1、2014年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动课题：用牛顿迭代法求方程的近似解（人教A版高中课标教材数学选修2-2）教学设计授课教师：卢 翔 天津市耀华中学指导教师: 沈 婕 天津市中小学教育教学研究室 曹志勇 天津市和平区教研室 徐秀清 天津市耀华中学 2014年12月用牛顿迭代法求方程的近似解天津市耀华中学 卢翔一内容与内容解析 本节课内容是人教版选修2-2第一章第二节探究与发现的内容，教学内容是用牛顿迭代法求方程的近似解。在本节课中，在学生会用二分法求方程近似解的基础上，通过探究和发现，使学生能借助导数研究函数，利用切线逼近函数，进而理解迭代法的含义和作法，培养学生逼近的思想，以直代
2、曲的思想，同时强化算法思想。本节课通过Leonardo方程的求近似解问题，复习和巩固二分法求方程近似解的思想，步骤和算法，并借助导数和切线理解牛顿迭代法的“以直代曲”思想和逼近思想，并分析整理牛顿迭代法的步骤和算法，并用牛顿迭代法解决实际问题。在教学中，通过借助图形计算器的探究，以及问题引导的方式，培养学生分析问题，探究问题和合作解决问题的能力，借助二分法的复习培养学生类比的思想，同时体会知识的联系和应用。本节课中给出的Leonardo方程有丰富的历史背景，练习中的开普勒方程又有实际背景，通过本节课的例子可以培养学生对数学的热爱以及强烈的求知欲望，对古代数学家坚忍不拔的毅力的学习以及对数学在实
3、际生活中的巨大作用的认识都能使学生更加肯于钻研，并产生对数学的巨大兴趣。教学重点：牛顿迭代法的迭代思想和过程。二、目标和目标解析1复习和巩固用二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解是高中数学必修教材中的内容，和方程与函数的零点的关系一起，作为函数的性质的应用部分，是学生联系实际的重要内容，本节课以求Leonardo方程作为引入和研究对象，联系和复习二分法是顺理成章的，也能够将学习过的内容再现和升华。2探究并总结牛顿迭代法求方程的近似解牛顿迭代法是中学生能够接受的一种较简单的迭代方法，而且十分有效，但如果脱离图形计算器，也是非常困难的。本节课的核心就是通过探究和实践，使学生能够完全理解牛顿迭代
4、法的迭代原理，并能够通过图形计算器进行实际应用，提高了学生解决实际问题的能力。3培养学生利用图形计算器进行复杂计算和图形功能探究解决问题的能力。培养探究精神一直以来都是数学课堂上的重要任务，但探究能力的培养，不是一朝一夕的功夫，需要学生能够有所依靠，图形计算器的配备和使用，使学生能够有充分的工具去施展，不再畏惧图形的不可知性和计算的繁琐复杂。有了直观的感知，才是探究的源泉，对于中学生而言，这是最为适合的学习模式，值得通过大量的问题和实践使学生充分掌握图形计算器的使用。4在数学学习的过程中需要很多知识的迁移，类比，本节课就是在充分利用二分法的思想和步骤进行类比的基础上，结合导数和切线的知识进行迁
5、移，完成对牛顿迭代法的充分理解的，利用问题链进行导引，借助小组合作讨论的模式，发挥图形计算器的直观作用和计算能力，将本节课内容中的精华部分和难点部分逐一消化，使学生体会多样化学习模式的带来的学习乐趣。5让学生了解更多数学史事及数学应用更能增进学生对数学的兴趣以及科学研究的价值观。学生在学习知识和方法的同时需要更多的人文关怀，学习数学不仅是学习如何计算和证明，更应该在对应的知识水平中了解数学发展中曾经出现过的著名例子和典故。这对于学生的榜样效果和激励作用是非常显著的。同时，数学又应用于实践，应用于其他学科中，在课堂上给学生以更多的实际例子，也会更强化学生数学有用的信念，提升其对数学学科的兴趣和学
