1、吉林省长春市2013届高中毕业班第四次调研测试数学文试题命题人:长春市教育局教研本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第卷22题24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.注意事项：1 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀
2、.第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 设集合，则为A. B. C. D. 2. 关于复数，下列说法中正确的是A. 在复平面内复数对应的点在第一象限B. 复数的共轭复数C. 若复数为纯虚数，则D. 设为复数的实部和虚部，则点在以原点为圆心，半径为1的圆上3. 下列函数的图像一定关于原点对称的是A. B. C. D. 4. 已知等比数列的前项和为，且满足，则公比=A. B. C. 2 D. 5. 执行如图所示程序框图，输出的值为A. 11 B. 13C. 15 D. 46
3、. 若在处取得最小值，则A. B. 3C. D. 47. 设函数，则下列关于函数的说法中正确的是A. 是偶函数B. 最小正周期为C. 图象关于点对称D. 在区间上是增函数8. 已知直线：，若以点为圆心的圆与直线相切于点，且在轴上，则该圆的方程为A. B. C. D. 9. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. B. C. D. 10. 如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则A. B. C. D. 11. 已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线的离心率为 A. 2或 B. 或 C. 2或 D. 或12. 已知空间4个球，它们的半径均为2，每
4、个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为A. B. C. D. 第卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设满足约束条件，则的最大值为_.14. 已知为的三个内角的对边，满足，向量，. 若，则角_.15. 给出下列5种说法：在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；标准差越小，样本数据的波动也越小；回归分析就是研究两个相关事件的独立性；在回归分析中，预报变
5、量是由解释变量和随机误差共同确定的；相关指数是用来刻画回归效果的，的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是_（请将正确说法的序号写在横线上）.16. 函数，则函数在区间上的值域是_.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分12分） 数列满足，且.(1) 求数列的通项公式； (2) 若，设数列的前项和为，求证：.18. （本小题满分12分）为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：高茎矮茎合计圆粒
6、111930皱粒13720合计242650(1) 现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；(2) 根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？(下面的临界值表和公式可供参考：P(K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 ，其中)19. （本小题满分12分） 如图，平面四边形的4个顶点都在球的表面上，为球的直径，为球面上一点，且平面，点为
7、的中点. (1) 证明：平面平面；(2) 求点到平面的距离.20. （本小题满分12分）已知、是椭圆的左、右焦点，且离心率，点为椭圆上的一个动点，的内切圆面积的最大值为.(1) 求椭圆的方程；(2) 若是椭圆上不重合的四个点，满足向量与共线，与共线，且，求的取值范围. 21. （本小题满分12分）已知函数.(1) 当时，求函数的单调区间；(2) 当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修41：几何证明选讲. 如图，是的切线，过圆心， 为的直径，与相交于、两点，连结、.
8、 (1) 求证：；(2) 求证：. 23. （本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.在极坐标系内，已知曲线的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.(1) 求曲线的直角坐标方程以及曲线的普通方程；(2) 设点为曲线上的动点，过点作曲线的两条切线，求这两条切线所成角余弦值的取值范围. 24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.设函数，(1) 解不等式；(2) 设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围. 2013年长春市高中毕业班第四次调研测试数学(文科)参考答案及评分标准一、 选择题(本大题包括12小题，每小题
9、5分，共60分)题号123456789101112答案CCBDBBDABCCA简答与提示：1. 【命题意图】本小题通过集合的性质与运算考查学生对集合问题的理解，本题属于基本题.【试题解析】C由题可知，因此，故选C.2. 【命题意图】本小题通过复数的运算与性质考查学生的运算求解能力，本题将复数的考点考查的比较全面，是一道复数的综合题，属于基本题.【试题解析】C由题可知，若为纯虚数，则，故选C.3. 【命题意图】本小题通过三角函数考查复合函数的奇偶性，对学生的函数部分的基础知识加以考查，并且要求学生有一定的数形结合的想象能力. 本小题是一道侧重考查数学概念的基本题.【试题解析】B由奇函数定义可知，
10、函数中，的定义域关于原点对称且，故选B.4. 【命题意图】本小题通过等比数列的求和考查学生的运算求解能力，要求学生全面的地把握本题，通过设置漏洞，以让学生理解等比数列求和的易错点，本小题是一道侧重考查数学基本公式应用的基本题.【试题解析】D由题可知，则，得，因此，故选D.5. 【命题意图】本小题通过程序框图考查学生的逻辑推理能力，要求学生将程序框图读懂，并且理解程序框图的相关作用，本小题是一道基本题.【试题解析】B由程序框图可知：，而后输出值为13，故选B.6. 【命题意图】本小题通过均值不等式考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，本小题是一道基本题.【试题解析】B由，当且仅当即时，取得等号，
11、故选B.7. 【命题意图】本小题通过三角函数图像考查学生的运算求解能力与数形结合思想，本小题是一道基本题.【试题解析】D 由三角函数的性质可知：的单调区间，则，当时，故选D.8. 【命题意图】本小题通过直线与圆的位置关系考查学生的运算求解能力与数形结合思想，本小题是一道基本题.【试题解析】A 由题意，又直线与圆相切于点，且直线的倾斜角为，所以点的坐标为. ，于是所求圆的方程为，故选A.9. 【命题意图】本小题通过三视图考查学生的空间想象能力与运算求解能力，是一道中档难度的试题.【试题解析】B由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥，则，故选B.10. 【命题意图】本小题通过平面向量考
