1、第三章 空间向量与立体几何31 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义重点 空间向量加减运算及其几何意义难点 向量加减运算由平面向空间的推广课时作业要点整合夯基础典例讲练破题型课堂达标练经典知识点一 空间向量的有关概念填一填1定义：在空间，把具有和的量叫做空间向量2长度：向量的叫做向量的长度或大小方向大小模4几类特殊向量答一答1向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？2如何理解零向量的方向？提示：不是虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量提示：由于零
2、向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的3你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同知识点二 空间向量的加减运算填一填答一答4空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的5共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对
3、角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线1零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行2单位向量的模都相等且为 1，而模相等的向量未必是相等向量3空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算类型一 空间向量的有关概念【例 1】给出以下命题：若 a，b 是空间向量，则|a|b|是 ab 的必要不充分
4、条件；若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|；两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；若空间向量 m，n，p 满足 mn，np，则 mp；在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，必有ACA1C1；空间中任意两个单位向量必相等其中，正确的命题序号是_【分析】用空间向量的有关概念进行判断【解析】以上命题正确两向量若相等，必须方向相同且模相等但相等的向量起点不一定相同，故错；两个单位向量虽模相等，但方向不一定相同，故错 与平面向量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终
5、点位置无关.(1)把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A一个圆 B两个孤立的点C一个球面D以上均不正确C(2)下列命题中正确的个数是()如果 a，b 是两个单位向量，则|a|b|；两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；若 a，b，c 为非零向量，且 ab，bc，则 ac；空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内A1 个 B2 个C3 个 D4 个C解析：(1)单位向量的模为 1，把所有空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为 1，构成了一个球面(2)对于：由单位向量的定义即得|a|b|1，故正确；对于：共线不一定同向，故错；对于：正确；
6、对于：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内类型二 空间向量的加减运算【例 2】如图，已知正方体 ABCD-ABCD，点 E是上底面 ABCD的中心，求下列各式中 x、y、z 的值(1)BD xAD yABzAA；(2)AExAD yABzAA.【解】(1)BD BD DD BABC DD ABAD AA，又BD xAD yABzAA，x1，y1，z1.(2)AE AA AE AA 12 AC AA 12(ABAD)AA 12AB12AD12AD 12ABAA，又AExAD y
7、ABzAA，x12，y12，z1.灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先观察分析“首尾相接”的向量，使之结合，使用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列各式中运算的结果为向量AC1 的共有()(ABBC)CC1；(AA1 A1D1)D1C1；(ABBB1)B1C1；(AA1 A1B1)B1C1.A1 个 B2 个C3 个 D4 个D解析：(ABBC)CC1 ACCC1 AC1；(AA1 A1D1)D1C1 AD1 D1C1 AC1；(ABBB1)B1C1 AB1 B1C1 AC1；(AA
8、1 A1B1)B1C1 AB1 B1C1 AC1.所以，所给 4 个式子的运算结果都是AC1.故选 D.类型三 有关向量的证明问题【例 3】求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分【分析】解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量AC ABAD AA.【证明】如下图，平行六面体 ABCD-ABCD，设点 O 是 AC的中点，则AO 12AC 12(ABAD AA)设 P、M、N 分别是 BD、CA、DB的中点则APABBPAB12BD AB12(BABCBB)AB12(ABAD AA)12(ABAD AA)同理可证：AM 12(ABAD AA)，AN12(
9、ABAD AA)由此可知 O、P、M、N 四点重合故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处互相平分 利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设 A 是BCD 所在平面外的一点，G 是BCD 的重心求证：AG 13(ABACAD)解：如图，连结 BG，延长后交 CD 于 E，由 G 为BCD 的重心，知BG 23BE.E 为 CD 的中点，BE12BC12BD.AG ABBG AB23BEAB13(BCBD)AB13(ACAB)(AD AB)13(ABACAD).1判断下列命
10、题中为真命题的是()A向量AB与BA的长度相等B将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|AB|BA|，故选项 A 对；选项 B 应为球面；选项 C，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D，向量不相等有可能模相等A2设 A、B、C 为空间任意三点，则下列命题为假命题的是()A.ABBCACB.ABBCCA0C.ABACBCD.ABBAC3如图，在平行六面体 ABCD-ABCD中，ABa，AD b，AA c，则BD，AC.解析：BD BD DD AD ABAA bac，AC AA ACABAD AA abc.bacabc4在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，化简ABCD BCDA 的结果是.2AC5如图所示，已知空间四边形 ABCD，连接 AC、BD，E、F、G 分别是 BC、CD、DB 的中点，请化简(1)ABBCCD；(2)ABGD EC，并标出化简结果的向量 解：(1)ABBCCD ACCD AD，如图中向量AD；(2)E、F、G 分别为 BC、CD、DB 的中点，GD BG，GF 12BC EC，ABGD EC ABBG EC AG GF AF，如图中向量AF.温示提馨请 做：课时作业 19PPT文稿（点击进入）