6、习动力。三、教学问题诊断分析本节课的教学对象是耀华中学实验班的学生，耀华中学是天津市的市直属重点中学，学生具备较强的学习能力和动手实践能力，较适于本课题的研究和学习，学生也对于这样的探究学习模式较为习惯和适应。学生在学习本节课之前已经学习过函数与方程中的二分法求方程近似解，而且学习过导数的概念和求解，能够运用导数研究函数的性质和求切线。学生有充分的探究意识和团队合作能力，图形计算器操作熟练，能够利用图形计算器画图和计算。在本节课的教学中，学生可能会在迭代法的探究过程中出现困难，主要体现在对逼近方式的认识，这点可以通过图形计算器的函数切线的动态演示帮助学生理解“以直代曲”思想，另一点困难可能是对
7、迭代的理解上，这点可以通过类比二分法的算法特征加以理解。而且可以充分利用图形计算器的递推计算功能加以运算，从而促进学生对牛顿迭代法的理解。教学难点：理解牛顿迭代法的逼近和迭代原理。教学关键：理论推导和图形计算器验证有机结合。四、教法分析1.利用有历史背景的数学方程激发学生积极探索新知的欲望，鼓励学生积极动手实践，不断优化知识结构，在“实践、理论、再实践”的过程中完成对新知的探索和应用，培养学生的思维能力和应用意识。2.以学生为中心，教师适当引导，积极创设合作学习的氛围，使学生获得提供“实践、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，更注重合作交流，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取直接经
8、验. 使学生经历观察、分析、操作、归纳、概括的认知过程，培养综合运用已有知识解决新问题的能力。五、教学支持条件分析 本节课通过PPT演示的方式给学生介绍背景，引导问题，在复习巩固和小组讨论之后采用实物投影的方式将学生的讨论结果展示出来，同时结合演示图形计算器的计算功能和图形效果，帮助学生理解课题和进行运算。在课堂教学中，学生每人配备一个图形计算器，图形计算器的存在,能够帮助学生从图形角度思考问题,同时能够进行快速的计算和迭代,而且求出的正是近似解.这一切都是本课题所特别要求的.学生通过函数的零点与方程的根的关系,体会利用函数研究方程的便利性,同时利用图形计算器,能够方便地将函数图象表示出来;学
9、生在求近似解的过程中,需要大量繁琐的计算,人工计算费时费力,而利用图形计算器,学生能够方便地快速求得高精度的解，是学生探究的有力工具。而数学研究在有了感性认识的基础上，能够逐层递进，有效归纳，达到易于研究和深入的目的。从这个角度来说，本课题是图形计算器的特定匹配课程，或者更确切地说，正因为有了图形计算器的存在，才有了本课题实践的可能性，也才有了学生动手钻研和理解课题的可能性。课题要求学生掌握图形计算器的画图功能，求零点功能，求函数的交点坐标的功能，直接解方程的功能，以及进行快速迭代计算的功能和数列递推的功能等，对学生的图形计算器使用的要求较高，综合性较强。六、教学过程（一） 激发兴趣，引出问题
10、师生活动从一个三次方程求解问题引入，给出一个数学故事，激发学生兴趣，同时对学生渗透德育教育。【问题1】对于方程的求近似解问题，大家了解它的典故吗？设计意图这个方程是学生所熟悉的，利用它来抛出问题，引发学生思考。【背景介绍】斐波那契数列，也被称为“兔子数列”。它最早出现在一本叫做算盘书的书中，这本书的作者就是比萨的列奥纳多，又称斐波那契（1175年-1250年），是一名意大利数学家。他是西方第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲的人，影响了欧洲数学界一个时代。斐波那契其他数学著作还有平方数书、花朵等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克二世宫廷数学竞赛问题，其
