1、第七节 正弦定理和余弦定理【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)正弦定理:=_=_=2R(R是ABC外接圆的半径)asinAbsinBcsinC(2)余弦定理:在ABC中,有 a2=_;b2=_;c2=_.在ABC中,有:cosA=_;cosB=_;cosC=_.b2+c2-2bccosA c2+a2-2cacosB a2+b2-2abcosC 222bca2bc222acb2ac222abc2ab(3)在ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况:A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsinA bsinAab ab 解的 个数 _ _ _ _ _ 一解 两解 一解 一解 无
2、解 2.必备结论 教材提炼 记一记(1)三角形的内角和定理:在ABC中,A+B+C=_,其变式有:A+B=_,=_等.(2)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=_;cos(A+B)=_;sin =_;cos =_.-C AB2C22sinC-cosC AB2AB2Ccos 2Csin 2(3)正弦定理的公式变形:a=_,b=_,c=_;sinAsinBsinC=_;sinA=,sinB=_,sinC=_;(4)三角形中的射影定理 2RsinA 2RsinB 2RsinC abc a2Rb2Rc2Rabcabc.sinAsinBsinCsinAsinBsinCab cos Cc cos B
3、,ba cos Cc cos A,cb cos Aa cos B.3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:代入法、边角转化法.(2)数学思想:数形结合、分类讨论.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.()(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.()(3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.()(4)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()(5)在ABC中,若sinAsinB,则AB.()【解析】(1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任 意三角形都成立.(2)错误.由正弦定理可知该结论错误.(3)正确.
4、由余弦定理可知该结论正确.(4)错误.当已知三个角时不能求三边.(5)正确.由正弦定理知sinA=,sinB=,由sinAsinB得ab,即AB.答案:(1)(2)(3)(4)(5)a2Rb2R2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修5P51T2改编)在ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C=()A.90 B.120 C.135 D.150【解析】选B.先求B.cosB=因为0B180,所以B=60,故A+C=120.222acb2564491,2ac2 5 82(2)(必修5P49练习2T1改编)在ABC中,已知A=60,B=75,c=20,则 a=.【解析】C=180-(A+B)
5、=180-(60+75)=45.由正弦定理,得 答案:10 csin A20 sin 60a10 6.sin Csin 4563.真题小试 感悟考题 试一试(1)(2014湖北高考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=.【解析】依题意,由正弦定理知 得出sinB=由于0Ba,所以B=60或120.故满足条件的三角形有两个.bsin A6 sin 453.a22(2)由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinB,所以sin(B+C)=2sinB,sin(-A)=2sinB,即sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,所以 =2.答案
6、:2 ab(3)过点A作AEBC,垂足为E,则在RtABE中,在ABD中,ADB=180-ADC=180-75=105.由正弦定理得AD=答案:1 BCBE32cos B,B30.ABAB2故AB sin B2 sin 30sin ADBsin 105162.624462【一题多解】解答本例(1),(2)你还有其他方法吗?(1)选B.数形结合法:如图,CD=sin45=,又a=2,b=,所以CDab,故满足条件的三角形有两个.(2)如图,作ADBC于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即 =2.答案:2 ab636【规律方法】正弦定理的应用技巧(1)求边:利用公式 或其
7、他相应变形公 式求解.(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA=sinB=sinC=或其他相应变形公式求解.(3)相同的元素归到等号的一边:即 可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.bsin Aasin Basin Cab,csin Bsin Asin A，asin B,bcsin Aaasin A bsin B csin C,bsin B csin C asin Absin A,a【变式训练】(2015南昌模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=5bsinC,且cosA=5cosBcosC,则tanA的值为()A.5 B.6 C.-4 D.-6【解析】选B.
