1、2016-2017学年天津市静海一中高二（上）12月月考数学试卷一、选择题：每小题5分，共40分1经过点（1，2）且与直线3x5y+6=0垂直的直线的方程为（）A3x5y+13=0B5x+3y1=0C5x+3y+1=0D5x3y+11=02圆心在x+y=0上，且与x轴交于点A（3，0）和B（1，0）的圆的方程为（）A（x+1）2+（y1）2=5B（x1）2+（y+1）2=C（x1）2+（y+1）2=5D（x+1）2+（y1）2=3如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（）A一条线段B一条直线C一个圆D一个圆，但要去掉两个点
2、4已知ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）AB6CD125一个简单几何体的三视图如图所示，其正视图和俯视图均为正三角形，侧视图为腰长是2的等腰直角三角形则该几何体的体积为（）A B1C D36设、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列结论不正确的是（）A，m，则mBmn，m，则nCn，n，则aDmn，m，则n7设椭圆+=1（ab0）的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bxc=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）A必在圆x2+y2=2上B必在圆x2+y2=2外C必在圆x2+y2
3、=2内D以上三种情形都有可能8已知点F1，F2分别是椭圆C： +=1（ab0）的焦点，点B是短轴顶点，直线BF2与椭圆C相交于另一点D若F1BD是等腰三角形，则椭圆C的离心率为（）ABCD二、填空题：每小题5分，共30分9直线l1：x+my2=0与直线l2：2x+（1m）y+2=0平行，则m的值为10已知以椭圆=1（m0）的焦点连线F1F2为直径的圆和该椭圆在第一象限相交于点P若PF1F2的面积为1，则m的值为11已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（1，1），则双曲线的标准方程为12点P（x，y）是椭
4、圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为13已知直线l交椭圆=1于M，N两点，且线段MN的中点为（1，1），则直线l方程为14已知椭圆C： +=1（ab0）的右焦点F，过F斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于点P若=4，则椭圆C的离心率为三、解答题：共6小题，共80分15已知圆C：（x+1）2+（y2）2=25和点P（2，1）（I）判断点P和圆的位置关系；（II）过P的直线被圆C截得的弦长为8，求该直线的方程16求经过点A（3，2）且与圆x2+y22x+6y+5=0切于点B（0，1）的圆的方程17如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC
5、，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别为A1C1，BC的中点（I）求证：平面ABE平面B1BCC1（II）求证：C1F平面ABE（III）求直线CE和平面ABE所成角的正弦18如图四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCDPAD是正三角形，四边形ABCD是直角梯形，ABCD，AD=CD=2AB，点E为PD中点（I）证明：CD平面PAD（II）证明：平面PBC平面PCD（III）求二面角DPBC的余弦值19已知椭圆C： +=1（ab0）的焦点和短轴顶点构成面积为4的正方形（I）求椭圆的标准方程；（II）过焦点F1，F2作互相平行的两条直线，与椭圆分别交于点P，Q，R，S，求四边形PQRS的面积
6、的最大值20已知椭圆C： +=1（ab0）的焦点和短轴顶点构成面积为2的正方形（I）求椭圆的标准方程；（II）设A1，A2分别为椭圆C的左右顶点，F为右焦点，过A1的直线与椭圆相交于另一点P，与直线x=相交于点B，以A2B为直径作圆判断直线PF和该圆的位置关系，并给出证明2016-2017学年天津市静海一中高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共40分1经过点（1，2）且与直线3x5y+6=0垂直的直线的方程为（）A3x5y+13=0B5x+3y1=0C5x+3y+1=0D5x3y+11=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】设与直线3x5y+6=0
7、垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（1，2）代入即可得出【解答】解：设与直线3x5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（1，2）代入可得：5+6+m=0，解得m=1要求的直线方程为：5x+3y1=0故选：B2圆心在x+y=0上，且与x轴交于点A（3，0）和B（1，0）的圆的方程为（）A（x+1）2+（y1）2=5B（x1）2+（y+1）2=C（x1）2+（y+1）2=5D（x+1）2+（y1）2=【考点】圆的标准方程【分析】要求圆的标准方程，先求圆心坐标：根据圆心在直线上设出圆心坐标，根据圆的定义可知|OA|=|OB|，然后根据两点间的距离公式列出方程即可求出圆心坐标；再求
