1、五十直线与圆锥曲线的位置关系(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1(2020鹤壁高中高三月考)已知直线l：xy30与双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，点P(1,4)是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为()AB2 C DD解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为点P(1,4)是弦AB的中点，根据中点坐标公式可得因为A，B两点在直线l：xy30上，根据两点斜率公式可得1.因为A，B两点在双曲线C上，所以所以0，即14，解得2.所以e.2(2020大连一中模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为，且双曲线过点P(2,3)，双曲线两条渐近线与过右焦点F且垂直于x轴的直
2、线交于A，B两点，则AOB的面积为()A4B2 C8D12A解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为yx，可得双曲线的方程为x2(0)，把点(2,3)代入可得43，得1，所以双曲线的方程为x21，c2134，c2，F(2,0)，可得A(2,2)，B(2，2)，可得SAOB244.故选A.3(2021重庆高三月考)已知双曲线C：1(a0，b0)的左焦点为F(c,0)，过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(2c，0)，则双曲线C的离心率为()A B CD2D解析：设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则有x0，y0c，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3、代入双曲线方程有1，1，两式相减得0，可得3，即b23a2，所以c2a，e2.4(多选题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QNPE交EP的延长线于N，作QMPF交线段PF于点M，则()A|PE|PF|B|PF|QF|C|PN|MF|D|PN|KF|ABD解析：由抛物线的定义，知|PE|PF|，A正确；因为PNQF，PQ是FPN的平分线，所以FQPNPQFPQ，所以|PF|QF|，B正确；若|PN|MF|，由PQ是FPN的平分线，QNPE，QMPF
4、得|QM|QN|，从而有|PM|PN|，于是有|PM|FM|，这样就有|QP|QF|，PFQ为等边三角形，FPQ60，也即有FPE60，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；由A，B知|PE|QF|，因为|EN|KQ|，所以|KF|PN|，D正确5(2020新高考全国卷)斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|_.解析：(方法一)在抛物线y24x中，2p4，斜率为的直线倾斜角，所以过焦点的弦长|AB|.(方法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知可得抛物线y24x的焦点为F(1,0)，过点F且斜率k的直线方程为y(x1)，联立消去y得3x210x30，
5、所以所以|AB|.6过点P(1,1)作直线l与双曲线x2交于A，B两点若点P恰为线段AB的中点，则实数的取值范围是_(，0)解析：因为双曲线方程为x2，所以0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为点P恰为线段AB的中点，所以x1x22，y1y22.将A，B两点坐标代入双曲线方程，得两式相减并化简可得22.即直线l的斜率为2，所以直线的方程为y2x1.联立化简可得2x24x210.因为直线l与双曲线有两个不同的交点，所以1642(21)0，解得0)的焦点，过F作直线与C相交于P，Q两点，且Q在第一象限若2，则直线PQ的斜率是_2解析：设l是准线，过P作PMl于M，过Q作QNl于N，过P作PH
6、QN于H，如图，则|PM|PF|，|QN|QF|.因为2，所以|QF|2|PF|，所以|QN|2|PM|，所以|QH|NH|PM|PF|，|PH|2|PF|，所以tan HQF2，所以直线PQ的斜率为2.8(2020鹤壁市高三模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的准线与x轴交于点A，点M(2，p)在抛物线C上(1)求抛物线C的方程；(2)过点M作直线l交抛物线C于另一点N.若AMN的面积为，求直线l的方程解：(1)因为点M(2，p)在抛物线y22px上，所以p24p，所以p4或p0(舍去)，所以抛物线C的方程为y28x.(2)由(1)知抛物线C的方程为y28x，M(2,4)，A(2，0)，k
7、MA1，所以直线MA的方程为yx2，即xy20，且|MA|4，所以点N到直线MA的距离d.设N点的坐标为，则d，解得y0或y0，即N点的坐标为或.若取N，则kMN，所以直线l的方程为y4(x2)，即3x5y140；若取N，则kMN3，所以直线l的方程为y43(x2)，即3xy20.综上，直线l的方程为3x5y140或3xy20.9(2020桂林模拟)椭圆M：1(ab0)的离心率e，过点A(a,0)和B(0，b)的直线与原点间的距离为.(1)求椭圆M的方程；(2)过点E(1,0)的直线l与椭圆M交于C，D两点，且点D位于第一象限，当3时，求直线l的方程解：(1)由题意可得直线AB的方程为bxay