8、由正弦定理得sinA=5sinBsinC,又cosA=5cosBcosC,-得,cosA-sinA=5(cosBcosC-sinBsinC)=5cos(B+C)=-5cosA,所以sinA=6cosA,所以tanA=6.【加固训练】(2015合肥模拟)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为 a,b,c,已知bcosC+ccosB=b,则 =.【解析】将bcosC+ccosB=b,利用正弦定理化简得:sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sin(B+C)=sinB,因为sin(B+C)=sinA,所以sinA=sinB,利用正弦定理化简得:a=b,则 =1.答案:1 abab考点2
9、余弦定理的应用【典例2】(1)已知锐角三角形的边长分别为1,3,x,则x的取值范围 是()A.8x10 B.2 x C.2 x10 D.xc,已知 =2,cosB=,b=3,求:a和c的值;cos(B-C)的值.BA BC13【解题提示】(1)使大边的对角是锐角,其余弦值大于0,列不等式组求解.(2)由余弦定理,将条件代入求解.(3)利用向量运算及余弦定理找等量关系求解;利用已知条件求sinB,cosC,sinC,代入公式求值.【规范解答】(1)选B.因为31,所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可,故 又因为x0,所以 2 2x10.22222221x3,8x10.13x,即(2)由余弦定
10、理c2=a2+b2-2abcosC,代入题中条件得,cosC=,又C(0,),故C=.答案:3266(3)由 =cacos B=2，所以ac=6.又由b=3及余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，所以a2+c2=13，因为ac，解得a=3,c=2.由a=3,b=3,c=2得cos C=sin C=由cos B=得sin B=所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1BA BC2cos BBA BC3，得222abc72ab9，24 21 cos C9，1322 21 cos B;3172 24 223.393927【规律方法】1.利用余弦定理解三角形的步骤 2
11、.利用余弦定理判断三角形的形状 在ABC中,c是最大的边,若c2a2+b2,则ABC是钝角三角形.提醒:已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形,可用正弦定理,也可用余弦定理,用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.3.判断解的个数的两种方法(1)代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.(2)几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数.【变式训练】已知在ABC中,a=x,b=2,B=45,若三角形有两解,则x的取值范围是()A.x2 B.x2 C.2x2 D.2x2且xsin452,所以2x2 .232【加
12、固训练】1.在ABC中,a=10,B=60,C=45,则c等于()A.10+B.10(-1)C.+1 D.10【解析】选B.A=180-(B+C)=180-(60+45)=75.由正弦定理,得 3333210asin C10sin 452c103 1.sin Asin 756242.在锐角ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asinB=b,则角 A=.【解析】由正弦定理得2sinAsinB=sinB,又sinB0,故sinA=,又0A90,所以A=60.答案:60 33323.若ABC的三内角A,B,C满足A+C=2B,且最大边为最小边的2倍,则三角形三内角之比为 .【解析】因为A+C
13、=2B,不妨设A=B-,C=B+.因为A+B+C=,所以B-+B+B+=,所以B=再设最小边为a,则最大边为2a.由正弦定理得 即sin cos+cos sin=2(sin cos-cos sin),所以tan=,=所以三内角分别为 它们的比为123.答案:123 .3a2a,sin()sin()33sin()2sin(),33即333333.6 ,6 3 2，考点3 正、余弦定理的综合应用 知考情 利用正、余弦定理求三角形中的边和角、判断三角形的形状是高考的重要考向,常与三角恒等变换相结合,以选择题、填空题、解答题的形式出现,以后两种题型为主.明角度 命题角度1:综合利用正、余弦定理求角(或
14、其正、余弦值)【典例3】(2014天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是 a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 .【解题提示】利用正弦定理化角为边,解方程组得边的关系,然后利用余弦定理求cosA的值.14【规范解答】因为2sinB=3sinC,所以2b=3c,又b-c=a,解得b=a=2c.所以cosA=答案:-143c2，222bca1.2bc414命题角度2:判断三角形的形状【典例4】设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,且sin2B=sin2C,则ABC的形状为()A.等腰三角形 B.锐角三角形
