1、第3节圆的方程一、教材概念结论性质重现1圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：，半径：(1)确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线(2)方程x2y2DxEyF0，当D2E24F0时，表示圆心为，半径r的圆；当D2E24F0时，表示一个点；当D2E24Fr2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a
2、)2(y0b)2r2.3常用结论以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)方程x22axy20一定表示圆( )(3)圆x22xy2y0的圆心是.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0内，则xyDx0Ey0F0.( )2圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是()A(2,3)，3B(2,3)，C(2，3)，13D(2，3)，D解析：圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径r.
3、3若圆(x1)2(y1)22关于直线ykx3对称，则k的值是()A2B2 C1D1B解析：由题意知直线ykx3过圆心(1,1)，即1k3，解得k2.4若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(，1)(1，)Da1A解析：因为点(1,1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0且圆C的半径r2a，A(a,0)因为点A到直线xy40的距离d，所以d，解得a6或a2，所以A(2，0)或A(6,0)因为A在直线xy40的左上方，所以A(2,0)，所以C(2,4)，r4，所以圆C的标准方程为(x2)2(y4)216.(2)(2021聊城
4、第一中学月考)已知圆C与直线yx及xy40相切，圆心在直线yx上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24A解析：(方法一)因为圆心在直线xy0上，所以圆心的横、纵坐标相同，排除B，C.选项D中，圆心(1，1)到直线xy0的距离是；圆心(1，1)到直线xy40的距离是3.故D不符合题意故选A.(方法二)由圆心在直线yx上，设圆心为(a，a)，因为圆C与直线yx及xy40都相切，所以圆心到两直线yx及xy40的距离相等，即，解得a1，所以圆心坐标为(1,1)，R，则圆C的标准方程为(x1)2(y1)22.故选A.求圆的
5、方程的两种方法(1)几何法通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直于切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解1(2020重庆育才中学3月月考)圆C以直线l：(2m1)x(m1)y2m0上的定点为圆心，半径r4，则圆C的方程为()A(x2)2(y2)216 B(x2)2(y2)216C(x2)2(y2)216 D(x2)2(y2)216A解析：由(2m1)x(m1)y2m0，可得(2xy2)m(xy)0，所以直线过的交点，解得即直线过定点(2,2)，则所求圆的方程
6、为(x2)2(y2)216.故选A.2已知方程x2y2kx2yk20所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为()A(1,1)B(1,0)C(1，1)D(0，1)D解析：由x2y2kx2yk20知所表示圆的半径r.当k0时，rmax1，此时圆的方程为x2y22y0，即x2(y1)21，所以圆心为(0，1)考点2与圆有关的轨迹问题综合性设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而又点N在圆上，故(
7、x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：由题设直接求出动点坐标所满足的关系式(2)定义法：利用定义写出动点的轨迹方程(3)代入法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程1若动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()Ax2y232 Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216B解析：设P(x，y)，则由题意可得2，化简整理得x2y2
8、16.2如图，已知点A(1,0)与点B(1,0)，点C是圆x2y21上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|BC|.求AC与OD的交点P的轨迹方程解：设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心由A(1,0)，B(1,0)，设动点C(x0，y0)，则D(2x01,2y0)由重心坐标公式得则代入x2y21，整理得2y2(y0)，故所求轨迹方程为2y2(y0)考点3与圆有关的最值问题综合性考向1斜率型、截距型、距离型最值问题已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(
9、2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，最小值是(2)274.与圆有关的最值问题的3种几何转化法(1)形如m的最值问题
10、，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如maxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题考向2利用对称性求最值已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.A解析：P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5，
11、即|PM|PN|PC1|PC2|454.求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决1设点P是函数y图像上的任意一点，点Q的坐标为(2a，a3)(aR)，则|PQ|的最小值为_2解析：函数y的图像表示圆(x1)2y24在x轴及下方的部分令点Q的坐标为(x，y)，则得y3，即x2y60，作出图像如图所示由于圆心(1,0)到直线x2y60的距离d2，故直线x2y60与圆(x1)2y24相离，因此|PQ|的最小值是2.2已知A(0,2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_2解析：因为圆C化为标准方程为(x2)2(y1)25，所以圆C是以C(2，1)为圆心，r为半径的圆设点A(0，2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)，故解得故A(4，2)所以|AC|3.连接AC交圆C于点Q，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2.