8、ab0.依题意得解得a22，b21，所以椭圆M的方程为y21.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)(x20，y20)，设直线l的方程为xmy1(mR)代入椭圆方程整理得(m22)y22my10.8m280，所以y1y2，y1y2.由3，依题意可得y13y2.结合得消去y2解得m1，m1(不合题意)所以直线l的方程为yx1.B组新高考培优练10(2020大连市高考模拟)已知直线y2xm与椭圆C：y21相交于A，B两点，O为坐标原点当AOB的面积取得最大值时，|AB|()A. B. C. D.A解析：联立得21x220mx5m250.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2
9、，所以|AB|.又O到直线AB的距离d，则AOB的面积Sd|AB|，当且仅当m221m2，即m2时，AOB的面积取得最大值此时，|AB|.11在平面直角坐标系xOy中，直线xy20与椭圆C：1(ab0)相切，且椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：yx的对称点E在椭圆C上，则OEF的面积为()A B C1D2C解析：由于直线xy20与椭圆C相切，联立得方程组消去x，化简得(a22b2)y28b2y(8a2)b20.由64b44(a22b2)(8a2)b20，可得a22b28.设点F为椭圆C的左焦点，连接EF，则EFl，所以EFEF.因为F到直线l的距离d，所以|EF|2d.由椭圆定义可得|EF
10、|2a|EF|2a.在RtFEF中，|EF|2|EF|2|FF|2，即22(2c)2，化简得a22b2.联立得a24，b22，所以|EF|FE|2，所以SOEFSFEF1.12(多选题)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|8，则以下结论正确的是()Ap4 BC|BD|2|BF|D|BF|4ABC解析：如图所示分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF|p，由于直线l的斜率为，其倾斜角为60.AEx轴，EAF60.由抛物线的
11、定义可知，|AE|AF|，则AEF为等边三角形，EFPAEF60，则PEF30，|AF|EF|2|PF|2p8，得p4，A选项正确|AE|EF|2|PF|，PFAE，F为AD的中点，则，B选项正确DAE60，ADE30，|BD|2|BM|2|BF|，C选项正确|BD|2|BF|，|BF|DF|AF|，D选项错误故选ABC.13已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标原点设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，点A和点B关于直线l对称，l与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是_解析：设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.因为直线AB
12、过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，所以方程有两个不等实根设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01).因为点A和点B关于直线l对称，所以直线l为AB的垂直平分线，其方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0.因为k0，所以xG0，即点G横坐标的取值范围为.14(2020邢台市高三三模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：ykxm(k0)交椭圆E：y21于C，D两点(1)若mk1，且点P满足0，证明：点P不在椭圆E上；(2)若椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与线段F1F2和椭圆E的短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM
13、|DN|，求四边形CF1DF2面积的最小值设直线l：ykxm(k0)交椭圆E：y21于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点(1)证明：把yx1代入y21，得5x28x0，所以x1x2，y1y2x1x222.因为0，所以()(x1x2，y1y2)，即P.因为21，所以点P不在椭圆E上(2)解：将ykxm(k0)代入y21，得(14k2)x28kmx4m240，则x1x2，x1x2.又M，N(0，m)因为|CM|DN|，所以xMx1x2xN，即xMxNx1x2，所以.因为直线ykxm(k0)与线段F1F2及椭圆的短轴分别交于不同的两点，所以m0.又k0，则k，故x1x22m，x1x22m22.由2m，得m.因为y1x1m，y2x2m，所以|y1y2|x1x2|.S四边形CF1DF2SF1F2CSF1F2D|F1F2|y1|F1F2|y2|F1F2|y1y2|.故当m或m时，四边形CF1DF2面积的最小值为.