15、 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解题提示】由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断.【规范解答】选D.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1,即A=,又因为sin2B=sin2C,所以由正弦定理得b2=c2,即b=c,故ABC为等腰直角三角形.2命题角度3:综合利用正、余弦定理求边长【典例5】(2014湖南高考)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值.(2)若cosBAD=,sinCBA=求BC的长.【解题提示】
16、利用余弦定理和正弦定理求解.771421,6【规范解答】(1)在ADC中，由余弦定理，得cosCAD=(2)设BAC=,则=BADCAD.因为cosCAD=,cosBAD=所以sinCAD=222ACADCD71 42 7.2AC AD72 72 777,14222 7211 cosCAD1(),772273 21sin BAD1 cosBAD1().1414sinsin(BADCAD)3 21 2 77213sin BADcos CADcos BADsin CAD().1471472BCACABC.sinsin CBA37AC sin2BC3.sin CBA216于是 在中，由正弦定理得，故
17、悟技法 1.综合利用正、余弦定理求边和角的步骤(1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出.(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解.提醒:在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用.2.判断三角形形状的方法 若已知条件中有边又有角,则(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=这个结论.通一类 1.(2013山东高考)ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=,则c=()A.2 B.2 C.D.1【解析】选B.由B=2A
18、,则sinB=sin2A,由正弦定理知 即 所以cosA=所以A=B=2A=所以C=-B-A=,所以c2=a2+b2=1+3=4,故c=2.332ab,sin Asin B1333,sin Asin Bsin2A2sin Acos A32，6，3，22.(2015宝鸡模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,其面积 为S,且b2+c2-a2=(1)求A.(2)若a=5 ,cosB=,求c.4 3 S.3345【解析】(1)由已知得：2bc cos A=所以tan A=,由A是三角形内角，所以A=.(2)由cos B=,得sin B=所以，sin C=由正弦定理得：4 3 1 bcs
19、in A,323345351334 3sin(B)sin Bcos B,32210asin Cc34 3.sin A3.(2015开封模拟)如图ABC中,已知点D在BC边上,满足 =0,sinBAC=AB=3 ,BD=(1)求AD的长.(2)求cosC.AD AC2 2,323.【解析】(1)因为 所以ADAC,所以sinBAC=sin(+BAD)=cosBAD,因为sinBAC=所以cosBAD=在ABD中，由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD,即AD2-8AD+15=0,解之得AD=5或AD=3.由于ABAD,所以AD=3.AD AC0,22 2,32 2.3(2)
20、在ABD中，由正弦定理可知 又由cosBAD=可知sinBAD=所以sinADB=因为ADB=DAC+C,DAC=,所以cos C=BDAB,sin BADsin ADB2 2,31,3ABsin BAD6,BD326.3规范解答4 正、余弦定理在三角形计算中的应用【典例】(13分)(2014天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对 的边分别为a,b,c，已知ac=b，sin B=sin C.(1)求cos A的值.(2)求cos(2A )的值.6666解题导思 研读信息 快速破题 规范解答 阅卷标准 体会规范(1)在ABC中，由 及sin B=sin C,可得b=c,2分 又由a-c=b,有
21、a=2c.4分 所以cos A=7分 bc,sin Bsin C6666222bca2bc22226cc4c6.42 6c(2)在ABC中，由cos A=可得sin A=8分 于是，cos 2A=2cos2A-1=9分 sin 2A=2sin Acos A=10分 所以，6,410.41,415.4cos(2A)6cos 2Acossin 2Asin6613151153.1342428 分高考状元 满分心得 把握规则 争取满分 1.认真审题,把握变形的方向 认真审题,弄清已知条件和要求的值的关系,确定条件的变形方向是解答三角函数、解三角形问题的关键,如本题第(1)问求cosA的值,自然想到用余弦定理,由此确定化角为边,找出边的关系.2.大胆书写,争取多得分 解答题不同于选择、填空题,它是按步给分,故要善于把已知条件变形,在变形中探究解题思路,即使不能把问题全部解答完整,也要争取多得几分.3.计算准确,争取得满分(1)公式运用要准确,这是算对的前提.(2)算数要准确无误,尤其注意正、负号的选择,计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程,简单了就不易算错,要是算错了结果,扣分是很重的.
