1、32.3直线与平面的夹角1.了解最小角定理的推证方法2.理解斜线和平面所成角的定义3.掌握直线和平面所成角的求法1最小角定理2直线与平面所成的角1一条直线与平面所成的角为30，则它和平面内所有直线所成的角中最小的角为()A30B60C90D150答案：A2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则直线l与平面所成的角为()A30 B60 C120 D150答案：A用定义法求斜线和平面的夹角如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角【解】连接BC1交B1C于O点，连接A1O.设正方体棱长为a.易证BC1平面A1B1CD，所以A1O为
2、A1B在面A1B1CD上的射影，所以BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角在RtA1BO中，A1Ba，OBa，所以sinBA1O，所以BA1O30.即A1B和平面A1B1CD所成的角为30.所谓定义法是指将求斜线与平面的夹角转化为斜线与其在平面内射影的夹角，此种方法的关键是确定斜线在平面内的射影找射影有以下两种方法： (1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上，故找到斜线上任一点在平面内的射影，连斜足和垂足即得；(2)利用已知垂直关系得出线面垂直，连接斜足和垂足即得 在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值解：如图，过A、E分别作AO
3、平面BCD，EG平面BCD，O、G为垂足所以AO2GE，AO、GE确定平面AOD，连接GC，则ECG为CE和平面BCD所成的角因为ABACAD，所以OBOCOD.因为BCD是正三角形，所以O为BCD的中心，连接OD并延长交BC于F，则F为BC的中点令正四面体棱长为1，可求得CE，DF，OD，AO，所以EG，在RtECG中，sinECG.用向量法求线与面的夹角如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值【解】(1)证明：由已知得AMAD2.取BP
4、的中点T，连接AT，TN.由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TNAM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE .以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C，N，(0，2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0，2，1)于是|cosn，|，则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系；
5、(2)求直线的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为，则sin .如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DEAE.求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值解：如图所示，设O是AC的中点，,以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1，则AB2，相关各点的坐标分别是A(0，1，0)，B(，0，0)，C1(0，1，)，D(，)易知(，1，0)，(0，2，)，(，)设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，z)，则有，解得xy，zy，故可取n(1，)所以，cosn，由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为直线与平面夹角的求法
6、(1) (2)向量法若直线AB与平面的夹角为，平面的法向量为n，直线AB与向量n所在直线的夹角为，则，利用向量的夹角公式求出cos ，再根据sin cos 求出.(3)利用公式cos cos 1cos 2求解直线的方向向量与平面的法向量所成的锐角与线面角是互余关系.1平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为()A30 B60C45 D120解析：选B由题意知：设线面角为，所以cos ，所以60，故选B2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60C30 D以上均错答案：C3若平面的一个法向量为n(3，3，0)，直
7、线l的一个方向向量为b(1，1，1)，则l与所成角的余弦值为_解析：由cosn，b，知l与所成角的余弦值为 .答案：A基础达标1平面的斜线l与它在这个平面上射影l的方向向量分别为a(1，0，1)，b(0，1，1)，则斜线l与平面所成的角为()A30B45C60 D90解析：选C因为直线与平面所成角的范围是，所以l与所成的角为a与b所成的角(或其补角)，因为cosa，b，所以a，b60.2若PA，PB，PC为不在同一个平面内的三条射线，且APBBPCCPA60，则PA与平面PBC所成角的余弦值为()A BC D解析：选C利用公式cos cos 1cos 2求解关键在于确定PA在平面PBC内的射影
8、，如图，设MPA，作MH平面BPC于H，连接PH.则APH就是PA与平面PBC所成的角易知PH是BPC的平分线，由公式，得cos APCcos APHcos HPC，所以cos APH.3正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A BC D解析：选DBB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体棱长为a，则cosDD1H，故选D4AB平面于B，BC为AC在内的射影，CD在内，
9、若ACD60，BCD45，则AC和平面所成的角为()A90 B60C45 D30解析：选C设AC和平面所成的角为，则cos 60cos cos 45，故cos ，所以45.5.如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAADAB2BC，M、N分别为PC、PB的中点，则BD与平面ADMN所成的角为()A30 B60C120 D150解析：选A如图所示，建立空间直角坐标系，设BC1，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，则N(1，0，1)，所以(2，2，0)，(0，2，0)，(1，0，1)，设平面ADMN的一个法向量
10、为n(x，y，z)，则由得，取x1，则z1，所以n(1，0，1)因为cos，n，又090，所以sin |cos，n|.所以30.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD1与平面A1B1C1D1所成角的正切值为_解析：连接B1D1，所以B1D1为BD1在平面A1B1C1D1内的射影，所以BD1B1为BD1与平面A1B1C1D1所成的角，设正方体棱长为a，则tanBD1B1.答案：7已知平面的一个法向量为n(1，1，0)，则y轴与平面所成的角的大小为_解析：y轴的一个方向向量s(0，1，0)，cosn，s，即y轴与平面所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.答案：8已知空间四边形ABCD各边和对
11、角线的长都相等，那么AC与平面BCD所成角的正弦值为_解析：过A作面BCD的垂线，垂足为O，则O为BCD的中心，连接CO(图略)设棱长为1，则CO，所以cosACO，sinACO.答案：9已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心BADBAA1DAA160，AA1a.求证：A1O平面ABCD.证明：因为菱形ABCD的边长为a，且BAD60，所以AC为BAD的平分线，且AOa，又A1ABA1AD，所以A1A在平面ABCD上的射影为AC，记A1AC.则cos .所以A1Acos aaAO，所以A1OA90，又因为A1BA1D，所以在A1BD中A1OBD.所
12、以A1O平面ABCD.10正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0), A1(0，0，a)，C1(a，a)，(0，a，0)，(0，0，a)，设侧面ABB1A1的法向量n(，x，y)，所以n0且n0.所以ax0且ay0.所以xy0.故n(，0，0)所以cos，n.所以|cos，n|.所以AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.B能力提升11正方体ABCDA1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A BC D解析：选C以D为原点，DA、D
13、C、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，令AB2，则A(2，0，0)，O(1，2，1)，所以(1，2，1)又(0，0，2)为平面ABCD的法向量，设AO与平面ABCD所成角为.则sin |cos，|.12等腰RtABC的斜边AB在平面内，若AC与成30角，则斜边上的中线CM与平面所成角的大小为_解析：如图，作CO，则CAO30，设ACBC1，则OC，AB，因为CMAB，所以sinOMC.又OMC为锐角，所以OMC45.答案：4513已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点E、F、G、H分别在棱CC1、DD1、BB1、BC上，且CECC1，DFBGDD1，BHBC
14、.求AH与平面AFEG所成角的正弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0，0，1)，A(0，4，0)，F(4，4，1)，E(4，0，2)，H(2，0，0)，(4，4，1)(0，4，0)(4，0，1)，(0，0，1)(0，4，0)(0，4，1)，(2，0，0)(0，4，0)(2，4，0)设n(x，y，z)是平面AFEG的一个法向量，则令x1，则z4，y1，即n(1，1，4)，设AH与平面AFEG所成的角为，则sin |cos，n|.所以AH与平面AFEG所成角的正弦值为.14(选做题)如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点(1)证明：PEBC；(2)若APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1，0，0)，B(0，1，0)(1)证明：设C(m，0，0)，P(0，0，n)，(m0)，则D(0，m，0)，E.可得，(m，1，0)因为00，所以PEBC.(2)由已知条件可得m，n1，故C，D，E，P(0，0，1)设n(x，y，z)为平面PEH的法向量，由即因此可以取n(1，0)由(1，0，1)可得|cos，n|，所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.
