1、2.8函数与方程必备知识预案自诊知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x),我们把使的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有函数y=f(x)的图象与有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系函数y=ax2+bx+c(a0)0=00图象与x轴的交点无交点零点个数3.二分法函数y=f(x)的图象在区间a,b上连续不断,且,通过不断地把它的零点所在区间,使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1
2、.若y=f(x)在闭区间a,b上的图象连续不断,且有f(a)f(b)0,则函数y=f(x)一定有零点.2.f(a)f(b)0是y=f(x)在闭区间a,b上有零点的充分不必要条件.3.若函数f(x)在a,b上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,则f(a)f(b)0函数f(x)在区间a,b上有且只有一个零点.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).()(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点.()(3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)已知函数f(x)在(a
3、,b)内图象连续且单调,若f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点.()(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个.()2.函数y=x2-2x+m无零点,则m的取值范围为()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)3.(2020山东济南二模,2)函数f(x)=x3+x-4的零点所在的区间为()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)4.方程2x+3x=k的解都在1,2)内,则k的取值范围为()A.5,10)B.(5,10C.5,10D.(5,10)5.(2020天津和平区一模)已知x表示不超过实数x的最大整数,g(x)=x为取整函数
4、,x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则g(x0)=.关键能力学案突破考点判断函数零点所在的区间【例1】(1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(k,k+1)(kN),则k的值为()x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A.-1B.0C.1D.2(2)设定义域为(0,+)内的单调函数f(x),对任意的x(0,+),都有ff(x)-ln x=e+1,若x0是方程f(x)-f(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是()A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)解题心得判
5、断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,然后看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)-2x的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)如图是二次函数f(x)=x2-
6、bx+a的部分图象,则g(x)=ex+f(x)的零点所在的大致区间是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)考点判断函数零点的个数【例2】(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x-1,0时,f(x)=-x,则函数F(x)=f(x)+x+41-2x在区间-9,10上零点的个数为()A.10B.12C.18D.20解题心得判断函数零点个数的方法:(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个
7、零点.(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图象在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图象连续不断的函数f(x)的定义域为R,且f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间-1,1上恰有5个零点,则f(x)在区间0,2 020上的零点个数为()A.5 050B.4 041C.4 040D.2 020(2)
8、已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x0,+),满足f(x+2)=f(x),若当x0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间-2,4上的零点个数为.考点函数零点的应用(多考向探究)考向1已知函数零点所在区间求参数【例3】(1)(2020山东烟台模拟,6)函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)(2)(2020湖南湘潭三模,理16)已知函数f(x)=2x(x2+m),0x1,2x+1-x2-m,-1x0,若关于x的方程f(x)2-2af(x)+3a=0有6个不相等
9、的实数根,则实数a的取值范围为()A.3,165B.3,165C.(3,4)D.(3,4(2)(2020四川成都七中三模,文16)若指数函数y=ax(a0,且a1)与一次函数y=x的图象恰好有两个不同的交点,则实数a的取值范围是.解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数f(x)=x3-2x
