a”索的因应是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0 4已知函数yf(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2D(x1x2)，都有f，则称yf(x)为D上的凹函数由此可得下列函数中为凹函数的是()Aylog2x ByCyx2 Dyx3解析：可以根据图象直观观察，对于
5、C证明如下： 5不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数()A成等比数列而非等差数列B成等差数列而非等比数列C既成等差数列又成等比数列D既非等差数列又非等比数列 6设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，若x1x20，则f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值D无法确定正负解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1x20，可知x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则f(x1)f(x2)0，故选A.答案：A7某同学准备
6、用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|.那么他的反设应该是_答案：“x1，x20,1，使得|f(x1)f(x2) |100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25. 11已知m0，a，bR，求证：2.证明：(分析法)m0，1m0.要证原不等式成立，只需证明(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立故原不等式得证12(1)设x1，y1，证明xyxy；(2)设1abc，证明logablo
7、gbclogcalogbalogcblogac. 13已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根证明：假设三个方程都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.上述三个式子相加得：a22abb2b22bcc2c22aca20.即(ab)2(bc)2(ca)20.由已知a，b，c是互不相等的非零实数上式“”不能同时成立，即(ab)2(bc)2(ca)20，与事实不符，假设不成立，原结论成立即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根14在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，试问A，B，C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由若成等差数列，请给出证明
