1、高三数学参考答案第 1页(共 5 页)福建师大附中 2020-2021 学年上学期期中考试高三数学参考答案一、单项选择题题号12345678910答案CABCABDBDC二、多项选择题题号11121314答案ACDADABDACD三、填空题15.3416.217.218.1019.220.116，10011(1)3 2四、解答题21.(12 分)解：选：当 n 为奇数时，14 1281113212nnnS，显然nS 随着 n 的增大而减小，所以此时nS 的最大值为14S；当 n 为偶数时，14 1281113212nnnS，且81814323nnS，综上，nS 存在最大值，且最大值为 4选：法
2、一：112541666nann ，由125066n，得25n，所以nS 存在最大值，且最大值为25S或24S，求得2525 2414255026S.法二：211149240142612248nn nSnn ，所以当24n 或25n 时nS 取得最大值，且最大值为 50高三数学参考答案第 2页(共 5 页)选：因为18nnaan，所以18nnaan ，所以217aa ，326aa ，19nnaan，所以2111221791171622nnnnnnnnnaaaaaaaa ，又14a，所以217242nnna，当16n 时，0na，故nS 不存在最大值22.(12 分)解：(1)由点 C3 1(,)
3、22在单位圆上，可知30AOC，故60COD；在 ODB中，1OD,120ODB,2DB；由余弦定理得，2222cos120OBODDBOD DB；解得7OB；(2)设()62COD,23DOE1 sin2CODS，12sin()23EODS四边形OCDE 的面积 S =EODS+112sinsin()223CODS131333sincossin=sincos=sin2224426又 62，故2+363;当+=62，即=3时，四边形OCDE 的面积 S 的最大值为32.23.(12 分)解：法一：(1)当点 N 为棱 BC 的中点时，符合题目要求，证明如下：分别连结 NH，ND.在 HNC中，
4、222cos33NHNCCHNC CH所以222HCNCHN，因此2HNC，即 NHBC，因为D 在底面上的投影 H 恰为 CD 的中点，所以 D H 平面 ABCD，又 BC 平面 ABCD，所以 D HBC，又 NHBC，D HNHH，,D H NH 平面 D HN,所以 BC 平面 D HN,因此，点 N 即为所求，平面 D HN即为.E高三数学参考答案第 3页(共 5 页)(2)存在满足条件的点 P，且 P 的位置与 C重合.证明如下：由(1)知可得 HNBC,/HNDB,/ADBC，所以 ADBD,分别以,DA DB 为,x y 轴的正方向，以过 D 点垂直于平面 ABCD 的方向为
5、 z 轴，建立空间 直 角 坐 标 系 Dxyz，2 3HD，(0,0,0)D，(1,3,0)H，(0,2 3,0)B，(1,3,2 3)D，(2,2 3,0)C，(3,3 3,2 3)C，设(2,2 3,0)(2,2 3,0)D PD C 易得平面 AHB 的一个法向量为(0,0,1)m(1,3,0),(0,0,2 3)HBHD，(2,2 3,2 3)HPHDD P 设(,)nx y z为平面 PBH 的一个法向量，则：00n HBn HP，即得3022 32 30 xyxyz，令3x，得(3,1,2)n，因为二面角 PBHA为 34，所以3|cos,|cos|4m n，即|2|2m nmn
6、，所以2|2|224+4，又因为二面角 PBHA的大小为钝角，故=1.解法二：(1)当点 N 为棱 BC 的中点时，符合题目要求，证明如下：分别连结 NH，ND，BH.因为D 在底面上的投影 H 恰为 CD 的中点，所以 D H 平面 ABCD，又 BC 平面 ABCD，所以 D HBC.在 HBC中，2,3HCBCHCB,故 HBC为等边三角形，又 点 N 为 棱 BC 的 中 点，所 以 NHBC，又 D HBC，D HNHH，,D H NH 平面 D HN,所以 BC 平面 D HN,故，点 N 即为所求，平面 D HN即为.高三数学参考答案第 4页(共 5 页)(2)证明：连结 HA，
7、在平行四边形 ABCD 中，因为22,33ADDHHCBCHCBADH,所以,63DHABHC，故2AHB，即 HAHB,分别以,HA HB HD 为,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Hxyz，2 3HD，(0,0,0)H，(2 3,0,0)A，(0,2,0)B，(0,0,2 3)D，(2 3,2,2 3)C，(2 3,2,0)(2 3,2,0)D PD C 易得平面 AHB 的一个法向量为(0,0,1)m 设(,)nx y z为平面 PBH 的一个法向量，则：00n HBn HP，即202 322 30yxyz，令1x，得(1,0,)n，因为二面角 PBHA为 34，所以3|cos
8、,|cos|4m n，即|2|2m nmn，所以2|221+，又因为二面角 PBHA的大小为钝角，解得=1.24.(14 分)(1)22lnF xxxa xax，定义域为0,.222xaxaFxx21xaxx，02a即0a 时，F x 在0,1 上递减，F x 在1,上递增，012a 即 20a 时，F x 在 0,2a和1,上递增，在,12a上递减，12a即2a 时，F x 在0,上递增.高三数学参考答案第 5页(共 5 页)12a即2a 时，F x 在0,1 和,2a上递增，F x 在 1,2a上递减，(2)设 sin2cosxh xaxx0 x，则 212cos2cosxhxax，设costx，则1,1t ，2122ttt，42212tttt32102tt，t在1,1上递增，t的值域为11,3，当13a 时，0hx，h x 为0,上的增函数，00h xh，适合条件.当0a 时，10222ha，不适合条件.当103a时，对于02x，sin3xh xax，令 sin3xT xax，cos3xTxa，存在00,2x，使得00,xx时，0Tx，T x 在00,x上单调递减，000T xT，即在00,xx时，0h x，不适合条件.综上，a 的取值范围为 1,3.