10、,x0,-lnx,x0,若函数g(x)=f(x)-x-a有3个零点,则实数a的取值范围是()A.0,2)B.0,1)C.(-,2D.(-,1(2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f(x)是定义在R上的偶函数,xR都有f(2-x)=f(2+x),且当x0,2时,f(x)=2x-2.若函数g(x)=f(x)-loga(x+1)(a0,a1)在区间(-1,9内恰有三个不同零点,则实数a的取值范围是.2.8函数与方程必备知识预案自诊知识梳理1.(1)f(x)=0(2)零点x轴2.(x1,0),(x2,0)(x1,0)2103.f(a)f(b)0一分为二零点考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)
11、2.C由=(-2)2-4m1,故选C.3.C易知函数f(x)=x3+x-4在R上单调递增,因f(0)=-40,f(1)=-20,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C.4.A令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)f(2)0,即(5-k)(10-k)0,解得5k10.当f(1)=0时,k=5,故选A.5.2函数f(x)=lnx+x-4在定义域(0,+)上单调递增,且其图象是连续不断的,f(e)=1+e-40,函数的零点所在的区间为(e,3),g(x0)=x0=2.关键能力学案突破例1(1)C(2)D(1)令f(x)=ex-x-
12、2,由表格知f(1)0,所以方程ex-x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C.(2)令f(x)-lnx=k,则f(x)=lnx+k.由ff(x)-lnx=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.故f(x)=lnx+e,所以f(x)=1x,x0.所以f(x)-f(x)=lnx-1x+e.令g(x)=lnx-1x+e-e=lnx-1x,x(0,+).因为g(x)=lnx-1x在(0,+)内的图象是连续的,且g(1)=-10,所以存在x0(1,e),使g(x0)=0.故选D.对点训练1(1)B(2)B(1)f(1)=ln2-2lne-1=0,即
13、f(1)f(2)0,函数f(x)的零点在区间(1,2)上.故选B.(2)由图象知12b21,得1b2,f(x)=2x-b,所以g(x)=ex+f(x)=ex+2x-b,由g(0)=1-b0,所以g(0)g(1)0,则g(x)的零点在区间(0,1)上,故选B.例2(1)B(2)A(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=12x.令g(x)=|log0.5x|,h(x)=12x,画出g(x),h(x)的图象如图所示.因为两个函数的图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.(2)求F(x)在
14、-9,10上零点的个数,等价于f(x)与g(x)=-x+41-2x的图象在-9,10上交点的个数,f(x)为偶函数,且当x-1,0时,f(x)=-x,当x0,1时,f(x)=x,又f(1+x)=f(1-x),f(x+2)=f(x+1)+1=f(1-1-x)=f(-x)=f(x),即f(x)的周期为2,g(x)=-x+41-2x=x+42x-1=12+94(x-12),g(x)的图象关于点12,12对称,作出f(x)与g(x)在12,10上的函数图象如图所示,由图象可知f(x)与g(x)在12,10上有5个交点,根据对称性可知在-9,12上也有5个交点,故选A.对点训练2(1)B(2)7(1)由
15、f(x)是定义域为R的奇函数,得f(0)=0,由f(x)的周期为2,得f(0)=f(2)=f(2020)=0,由y=|f(x)|是偶函数,得其图象关于y轴对称,由y=|f(x)|在-1,1上恰有5个零点,则y=|f(x)|在-1,0)和(0,1上各有两个零点,因f(x)的周期为2,所以y=|f(x)|的周期为1,所以y=|f(x)|在(1,2上也有两个零点,同理在(2,3,(2019,2020上各有两个零点.因为函数|f(x)|的图象是由f(x)的图象关于x轴对称到x轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f(x)在区间0,2020上的零点个数为1+20202=4041.(2)由题意作出y=f(x
16、)在区间-2,4上的图象,如图所示,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间-2,4上的零点个数为7.例3(1)C(2)m-1m-12,或m=1(1)函数f(x)=2x-2x-a在区间(1,2)内连续,因为f(x)的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)f(2)0,即(2-2-a)(4-1-a)0,解得0a3,故选C.(2)当0x1时,由f(x)=1,得2x(x2+m)=1,即12x=x2+m;当-1x0时,由f(x)=1,得2x+1-x2-m=1,即2x+1-1=x2+m.设g(x)=(12)x,0x1,2x+1-1,-1x0,h(x)=x2+m,则问题转化为g(x)与
17、h(x)=x2+m的图象在-1,1上只有一个交点.画出g(x)与h(x)在-1,1上的图象如图所示,结合图象可知,当h(0)=1,即m=1时,两个函数的图象只有一个交点;当h(1)g(1),h(-1)g(-1),解得-1m-12时,两个函数的图象只有一个交点,故所求实数m的取值范围是m-1m-12,或m=1.对点训练3(1)A(2)-14,2(1)由f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,可得f(-1)f(1)0,即(-3a+3)(a+3)2,要使关于x的方程f(x)2-2af(x)+3a=0有6个不相等的实数根,则t2-2at+3a=0有两个不同的根t1,t2(2,4,
18、设g(t)=t2-2at+3a由根的分布可知,=4a2-12a0,2a0,g(4)0,解得3a165.故选B.(2)由题意,ax=x,两边取对数得,xlna=lnx,所以lna=lnxx,设y=lnxx,则y=1-lnxx2,故y=lnxx在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以当x=e时,得ymax=1e,所以当0lna0得x1(舍去),此时h(x)单调递增.由h(x)0得-1x1,x0,-1x0时,h(x)=f(x)-x=-lnx-x单调递减,作出函数h(x)的图象如图所示,要使a=h(x)有3个根,则0a0,且a1).函数y=f(x)和y=loga(x+1)的图象在区间(-1,9内有3个不同的公共点.作函数f(x)与y=loga(x+1)在(-1,9上的图象如下,当a1时,loga(2+1)2,解得3a7.当0a-1,loga(8+1)-1,解得19a15.故实数a的取值范围为19,15(3,7).
