1、7.3三角函数的图象和性质7.3.1三角函数的周期性学 习 任 务核 心 素 养1理解周期函数的定义(难点)2知道正弦函数、余弦函数的最小正周期(重点)3会求函数yAsin(x)和yAcos(x)以及yAtan(x)的周期(重点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.观察下列图象，这些图象具有怎样的共同规律？知识点1周期函数的定义(1)设函数yf(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的xA，都有xTA，并且f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，
2、那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2.1.单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由提示由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同即有sin(2x)sin x故正弦函数、余弦函数也具有周期性2.所有的周期函数都有最小正周期吗？提示并不是所有的周期函数都有最小正周期，
3、譬如，常数函数f(x)C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)周期函数都一定有最小正周期()(2)周期函数的周期只有唯一一个()(3)周期函数的周期可以有无数多个()答案(1)(2)(3)知识点2正弦函数、余弦函数、正切函数的周期一般地，函数yAsin(x)及yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T.函数yAtan(x) (其中A，为常数，且A0，0)的周期为.3.6是函数ysin x(xR)的一个周期吗？提示是2.函数ysin的周期是_2T2. 类型1求三角函数的周期【例1】求下列函数的最小正周期(1)f(x)2sin；
4、(2)f(x)2tan；(3)y|sin x|；(4)f(x)2cos(a0)解(1)T6，最小正周期为6.(2)T，最小正周期为.(3)由ysin x的周期为2，可猜想y|sin x|的周期应为.验证：|sin(x)|sin x|sin x|，由周期函数的定义知y|sin x|的最小正周期是.(4)T，最小正周期为.利用公式求yAsin(x)或yAcos(x)的最小正周期时，要注意的正负，公式可记为T.跟进训练1求下列函数的最小正周期(1)f(x)2cos；(2)f(x)tan；(3)f(x)|cos x|；(4)f(x)3sin.解(1)T函数最小正周期为.(2)T 函数ytan的最小正周
5、期为.(3)T y|cos x|的最小正周期为(4)T8 y3sin的最小正周期为8. 类型2周期性的应用【例2】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x时，f(x)sin x，求f 的值解f(x)的最小正周期是，f f f .又f(x)是R上的偶函数，f f sin，f .1(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f 的值解f(x)的最小正周期为，f f f ，f(x)是R上的奇函数，f f sin ，f .2(变结论)本例条件不变，求f 的值解f(x)的最小正周期为，f f f ，f(x)是R上的偶函数，ffsin .f .函数
6、的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解跟进训练2若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)6，则f(1)f(6)_.6因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)f(1) f(1)6，则f(1) 6.因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，所以f(2)f(2)，f(2)f(2)，所以f(2)f(2)0，所以f(6) f(2)0，即f(1)f(6)6.1函数y3sin的最小正周期为()A BC D2CT.2函数f(x)tan的最小正周期为()A2 B4 C DAT2.3若函数ycos(0)的最小正周期是，则_.2T，2.0，2.4若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)2，则f(4)_.2f(4)f(22)f(2)2.5若f(x)是以为周期的奇函数，且f 1，则f 的值为_1f(x)是以为周期的奇函数，f f f f f f f ，又f 1，f f 1.回顾本节知识，自我完成以下问题1求三角函数周期的方法是什么？提示(1)定义法，即利用周期函数的定义求解(2)公式法，T.(3)观察法，观察函数的图象2若函数f(xa)(a0)则函数的周期是多少？提示2af(xa)af(x)，f(x2a)f(x)