11、中包含一个三次方程的求解，斐波那契论证了其根不能用尺规作出（即不可能是欧几里得的无理量），他还未加说明地给出了该方程的近似解。这在当时是非常重要的结果，但是无人知道他是怎么计算得到的。尽管一元三次方程存在根式解，但生活实践当中，一个精度很高的近似解的价值要超过精确的根式解。所以这个Leonardo方程，值得我们今天继续去研究和发现。设计意图通过这个背景介绍，能够完全调动学生的学习兴趣和热情，课堂教师引导的目的首先就是激发学生的学习热情和动力，通过这个环节，既引出问题，又产生兴趣，一举两得。（二）复习巩固，启发引导【问题2】求Leonardo方程的近似解，我们学习过什么方法？请大家把课前完成的复
12、习巩固环节进行交流。师生活动提问学生复习回顾二分法求方程近似解的步骤及二分法的逼近思想，方便在课程教学时进行类比分析。【问题 3】思考并总结：用二分法求方程的近似解时，需要注意一些什么问题？师生活动学生回答问题，总结复习成果，为今天的课题研究打好基础和伏笔。设计意图学生在课前完成了学案相应复习部分的内容，复习了高一时所学习过的二分法的内容，为本节课的课程研究打下坚实的基础，包括对算法思想，逼近思想的体会都能有所加深，为研究牛顿迭代法进行类比提供了很好的基础。（三）问题引导，分析方法【问题4】今天我们延究一种新的计算方程近似解的方法，请大家根据学案上的问题设置，结合近期新学习的内容，回答问题同时
13、引发对新方法的思考，小组讨论一下，并进行交流。 问题链设计：（1）在研究方程的根的问题时，我们常可以将其等价转化为什么问题进行研究？（2）在研究函数的性质时，我们新学习了什么工具可以用来很方便地刻画函数的什么性质？（3）我们新学习的工具中，在刻画函数性质方面，体现出了什么样的思想？（4）在研究方程的近似解的时候，二分法体现出了什么样的思想？（5）类比二分法的思想，结合我们新学到的工具，我们能产生什么新的想法求方程的近似解？师生活动问答形式，以提问的方式使学生将思考后的想法分享出来，并逐步引出后面的问题。设计意图通过问题链引导学生进行复习，使学生逐步将导数和切线与方程的近似解相结合起来。【问题5
14、】借助图形计算器，验证新的想法，并思考如何将其转化为算法。师生活动同学们利用手中的图形计算器画出曲线的切线，并通过平移体会“以直代曲”思想。教师在电脑上进行演示。设计意图结合图形计算器的演示，同时让学生实际动手操作，能够直观理解“以直代曲”思想，为后面的借助切线与轴的交点横坐标代替原函数零点的思想进行切实的铺垫。（四）探究切线，体验迭代【问题5】利用图形计算器，求方程的近似解（精确度为），记录下探究和计算的过程。 设计意图通过问题引导的方式，让学生试着利用切线代替曲线来求近似解，并逐步体会迭代的方式方法，写出Leonardo方程的迭代公式并利用图形计算器求解，完成探究环节，给出问题解答。师生活
15、动教师问题引导：（1）从哪一个点开始“以直代曲”？求出具体的切线及近似解。预设：学生先求出切线方程，并利用手中的图形计算器画出函数图象和切线的图象在一起，可以进行比较。切线方程：。图象如下：（2）与我们刚才求出的零点比较，再结合函数图象与切线，用什么方法进行下一步的操作，进而逐步逼近方程的解呢？预设：学生可能会再选择不同的值求切线方程，并继续画图探究，此时可以引导学生思考寻找规律，取不同的值无非是希望切线再能够逼近图象，那么如果就取刚才求出的切线零点为值，既能更加贴近图象，又可以有一个合理的步骤，不妨可以试试再求出时的切线方程，计算较复杂，可以利用图形计算器辅助完成，并画出图象。可以观察出，经
16、过放大一定倍数之后，才能加以区分，并且新得到的切线零点比之前第一条切线的零点更加靠近函数的零点。设计意图这一部分探究是本节课的核心内容，也是需要花费较大精力和时间的一部分。必须通过问题链的形式引导和启发学生，联系到切线和图象的近似替代，并进行确实的动手尝试才能使学生信服，所以这里必须要借助于图形计算器的力量，否则无法完成，学生如果不能自己动手观察，对理解牛顿迭代法也会非常不利。（3） 迭代计算的方法是什么？如何完成计算？ 设计意图学生会考虑寻找一个通式进行运算，通过小组讨论得出Leonardo方程的牛顿迭代法的迭代公式，并用图形计算器的递推或变量运算功能求出结果。 预设：利用数列递推功能 （4
