1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质三维目标1.知识与技能(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题(2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题2过程与方法通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质3情感、态度与价值观通过“杨辉三角”的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识重点、难点重点：二项式系数的性质难点：杨辉三角的结构第一课时【问题导思】(1)观察“杨辉三角”发现规律第一行中各数之和为多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？第4行中3与第2行各数之间什么关系？第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？由此你能得出
2、怎样的结论？【提示】(1)20,21,22,23,24，第n行各数之和为2n1.211,321,413,633，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，设C表示任一不为1的数，则它“肩上”两数分别为C，C，所以CCC.1杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.2二项式系数的性质(1)对称性：在(ab)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC，CC，CC.(2)增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且
3、在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Cn，Cn相等，且同时取得最大值3二项式系数的和(1)CCCC2n. (2)CCCCCC2n1.图131例1如图131所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，记其前n项和为Sn，求S16的值【思路探究】观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可【自主解答】由题意及杨辉三角的特点可得：S16(12)(33)(64)(105)(369)(CC)(CC)(CC)(CC)(CCCC)(239)C164.解决
4、与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律(2)表达：将发现的规律用数学式子表达(3)结论：由数学表达式得出结论本例条件不变，若改为求S21，则结果如何？【解】S21(12)(33)(64)(5511)66(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(2311)C28665351.第二课时例1：设(12x)2 012a0a1xa2x2a2 012x2 012(xR)(1)求a0a1a2a2 012的值(2)求a1a3a5a2 011的值(3)求|a0|a1|a2|a2 012|的值【思路探究】先观察所要求的式子与展开式各项的
5、特点，用赋值法求解【自主解答】(1)令x1，得a0a1a2a2 012(1)2 0121.(2)令x1，得a0a1a2a2 01232 012.得2(a1a3a2 011)132 012，a1a3a5a2 011.(3)Tr1C(2x)r(1)rC(2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN)|a0|a1|a2|a3|a2 012|a0a1a2a3a2 01232 012.1本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式2“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x0
6、可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差例2：已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7，a0a2a4a6.【解】(1)(12x)7a0a1xa2x2a7x7，令x1，得a0a1a2a71，令x0，得a01，a1a2a72.(2)令x1，得a0a1a2a3a6a7372187，由、得a1a3a5a71 094，a0a2a4a61 093.例3已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项【思路探究】求二项式系数最大的
7、项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“”、“”号【自主解答】令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)，或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是假设Tr1项系数最大，则有r，rN，r4.小结：1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2
8、求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得练习：求(12x)7的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项【解】在二项式系数C，C，C，C中，最大的是C与C，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T4C(2x)3280x3与T5C(2x)4560x4.设第r1项的系数最大，则由由于r是整数，故r5，所以系数最大的是第6项，即T6C(2x)5672x5.第三课时例4已知(2x1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则CCCC的值为()A28B281C27D271【错解】设(2x1)na0a1xa2x2an
9、xn，令Aa1a3a5，Ba0a2a4，由题意知BA38.令x1得a0a1a2a3an(1)n(3)n，(a0a2)(a1a3)(3)nBA(3)n38，n8.由二项式系数性质可得，aaC2n28【答案】A【错因分析】误将CCC看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了C.【防范措施】(1)解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误(2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值【正解】设(2x1)na0a1xa2x2anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则Aa1a3a5，Ba0a2a4a6.由已知可知：B
10、A38.令x1，得：a0a1a2a3an(1)n(3)n，即：(a0a2a4a6) (a1a3a5a7)(3)n，即：BA(3)n.(3)n38(3)8，n8.由二项式系数性质可得：CCCC2nC281.【答案】B二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察归纳猜想证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：对称性应用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想1(ab)7的各二项式系数的最大值为()A21 B35 C34 D70【答案】B2在(ab)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是()A第1
11、5项 B第16项C第17项 D第18项【解析】由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项【答案】B3(12x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第_项【解析】(12x)2n的展开式中共有2n1项，中间一项的系数最大，即第n1项【答案】n14已知(12x3x2)7a0a1xa2x2a13x13a14x14，试求：(1)a0a1a2a14；(2)a1a3a5a13.【解】(1)在已知等式中令x1，则得：a0a1a2a13a1427128.(2)在已知等式中令x1，则得：a0a1a2a3a13a1467.得：2(a1a3a5a13)2767279 808.因此，a1a3a5a13139 904.