8、半径：利用利用两点间的距离公式求出圆心O到圆上的点A之间的距离即为圆的半径然后根据圆心和半径写出圆的标准方程即可【解答】解：由题意得：圆心在直线x=1上，又圆心在直线x+y=0上，圆心M的坐标为（1，1），又A（3，0），半径|AM|=，则圆的方程为（x+1）2+（y1）2=5故选A3如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（）A一条线段B一条直线C一个圆D一个圆，但要去掉两个点【考点】平面与平面垂直的性质【分析】利用面面垂直的性质及线面垂直的判断和性质得到ACBC，可得点C在以AB为直径的圆上得答案【解答】解：平面PAC平
9、面PBC，而平面PAC平面PBC=PC，又AC面PAC，且ACPC，AC面PBC，而BC面PBC，ACBC，点C在以AB为直径的圆上，点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点故选：D4已知ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）AB6CD12【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得ABC的周长【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得ABC的周长为4a=，故选C5一个简单几何体的三视图如图所示，其正视图和俯视图均为正三角形，侧视图为腰长是
10、2的等腰直角三角形则该几何体的体积为（）A B1C D3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面上的高为2，故底面边长为：，故底面面积S=，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V=，故选：C6设、是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，则下列结论不正确的是（）A，m，则mBmn，m，则nCn，n，则aDmn，m，则n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】A利用线面垂直的判定定理进行判定B利用线面垂直的性
11、质和线面垂直的判定定理进行判断C利用线面平行的性质判断D利用线面平行的判定定理判断【解答】解：A根据面面平行的性质可知，一条直线垂直于两个平行平面的一个，则必垂直另一个平面，所以A正确B若直线垂直平面，则和直线平行的直线也垂直于这个平面，所以B正确C根据线面平行和垂直的性质可知，同时和直线平行和垂直的两个平面是垂直的，所以C正确D垂直于同一直线的直线和平面可能平行，也有可能是n，所以D错误故选D7设椭圆+=1（ab0）的离心率为e=，右焦点为F（c，0），方程ax2+bxc=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）A必在圆x2+y2=2上B必在圆x2+y2=2外C必在圆x2+y2
12、=2内D以上三种情形都有可能【考点】椭圆的简单性质【分析】通过e=可得=，利用韦达定理可得x1+x2=、x1x2=，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论【解答】解：e=，=，x1，x2是方程ax2+bxc=0的两个实根，由韦达定理：x1+x2=，x1x2=，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=+1=2，点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2内故选：C8已知点F1，F2分别是椭圆C： +=1（ab0）的焦点，点B是短轴顶点，直线BF2与椭圆C相交于另一点D若F1BD是等腰三角形，则椭圆C的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意画出图形，结合已知求出|DF1|、
13、|DF2|，再由余弦定理列式求得答案【解答】解：如图，由椭圆定义可得：|DF1|+|DF2|=2a，F1BD是等腰三角形，|DF1|=|DB|=|DF2|+|BF2|，解得|DF2|=，|DF1|=又|BF1|=a，cosF1DF2=，又cosF1DF2=，化简得：a2=3c2，得故选：B二、填空题：每小题5分，共30分9直线l1：x+my2=0与直线l2：2x+（1m）y+2=0平行，则m的值为【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由2m（1m）=0，解得m，经过验证即可得出【解答】解：由2m（1m）=0，解得m=，经过验证满足条件，因此m=故答案为：10已知以椭圆=1（m0）的焦
14、点连线F1F2为直径的圆和该椭圆在第一象限相交于点P若PF1F2的面积为1，则m的值为1【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知可得，|PF1|+|PF2|=4，|PF1|PF2|=2然后结合勾股定理及椭圆定义列式求得m值【解答】解：由题意，|PF1|+|PF2|=4，且|PF1|PF2|=1，即|PF1|PF2|=2且=4（4m），则，即，164m+22=16，解得m=1故答案为：111已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（1，1），则双曲线的标准方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】利用抛物线方程求出双
