1、2016-2017学年吉林省辽源市东辽一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）一选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）A3B4C6D82若直线ax+y1=0与直线4x+（a3）y2=0垂直，则实数a的值（）A1B4CD3一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（）A5B4C3D24已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=2xBy=xCy=xDy=x5若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下面命题正确的是（）A若m，则mB
2、若=m，=n，则C若m，m，则D若，则6动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A（x+3）2+y2=4B（x3）2+y2=1C（2x3）2+4y2=1D（x+3）2+y2=7已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若+，则x、y的值分别为（）Ax=1，y=1Bx=1，y=Cx=，y=Dx=，y=18四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，且PA平面ABCD，PA=AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为（）ABCD9在空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，
3、2，2）画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）ABCD10过双曲线（a0，b0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）ABC2D11若方程有两个不等实根，则k的取值范围（）A（0，）B（，C（，+）D12已知F1、F2是椭圆C：的左右焦点，P是C上一点，3|=4b2，则C的离心率的取值范围是（）ABCD二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，3，则这个球的表面积为14已知P为椭圆+
4、=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为15已知动圆M与圆C1：（x+5）2+y2=16外切，与圆C2：（x5）2+y2=16内切，则动圆圆心的轨迹方程为16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是线段AB上的一点，且CDB1=90，AA1=CD，则点A1到平面B1CD的距离为三解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17如图所示，PA平面ABC，点C在以AB为直径的O上，CBA=30，PA=AB=2，点E为线段PB的中点
5、，点M在上，且OMAC（）求证：平面MOE平面PAC；（）求证：平面PAC平面PCB18已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上（1）求双曲线C的方程；（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程19已知椭圆的左焦点F及点A（0，b），原点O到直线FA的距离为（1）求椭圆C的离心率e；（2）若点F关于直线l：2x+y=0的对称点P在圆O：x2+y2=4上，求椭圆C的方程及点P的坐标20已知四棱锥PABCD中，面ABCD为矩形，PA面ABCD，M为PB的中点，N、S分别为AB、CD上的点，且（1）证明：DMSN；（2）求SN与平面DMN所成角的余弦值21如图，在梯
6、形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=a，ABC=60，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上（1）求证：BC平面ACFE；（2）当EM为何值时，AM平面BDF？证明你的结论；（3）求二面角BEFD的平面角的余弦值22已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程2016-2017学年吉林省辽源市东辽一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，
7、在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1已知椭圆的方程为+=1，则此椭圆的长轴长为（）A3B4C6D8【考点】椭圆的简单性质【分析】利用椭圆的性质求解【解答】解：椭圆的方程为+=1，a=4，b=3，此椭圆的长轴长为2a=8故选：D2若直线ax+y1=0与直线4x+（a3）y2=0垂直，则实数a的值（）A1B4CD【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出【解答】解：当a=3时，两条直线分别化为：3x+y1=0，2x1=0，此时两条直线不垂直，舍去当a3时，由于两条直线相互垂直，a=1，解得a=综上可得：a=故选；C3一空间几
8、何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（）A5B4C3D2【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是一个组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，四棱锥的侧棱长是3，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，写出组合体体积的表示式，解方程即可【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是对角线长度为4的正方形，四棱锥的侧棱长是3，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是x，根据组合体的体积的值，得到12=12，x=3，故选C4已知双曲线=1（a0，b0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=2xBy=
9、xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到【解答】解：由双曲线的离心率为，则e=，即c=a，b=a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x故选D5若m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下面命题正确的是（）A若m，则mB若=m，=n，则C若m，m，则D若，则【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据空间直线与平面的位置关系的定义，判断定理，性质定理及几何特征，逐一分析四个答案中命题的正误，可得答案【解答】解：若m，则m与的夹角不确定，故A错误；若=m，=n，则与可能平行与可能相交，故B错误；若m
10、，则存在直线n，使mn，又由m，可得n，故，故C正确；若，则与的夹角不确定，故D错误，故选：D6动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A（x+3）2+y2=4B（x3）2+y2=1C（2x3）2+4y2=1D（x+3）2+y2=【考点】轨迹方程；中点坐标公式【分析】根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x3，2y），A在圆x2+y2=1上，（2x3）2+（2y）2=1，即（2x3）2+4y2=1故选C7已知正