12、查学生的运算求解能力，同时也考查学生的数形结合思想，是一道中档难度的试题.【试题解析】C设与同方向的单位向量分别为，依题意有，又，则，所以. 故选C.11. 【命题意图】本小题通过双曲线考查学生的推理论证能力与运算求解能力，进而考查学生化归与转化的数学思想，是一道中档难度的试题.【试题解析】C由题可知，双曲线渐近线的倾角为或，则或. 则或，故选C.12. 【命题意图】本小题通过具体的立体几何考查学生的空间想象能力与运算求解能力，着重考查几何体中点线面的关系问题，是一道较难的试题.【试题解析】A由题意可知，小球球心为正四面体的中心，到顶点的距离为，从而所求小球的半径. 故选A. 二、填空题(本大
13、题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 6 14. 15. 16. 简答与提示:13. 【命题意图】本小题通过线性规划问题考查学生的运算求解能力，是一道基本题.【试题解析】如图所示，在线性规划区域内，斜率为的直线经过该区域并取最大值时，该直线应过点，因此的最大值为6. 14. 【命题意图】本小题通过解三角形考查学生的运用公式的求解问题的能力，是一道基本题.【试题解析】由，可知，于是，再由可得，解得：，所以.15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题.【试题解析】由统计学的相关定义可知，的说法正确. 16. 【命题意图】本小题通过导数的
14、基本知识考查学生的推理论证能力，是一道中档难度的综合试题.【试题解析】由，令，则，则，即，由导函数的性质可求得在区间上的值域为. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分)17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要通过递推数列通项公式的求取，考查对考生的运算求解能力、逻辑推理能力，对考生化归与转化的数学思想提出较高要求.本题属于基础试题，难度相对较低.【试题解析】解：(1) 由可知，所以数列是公差为1的等差数列.由等差数列的通项公式可知，.所以.(6分)(2) 由(1)可得，则的前项和. (12分)18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题通过统计与概率的相关知识，
15、具体涉及到随机变量的分布列、数学期望的求法和统计案例中独立性检验等知识内容，考查学生对数据处理的能力，对考生的运算求解能力、推理论证能力都有较高要求. 本题属于统计概率部分综合题，对考生的统计学的知识考查比较全面，是一道的统计学知识应用的基础试题.【试题解析】解：(1) 依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为，矮茎4株，记为，从中随机选取2株的情况有如下15种：.其中满足题意的共有8种，则所求概率为.(6分)(2) 根据已知列联表：高茎矮茎合计圆粒111930皱粒13720合计242650所以.又，因此能在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关. (12分)1
16、9. (本小题满分12分)【命题意图】本小题通过立体几何的相关知识，具体涉及到直线与直线垂直的判断、线面的平行关系的判断以及二面角的求法等有关知识，考查考生的空间想象能力、推理论证能力，对学生的数形结合思想的考查也有涉及，本题是一道立体几何部分的综合题，属于中档难度试题.【试题解析】(1) 证明：且，则平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.(6分)(2) 由图可知，即则，即点到平面的距离为. (12分)20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查，具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识，提示考生对圆锥曲线的综合题
17、加以重视，本题主要考查考生的推理论证能力，运算求解能力、化归与转化以及数形结合的数学思想.【试题解析】解：(1)由几何性质可知：当内切圆面积取最大值时，即取最大值，且.由得又为定值，综上得；又由，可得，即，经计算得，故椭圆方程为.(5分)(2) 当直线与中有一条直线垂直于轴时，.当直线斜率存在但不为0时，设的方程为：，由消去可得，代入弦长公式得：，同理由消去可得，代入弦长公式得：，所以令，则，所以，由可知，的取值范围是. (12分)21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要通过函数与导数综合应用问题，具体涉及到用导数来研究函数的单调性等知识内容，考查考生的运算求解能力，推理论证能力，其
18、中重点对导数对函数的描述进行考查，本题是一道难度较高且综合性较强的压轴题，也是一道关于数列拆分问题的典型例题，对今后此类问题的求解有很好的导向作用.【试题解析】解：(1) 当时，由解得，由解得.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(6分)(2) 因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，、设()，只需即可由，(i) 当时， ，当时，函数在上单调递减，故成立 (ii) 当时，由，因，所以， 若，即时，在区间上，则函数在上单调递增，在上无最大值，当时，此时不满足条件； 若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，当时，不满足条件(iii) 当时
19、，由，故函数在上单调递减，故成立综上所述，实数a的取值范围是 (12分)22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到共圆图形的判断和圆的性质以及两个三角形全等的判断和应用等有关知识内容.本小题针对考生的平面几何思想与数形结合思想作出考查.【试题解析】解：(1) 由是圆的切线，因此弦切角的大小等于夹弧所对的圆周角，在等腰中，可得，所以.(5分)(2) 由与相似可知，由切割线定理可知，则，又，可得. (10分)23. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及有关距离等知识内容.【试题解析】解：(1) 对于曲线的方程为，可化为直角坐标方程，即；对于曲线的参数方程为（为参数），可化为普通方程. (5分)(2) 过圆心点作直线的垂线，此时两切线成角最大，即余弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知，则，因此，因此两条切线所成角的余弦值的取值范围是. (10分) 24. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式证明以及解法等内容.【试题解析】解：(1) 由条件知，由，解得.(5分)(2) 由得，由函数的图像可知的取值范围是. (10分)