15、曲线的实半轴的长，利用渐近线与抛物线的准线方程的交点，求出虚半轴的长，可得双曲线方程【解答】解：双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（1，1），双曲线的渐近线方程bx+ay=0，可得b=a，可得p=2，抛物线的焦点坐标（1，0），双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为3，可得a=4，b=4所求双曲线方程为：故答案为：12点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为【考点】椭圆的简单性质【分析】先把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，由此得到这个椭圆的参数方程为：（为参数），再由三角函数知识求x+2y的最大值【解答】
16、解：把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，这个椭圆的参数方程为：，（为参数）x+2y=，故答案为：13已知直线l交椭圆=1于M，N两点，且线段MN的中点为（1，1），则直线l方程为5x+4y9=0【考点】椭圆的简单性质【分析】利用点差法及中点坐标公式，求得直线MN的斜率，根据直线的点斜式公式，即可求得l的方程【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（1，1）是线段MN的中点，则x1+x2=8，y1+y2=4；依题意，得：（x1+x2）（x1x2）=（y1+y2）（y1y2），由=1， =1，由题意知，直线l的斜率存在，kAB=，直线l的方程为：y1=（x1），整理得：5x+4
17、y9=0故直线l的方程为5x+4y9=0，故答案为：5x+4y9=014已知椭圆C： +=1（ab0）的右焦点F，过F斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于点P若=4，则椭圆C的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标Q坐标，求得MN垂直平分线方程，当y=0时，即可求得P点坐标，代入即可求得丨PF丨，即可求得，即可求得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率【解答】解：设直线l的方程为：y=（xc）（k0），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点Q（x0，y0）联立，化为（a2+b2）x22a
18、2cx+a2c2a2b2=0，x1+x2=，x1x2=|MN|=，x0=y0=x0c=，MN的垂直平分线为：y+=（x），令y=0，解得xP=，P（，0）|PF|=cxP=，=4，则=，椭圆C的离心率，当k=0时， =，也成立，椭圆C的离心率故答案为：三、解答题：共6小题，共80分15已知圆C：（x+1）2+（y2）2=25和点P（2，1）（I）判断点P和圆的位置关系；（II）过P的直线被圆C截得的弦长为8，求该直线的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（I）求出|PC|，与半径比较，即可判断点P和圆的位置关系；（II）分类讨论，利用过P的直线被圆C截得的弦长为8，圆心到直线的距离d=3，即
19、可求该直线的方程【解答】解：（I）（2+1）2+（12）2=1025，点P在圆内；（II）过P的直线被圆C截得的弦长为8，圆心到直线的距离d=3，斜率k不存在时，直线方程为x=2，满足题意；斜率存在时，设方程为y1=k（x2），即kxy2k+1=0，圆心到直线的距离d=3，解得k=，直线方程为4x+3y11=0，综上所述，直线的方程为x=2或4x+3y11=016求经过点A（3，2）且与圆x2+y22x+6y+5=0切于点B（0，1）的圆的方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】先利用待定系数法假设圆的标准方程：（xa）2+（yb）2=r2，求出已知圆的圆心坐标与半径，再根据条件圆C过点A（3，
20、2）且与圆x2+y22x+6y+5=0切于点B（0，1），列出方程组可求相应参数，从而可求方程【解答】解：设所求圆方程：（xa）2+（yb）2=r2，已知圆的圆心：（1，3），半径=，由题意可得：（3a）2+（2b）2=r2，（0a）2+（1b）2=r2，（a1）2+（b+3）2=，解得a=5，b=1，r=，所求圆：（x5）2+（y+1）2=517如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别为A1C1，BC的中点（I）求证：平面ABE平面B1BCC1（II）求证：C1F平面ABE（III）求直线CE和平面ABE所成角的正弦【考点】直线与平
21、面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ABE平面B1BCC1（II）求出平面ABE的法向量，利用向量法能证明C1F平面ABE（）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能求出直线CE和平面ABE所成角的正弦值【解答】证明：（）在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别为A1C1，BC的中点，A（0，0），B（0，0，0），A1（0，2），C1（1，0，2），E（