11、方体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若+，则x、y的值分别为（）Ax=1，y=1Bx=1，y=Cx=，y=Dx=，y=1【考点】棱柱的结构特征；空间向量的加减法【分析】画出正方体，表示出向量，为+的形式，可得x、y的值【解答】解：如图，+（）故选C8四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，且PA平面ABCD，PA=AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】连接BD，与AC交于O点，取PD的中点E，连接OE，AE运用中位线定理，可得AOE即为直线PB与直线AC所成角运用线面垂直的性质和勾股定理，解三角形AOE，即可得到所求值
12、【解答】解：连接BD，与AC交于O点，取PD的中点E，连接OE，AE由中位线定理，可得OEPB，且OE=PB，即有AOE即为直线PB与直线AC所成角由PA平面ABCD，设PA=AB=a，可得直角三角形PAB中，PB=a，OE=a，在等腰直角三角形PAD中，AE=PD=a，在正方形ABCD中，AO=AC=a，则AOE为等边三角形，可得AOE=故选：C9在空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意画出几
13、何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可【解答】解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）几何体的直观图如图，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A10过双曲线（a0，b0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质【分析】根据OMPF，且FM=PM判断出POF为等腰直角三角形，推断出OFP=45，进而在RtOFM中求得半径a和OF的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得【
14、解答】解：OMPF，且FM=PMOP=OF，OFP=45|0M|=|OF|sin45，即a=ce=故选A11若方程有两个不等实根，则k的取值范围（）A（0，）B（，C（，+）D【考点】直线和圆的方程的应用【分析】首先注意到等式左边是一段圆弧x2+y2=4 （y0），右边是条直线y=kx+32k，直线恒过定点（2，3），再考虑直线与圆相切及过点（2，0）两个位置的斜率，从而得解【解答】解：由题意，等式左边是一段圆弧x2+y2=4 （y0）右边是条直线y=kx+32k，直线恒过定点（2，3）根据点到直线的距离小于半径时才有和圆弧所在的圆有两个交点k当直线过点（2，0）时，所以方程有两个不等实根时，
15、故选D12已知F1、F2是椭圆C：的左右焦点，P是C上一点，3|=4b2，则C的离心率的取值范围是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义【分析】利用椭圆定义及基本不等式，寻找几何量的关系，再求离心率的取值范围【解答】解：由3|=4b2，可得，故选D二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，3，则这个球的表面积为16【考点】球的体积和表面积【分析】求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积【解答】解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以球的直径： =
16、4，所以外接球的半径为：2所以这个球的表面积：422=16故答案为：1614已知P为椭圆+=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为7【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a=10圆（x+3）2+y2=1和圆（x3）2+y2=4上的圆心和半径分别为F1（3，0），r1=1；F2（3，0），r2=2由|PM|+r1|PF1|，|PN|+r2|PF2|PM|+|PN|PF1|+|PF2|12=7【解答】解：由椭圆+=1焦点在x轴上，a=5，b=4，c=3，焦点分别为：F1（3，0），F2（3，0
17、）|PF1|+|PF2|=2a=10圆（x+3）2+y2=1的圆心与半径分别为：F1（3，0），r1=1；圆（x3）2+y2=4的圆心与半径分别为：F2（3，0），r2=2|PM|+r1|PF1|，|PN|+r2|PF2|PM|+|PN|PF1|+|PF2|12=7故答案为：715已知动圆M与圆C1：（x+5）2+y2=16外切，与圆C2：（x5）2+y2=16内切，则动圆圆心的轨迹方程为【考点】轨迹方程【分析】设动圆圆心M（x，y），半径为r，则|MC1|=r+4，|MC2|=r4，可得|MC1|MC2|=r+4r+4=8|C1C2|=10，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心M的轨迹方程【解答
18、】解：设动圆圆心M的坐标为（x，y），半径为r，则|MC1|=r+4，|MC2|=r4，|MC1|MC2|=r+4r+4=8|C1C2|=10，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a=8，a=4，b=3双曲线的方程为：（x0）16如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是线段AB上的一点，且CDB1=90，AA1=CD，则点A1到平面B1CD的距离为3【考点】点、线、面间的距离计算【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A1到平面B1CD的距离【解答】解：在直三棱柱ABCA1
19、B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，ACBC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=CD=t，C（0，0，0），D（a，b，0），B1（0，4，t），A（3，0，0），B（0，4，0），设，则（a3，b，0）=（3，4，0），a=33，b=4，即D（33，4，0），=（33，4，0），=（33，44，t），CDB1=90，=25234+9=0，解得=1或，当=1时，D与B重合，点A到面B1CD的距离为3；当=时， =（，0），t=， =（0，4，），设平面B1CD的法向量=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，4，），=（3，0，），点A1到平
20、面B1CD的距离为：d=3综上所述，点A1到平面B1CD的距离为3故答案为：3三解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17如图所示，PA平面ABC，点C在以AB为直径的O上，CBA=30，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OMAC（）求证：平面MOE平面PAC；（）求证：平面PAC平面PCB【考点】平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（1）推导出OEPA，从而OE平面PAC，由OMAC，得OM平面PAC由此能证明平面MOE平面PAC（2）推导出BCAC，PABC，从而BC平面PAC由此能证明平面P
