1、吉林省长春市2020届高三数学质量监测（四模考试）试题 文（含解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】由解得，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2. 若（），则（ ）A. 0或2B. 0C. 1或2D. 1【答案】A【解析】【分析】利用复数的模的运算列方程，解方程求得的值.【详解】由于（），所以，解得或.故选：A【点睛】本小题主要考查复数模的运
2、算，属于基础题.3. 下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为，在上为减函数.A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.B选项，的定义域为，不符合.C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.D选项，的定义域为，不符合.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.4. 已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项.【详解】由于
3、等差数列中，所以，化简得，所以为.故选：A【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.5. 若单位向量、夹角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用平面数量积的定义和运算性质计算出的值，进而可得出的值.【详解】由于位向量、夹角为，则，因此，.故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题.6. 普通高中数学课程标准（2017版）提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述
4、正确的是（ ）A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲【答案】D【解析】分析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项，甲的数据分析分，乙的数据分析分，甲低于乙，故A选项错误.对于B选项，甲的建模素养分，乙的建模素养分，甲低于乙，故B选项错误.对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理分，不是最差，故C选项错误.对于D选项，甲的总得分分，乙的总得分分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.7. 命题：存在实
5、数，对任意实数，使得恒成立；：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别判断命题和的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.【详解】对于命题，由于，所以命题为真命题.对于命题，由于，由解得，且，所以是奇函数，故为真命题.所以为真命题. 、都是假命题.故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.8. 已知函数，则函数的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】对分两种情况求方程的根的个数即得解.【详解】当时，或，都满足；当时，所以方程
6、没有实数根.综合得函数的零点个数是2.故选：B【点睛】本题主要考查函数的零点的个数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9. 已知为锐角，且，则角（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对先化切为弦，再利用和角差角的正余弦公式化简即得解.【详解】由题得为锐角，.因为为锐角，.故选：C【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系和和角差角的正余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运
7、用点到直线的距离公式和弦长公式，可得，的关系，即可得到所求的离心率【详解】双曲线的一条渐近线方程设为，由题得圆的圆心为，半径，可得圆心到渐近线的距离为，则，化为，所以，故选：【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题11. 已知数列的前项和为，且，（），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题得再利用累乘法求出，即得.【详解】由题得（）所以（）由题得，所以（）.所以所以.所以.故选：B【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列前项和与的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12. 在正方体中，点，分别为棱，的
8、中点，给出下列命题：；平面；和成角为.正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【详解】设正方体边长为，建立空间直角坐标系如下图所示，.，所以，故正确.，不存在实数使，故不成立，故错误.，故平面不成立，故错误.，设和成角为，则，由于，所以，故正确.综上所述，正确的命题有个.故选：C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 若满足约束条件，则的最大值为_【答案】4【解析】【详解】作出可行域如
9、图所示：由，解得.目标函数，即为，平移斜率为-1的直线，经过点时，.14. 曲线在处的切线与直线垂直，则_.【答案】1【解析】【分析】先求出切线的斜率解方程即得解.【详解】由题得所以.故答案为：1【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查两直线垂直的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 在半径为2的圆上有，两点，且，在该圆上任取一点，则使得为锐角三角形的概率为_.【答案】【解析】【分析】如图，当点P在劣弧CD上运动时，为锐角三角形.求出劣弧CD的长，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】如图，四边形ABCD是矩形，当点P在劣弧CD上运动时，为锐角三角形.由于OD=OC=CD=2，所
10、以, 所以劣弧CD的长为，由几何概型的概率公式得.故答案为：【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16. 三棱锥的顶点都在同一个球面上，满足过球心，且，则三棱锥体积的最大值为_；三棱锥体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由于是球的直径，故当时，三棱锥体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥体积最大时，等边三角形的外接圆半径，由此求得等边三角形的外接圆的面积，也即求得平面截球所得的截面圆的面积.【详解】依题意可知，是球的直径，所以当，即时，三棱锥体积取得最大值为.此时，即三角形是等边三角形，设
11、其外接圆半径为，由正弦定理得，所以等边三角形的外接圆的面积，也即平面截球所得的截面圆的面积为.故答案为：(1). (2). 【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查球的截面面积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 2223 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 已知在的三个内角分别为、，.（1）求的大小；（2）若，求长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题得，再解方程即得解；（2）求出，再利用正弦定理得解.【详解】（1
12、）由题得，所以，所以，解得，.（2）由正弦定理得.【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正弦公式的应用，考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18. 2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前
13、提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）【答案】（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】（1）由题意，解得.（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.
14、完善列联表如下：擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100，对照表格可知，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.19. 如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，分别为，的中点，为棱上一点，且.（1）求证；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）先证明平面MNG, MG即得证；（2）设与交于点，先求出，再求出即得解.【详解】（1）由题意平面平面，因为,所以平面,因为平面,所以,因为,平面,所以平面MNG, 因为MG平面
15、MNG,所以MG.（2）设与交于点，在直角中，,在直角中，,所以，则，因为平面MNG,所以就是到平面的距离，可知到平面的距离为.【点睛】本题主要考查直线平面位置关系的证明，考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 已知椭圆：（）的左、右顶点分别为、，焦距为2，点为椭圆上异于、的点，且直线和的斜率之积为.（1）求的方程；（2）设直线与轴的交点为，过坐标原点作交椭圆于点，试证明为定值，并求出该定值.【答案】（1）（2）证明见解析；该定值为【解析】【分析】（1）由已知得，且，即得椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为：，求出，再计算得其值为定值.【详解】（1）已知点在椭
16、圆：（）上，可设，即，又，且，可得椭圆的方程为.（2）设直线的方程为：，则直线的方程为.联立直线与椭圆的方程可得：，由，可得，联立直线与椭圆的方程可得：，即，即.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21. 已知函数.（1）若为的极值点，且（），求的值.（2）求证：当时，有唯一的零点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题得，对两式消元因式分解即得的值；（2）由题得，再分析和的图象即得当时，有唯一的零点.【详解】（1）由题得，由题可知，所以，所以（i）因为，所以.即（ii）（ii）-（i）得，所以.（2）令，则，令
17、，可知在和上单调递增，在上单调递减，又，；为过点的直线，又，则，因此有且只有一个交点，即有唯一的零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 选修 4-4 坐标系与参数方程22. 已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求和的普通方程；（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.【答案】（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）【解析】【分析】（1）消去曲线参数方程中的参数，求得和的普通方程.
18、（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.【详解】（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：.（2）设过原点的直线的极坐标方程为；由得，所以曲线的极坐标方程为在曲线中，.由得曲线的极坐标方程为，所以而到直线与曲线的交点的距离为，因此，即的最小值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.23. 已知函数.（1）若，解关于的不等式；（2）若当时，恒成立，求实数取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）对分成三种情况，求得的最小值，由此求得的取值范围.【详解】（1）当时，由此可知，的解集为（2）当时，的最小值为和中的最小值，其中，.所以恒成立.当时，且，不恒成立，不符合题意.当时，若，则，故不恒成立，不符合题意；若，则，故不恒成立，不符合题意.综上，.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