17、） 在给定精确度的前提下，什么时候终止迭代？ 设计意图学生在完成计算之后会很高兴得到和之前计算出的一样的结果，所以可能就会忽略终止迭代的条件，这个问题能引发学生思考，并将整个迭代过程予以完善和规范。（五）建立方法，完善理论【问题7】参照刚才的计算方法，能否像二分法一样，总结出牛顿迭代法求近似解的迭代公式？师生活动学生分组讨论研究，将牛顿迭代法的步骤和迭代公式从刚才的具体问题中提炼出来，并进行交流总结。设计意图总结牛顿迭代法的迭代公式，虽然步骤不多，但涉及迭代这个对学生较为陌生的方式，所以这部分理论推导具有一定难度。所以教师在此起到引领作用，类比递推数列，帮助各组分析切线方程求零点，帮助学生完成
18、这个由实践到理论的升华，这个对学生也是一个受益的体验过程。预设：给定函数为，迭代初始值为，其切线方程可以写为：，求其零点，令，得。将其表示为迭代公式，即。（六）归纳整理，算法思想【问题8】牛顿迭代法的核心思想是什么？根据总结出的牛顿迭代法的原理和步骤，画出迭代求解的算法框图。 师生活动各组学生进行讨论，将步骤转化为框图，然后进行实物展示，全班分析，完成到从自然语言到算法语言的提升和总结。设计意图算法思想同样是本节课的核心思想之一，要求学生将解题方法以算法形式整理完善，是对本节课思想方法上的完善。 （七）总结提高，学以致用 【问题9】课堂练习：在天文学中，有一类著名的方程开普勒方程， 是用来确定
19、行星在其运动轨道上的位置的。开普勒方程是一个超越方程，很难得出严格的分析解，但是，已经证明这个方程存在唯一解。在实际问题中，我们更希望得到一个近似程度很高的近似解就可以。请同学们利用今天所探究和归纳的方法，计算取，对应的开普勒方程的近似解，精确到。 设计意图作为最后一个环节，要锻炼学生如何整理和归纳，将探究和实践之后的体会用规范的形式整理出来并表述清楚。然后学以致用，学生新学到了牛顿迭代法的思想，有亲身实践过用图形计算器经过少量迭代即可解决Leonardo方程的近似解问题，本身就会有跃跃欲试之感，希望能用牛顿迭代法解决更多的问题，此时给出的练习，既有实际背景，天文学中的开普勒方程，又不同于Le
20、onardo方程，为三角超越方程，对学生会有很强的吸引力，让他们能够较好地达成实践锻炼的目的。 （八） 科学研究，精神培养师生活动教师介绍斐波那契的研究结果，与图形计算器所得近似解相同，斐波那契当时没有计算器，却能够依靠算法和坚忍不拔的毅力，将一个三次方程的近似解算到精确到小数点后十位，值得学生学习和传承这种精神。设计意图这个环节所占时间很短，但是非常必要的，对于数学精神的传承，是数学课堂和数学教学工作者的责任和义务。本节课的课题研究本身就是一个数学史上非常著名的方程，Leonardo方程，更应借此对学生进行探究精神和学习毅力方面的教育，也能引发学生进一步的思考，对今后的学习产生长远的积极影响
21、。七、目标和目标达成布置本节课的作业和发展性问题1、借助图形计算器，练习用牛顿迭代法求方程的近似解。（精确度）（1）;（2）;（3）.2、实习作业：从下面的叙述中，选择一个你比较感兴趣的方向，再继续进行新的探究和发现。（1）在实际生活及其他学科研究中，哪些问题可以转化成高次代数方程或超越方程求近似解的问题？搜集一下此类问题，并写出你的感受。（2）除了二分法和牛顿迭代法，我们还可以找到其他方法来求方程的近似解吗？循着今天课堂的思路，参阅相关资料，利用图形计算器，再寻找一个求方程近似解的方法。（3）我们在用二分法求方程近似解的过程中，需要强调有根区间的判断，请大家思考一下，如果不判断有根区间，而是直接采用牛顿迭代法进行求解，任取一个初始值，会对求近似解产生什么影响？可以参阅相关资料，用图形计算器进行辅助计算，印证你的判断并思考原因。设计意图发展性问题是本课题的点睛之笔，学生的学习，更多的和更有价值的应该在课外，课堂的作用是引导和启发，而课外才是学生自由驰骋的舞台。在课程结束之际，给学生留下更多的思考，是延伸课堂效果的最好方式。