22、，2），=（0，0），=（，2），设平面ABE的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（4，0，1），平面B1BCC1的法向量为=（0，1，0），=0，平面ABE平面B1BCC1（II）F（，0，0），C1（1，0，2），=（，0，2），平面ABE的法向量=（4，0，1），=22=0，C1F平面ABE，C1F平面ABE解：（）C（1，0，0），=（，2），平面ABE的法向量=（4，0，1），设直线CE和平面ABE所成角为，则sin=|cos|=18如图四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCDPAD是正三角形，四边形ABCD是直角梯形，ABCD，AD=CD=2AB，点E为PD中点（I）证明
23、：CD平面PAD（II）证明：平面PBC平面PCD（III）求二面角DPBC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（）由侧面PAD底面ABCD，面PAD面ABCD=AD，可得CD面PAD（）如图以AD的中点为原点，OD、OP方向分别为y轴、z轴建立坐标系，设AB=1，则A（0，1，0），D（0，1，0），P（0，0，），B（1，1，0），C（2，1，0）求出面PBC、面PDC的法向量，利用法向量垂直，得平面PBC平面PCD（） 求出两个面的法向量，利用向量夹角公式求解【解答】解：（）证明：四边形ABCD是直角梯形，ABCD，CDAD，侧面PAD
24、底面ABCD，面PAD面ABCD=AD，CD面PAD（）证明：如图以AD的中点为原点，OD、OP方向分别为y轴、z轴建立坐标系，设AB=1，则A（0，1，0），D（0，1，0），P（0，0，），B（1，1，0），C（2，1，0）设面PBC的法向量为，由，可得，设面PDC的法向量为，由，可得，平面PBC平面PCD（）设面BDP的法向量为，由，可得，cos，二面角DPBC的余弦值为19已知椭圆C： +=1（ab0）的焦点和短轴顶点构成面积为4的正方形（I）求椭圆的标准方程；（II）过焦点F1，F2作互相平行的两条直线，与椭圆分别交于点P，Q，R，S，求四边形PQRS的面积的最大值【考点】椭圆的简单
25、性质【分析】（）根据题意，分析可得a=b=c且a2=4，解可得a=2，b=，代入椭圆的方程计算可得答案；（）根据题意，由椭圆的对称性可得四边形PQRS为平行四边形；且SPQRS=4SPOQ，进而设P（x1，y1），Q（x2，y2）；则SPQRS可以表示为4SPOQ=2|y1y2|，设直线PQ的方程为x=my，联立直线与椭圆的方程可得（my）2+2y24=0，由根与系数的关系可得|y1y2|=4，利用基本不等式分析可得|y1y2|有最大值，又由SPQRS=4SPOQ=2|y1y2|，计算可得答案【解答】解：（）如图：若四边形F1BF2A为正方形，则有a=b=c；又由其面积为4，则有a2=4，即a
26、=2，b=，则椭圆的标准方程为： +=1；（）根据题意，过焦点F1，F2作互相平行的两条直线，与椭圆分别交于点P，Q，R，S，结合椭圆的对称性可得四边形PQRS为平行四边形；且SPQRS=4SPOQ，由（）可得：椭圆的标准方程为： +=1，则其焦点坐标为（，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）；则SPQRS=4SPOQ=4|OF1|y1y2|=2|y1y2|，直线PQ不能与x轴平行，则设其方程为x=my，代入椭圆的方程可得：（my）2+2y24=0，化简可得：（m2+2）y22my2=0，y1+y2=，y1y2=，|y1y2|=4，令t=m2+1，则t1，|y1y2|=4=4，分析可得：
27、当t=1即m=0时，|y1y2|有最大值2，此时SPQRS=4，取得最大值20已知椭圆C： +=1（ab0）的焦点和短轴顶点构成面积为2的正方形（I）求椭圆的标准方程；（II）设A1，A2分别为椭圆C的左右顶点，F为右焦点，过A1的直线与椭圆相交于另一点P，与直线x=相交于点B，以A2B为直径作圆判断直线PF和该圆的位置关系，并给出证明【考点】椭圆的简单性质【分析】（I）由题意可得b=c，a=，由a，b，c的关系可得b=1，进而得到椭圆方程；（II）直线PF和圆的位置关系为相切求出A1（，0），A2，F（1，0），显然直线A1P的斜率存在，设直线A1P的方程为y=k（x+），（k0），代入椭圆
28、方程，求得P的坐标，以及直线PF的斜率和方程，求得B的坐标，以及圆的圆心M的坐标和半径，求得M到直线PF的距离，化简整理与半径比较，即可得到所求结论【解答】解：（I）由椭圆C： +=1（ab0）的焦点和短轴顶点构成面积为2的正方形由题意可得：b=c，则=2，解得b=c=1a2=b2+c2=2椭圆的标准方程是=1；（II）直线PF和圆的位置关系为相切理由：A1（，0），A2，F（1，0），显然直线A1P的斜率存在，设直线A1P的方程为y=k（x+），（k0），代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4k2x+4k22=0，由+xP=，解得xP=，yP=k（xP+）=，即P（，），直线FP的斜率为，则直线FP的方程为y=（x1），可令x=，解得y=2k，即有B（，2k），以A2B为直径作圆，圆心为M（， k），半径为r=k，由圆心到直线PF的距离为d=k=k=r可得直线PF与A2B为直径的圆相切2017年3月31日