21、AC平面PBC【解答】（本小题满分10分）证明：（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OEPA因为PA平面PAC，OE平面PAC，所以OE平面PAC因为OMAC，又AC平面PAC，OM平面PAC，所以OM平面PAC因为OE平面MOE，OM平面MOE，OEOM=O，所以平面MOE平面PAC（2）因为点C在以AB为直径的O上，所以ACB=90，即BCAC因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC因为AC平面PAC，PA平面PAC，PAAC=A，所以BC平面PAC因为BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC18已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上（1）求双曲线C的方
22、程；（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程【分析】（1）由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C的焦点坐标，利用点在双曲线C上，根据双曲线定义|AF1|AF2|=2a，即可求出所求双曲线C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入A、B在双曲线方程得，两方程相减，借助于P（1，2）为中点，可求弦AB所在直线的斜率，进而可求其方程【解答】解：（1）由已知双曲线C的焦点为F1（2，0），F2（2，0）由双曲线定义|AF1|AF2|=2a，b2=2所求双曲线为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
23、，因为A、B在双曲线上，两方程相减得：得（x1x2）（x1+x2）（y1y2）（y1+y2）=0，弦AB的方程为即x2y+3=0经检验x2y+3=0为所求直线方程19已知椭圆的左焦点F及点A（0，b），原点O到直线FA的距离为（1）求椭圆C的离心率e；（2）若点F关于直线l：2x+y=0的对称点P在圆O：x2+y2=4上，求椭圆C的方程及点P的坐标【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质【分析】（1）由点F（ae，0），点A（0，b）及得直线FA的方程为，由原点O到直线FA的距离为，知，由此能求出椭圆C的离心率（2）设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x+y=0的对称点为P（x0，y0），则有，
24、由此入手能够推导出点P的坐标【解答】解：（1）由点F（ae，0），点A（0，b）及得直线FA的方程为，即，原点O到直线FA的距离为，故椭圆C的离心率（2）解：设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x+y=0的对称点为P（x0，y0），则有解之，得P在圆x2+y2=4上，a2=8，b2=（1e2）a2=4故椭圆C的方程为，点P的坐标为20已知四棱锥PABCD中，面ABCD为矩形，PA面ABCD，M为PB的中点，N、S分别为AB、CD上的点，且（1）证明：DMSN；（2）求SN与平面DMN所成角的余弦值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）取AB中点E，连接EM、ED，
25、推导出EMSN，ESED，由此能证明SNDM解：设PA=1，以A为原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用同量法能求出SN与平面DMN所成角的余弦值【解答】证明：（1）如图，取AB中点E，连接EM、ED，M为PB中点，所以EMPA又PA面ABCD，SN面ABCD，PASN，所以EMSN，所以AED=45过S作SFAB交AB于F则NF=FS，FNS=45ESED又EDME=E，SN平面EDMSNDM解：设PA=1，以A为原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），D（0，1，0），设为平面DMN的一个法向量，则，取x
26、=2，得设SN与平面DMN所成角为SN与平面DMN所成角的余弦值为21如图，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=a，ABC=60，平面ACFE平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上（1）求证：BC平面ACFE；（2）当EM为何值时，AM平面BDF？证明你的结论；（3）求二面角BEFD的平面角的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）由已知中梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=a，ABC=60，我们易求出ACBC，结合已知中平面ACFE平面ABCD，及平面与平面垂直的性质定理，即可得到BC平面ACF
27、E（2）以点ABCA1B1C1为原点，ABC所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，看出AM平面BDF等价于与、共面，也等价于存在实数m、n，使=m+n，根据向量之间的关系得到结论（3）要求两个平面所成的角，根据向量的加减运算做出平面的法向量，二面角BEFD的大小就是向量与向量所夹的角根据向量的夹角做出结果【解答】证明：（1）在梯形ABCD中，ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，且DCA=DAC=30，DCB=120ACB=DCBDCA=90ACBC又平面ACFE平面ABCD，交线为AC，BC平面ACFE解：（2）当时，AM平面BDF，以点C为坐标原点，CF所在直线为z轴，CA、CB所在直线分别
28、为x，y轴，建立空间直角坐标系，则，AM平面BDF与、共面，也等价于存在实数m、n，使=m+n，设=（a，0，0），0，0）=+=（at，0，0）又=（a，a，a），=（0，a，a），从而要使得：成立，需，解得当时，AM平面BDF（3）B（0，a，0），过D作DGEF，垂足为G令=（a，0，0），=+=（a，0，a），=（aa， a，a）由得，即BCAC，ACEF，BCEF，BFEF二面角BEFD的大小就是向量与向量所夹的角=（0，a，a）cos，=，即二面角BEFD的平面角的余弦值为22已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（
29、）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质【分析】（）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（）设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，利用0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程【解答】解：（） 设F（c，0），由条件知，得=又，所以a=2=，b2=a2c2=1，故E的方程（）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0，即时，从而=+又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积=，设，则t0，当且仅当t=2，k=等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x2或y=x22017年1月16日
