1、7.1.2弧度制学 习 任 务核 心 素 养1了解弧度制的含义和引入弧度制的意义2会进行弧度与角度的互化(重点、难点)3掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式(难点、易错点)1通过对弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象素养2借助弧度制与角度制的换算，提升学生的数学运算素养.在初中，我们是如何求一个扇形的弧长的？在弧长公式中，角是如何度量的？度量的单位是什么？它的1个单位是怎么定义的？用这种单位制来度量角叫做什么制？除了上面用“度”作为单位来度量角的角度外，我们有没有其他的方式来度量角呢？知识点1弧度制的概念(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制(2)弧度制：把
2、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，记作1 rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制1.“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？提示“1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关2.比值与所取的圆的半径大小是否有关？提示一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度()答案(1)(2)(3)知识点2角度制与弧度制的换算(1)角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度3602 r
3、ad2 rad360180 rad rad1801rad0.017 45 rad1 rad度57.30(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0130456090弧度0角度120135150180270360弧度2(3)任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.3.角度制与弧度制之间如何进行换算？提示利用1rad0.017 45 rad和1 rad57.30进行弧度与角度的换算2.将下列弧度与角度互化(1)化为角度为_；(2)105化为弧度为_(1)252(2)(1)252.(2)105105 rad rad.知识点3扇形的弧长公式及面积公式(
4、1)弧度制下的弧长公式：如图，l是圆心角所对的弧长，r是半径，则圆心角的弧度数的绝对值是|，弧长l|r.特别地，当r1时，弧长l|.(2)扇形面积公式：在弧度制中，若|2，则半径为r，圆心角为的扇形的面积为Sr2lr.(3)引入弧度制的意义角的概念的推广后，角的集合与弧度数的集合之间建立了一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系；每一个角都对应唯一的一个实数，反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角，为以后三角函数的建立奠定了基础3.半径为1，圆心角为的扇形的弧长为_，面积为_，r1，弧长lr，面积lr1. 类型1角度制与弧度制的互化【例1】把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1
5、)450；(2)；(3)；(4)11230.解(1)450450 rad rad.(2) rad18.(3) rad240.(4)11230112.5112.5 rad rad.角度制与弧度制换算的要点提醒：角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把角度化成弧度跟进训练1将下列角度与弧度进行互化(1)(2)(3)1440(4)6730解(1) rad108.(2) rad15.(3)144014408.(4)673067.567.5. 类型2用弧度制表示角的集合【例2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)解(1).(2).(3).1
6、弧度制下与角终边相同的角的表示在弧度制下，与角的终边相同的角可以表示为|2k，kZ，即与角终边相同的角可以表示成加上2的整数倍2根据已知图形写出区域角的集合的步骤(1)仔细观察图形(2)写出区域边界作为终边时角的表示(3)用不等式表示区域范围内的角提醒：角度制与弧度制不能混用跟进训练2用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2 024是不是这个集合的元素解因为150，所以终边在阴影区域内角的集合为S因为2 0242245360 rad，又.所以2 024S. 类型3扇形的弧长及面积问题【例3】已知扇形的周长为8 cm.(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；(2
7、)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角解设扇形的半径为r，弧长为l，扇形面积为S.(1)由题意得：2rl8，l2r，解得r2，l4，Slr4.(2)由2rl8得l82r，r(0,4)，则Slr(82r)r4rr2(r2)24，当r2时，Smax4，此时l4，圆心角2.1(变条件，变结论)本例条件下，若扇形面积为3 cm2，求扇形的圆心角的弧度数解设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，扇形面积为S.由题意得：解得l6，r1或l2，r3，所以6或.2(变条件，变问法)本例条件中“周长为8 cm”改为“面积为8 cm2”，在(1)的条件下求该扇形的弧长解设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为
8、S，则由Sr2得82r2，所以r2，所以lr224(cm)弧度制下有关扇形弧长、面积问题的解题策略及其注意点(1)解题策略：明确弧度制下扇形弧长公式l|r，扇形的面积公式Slr|r2(其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解(2)注意点：在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负看清角的度量制，选用相应的公式扇形的周长等于弧长加两个半径长跟进训练3已知扇形OAB的周长是10 cm，面积为4 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数解设扇形圆心角的弧度数为
9、(02(舍去)，当r4时，l2(cm)，此时 rad.所以扇形OAB的圆心角的弧度数为 rad.1(多选题)下列转化结果正确的是()A60化成弧度是B化成度是600C150化成弧度是D化成度是15ABD对于A,6060；对于B，180600；对于C，150150；对于D，18015.故ABD正确2已知2 rad，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C2 rad257.30115，在第三象限3半径为1，圆心角为的扇形的面积是()ABCDDSlrr212.4若把570写成2k(kZ,02)的形式，则_.5704.5若扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的半径为_cm，圆心角的弧度数为_12设扇形所在圆的半径为r cm，扇形弧长为l cm.由题意得解得所以2.因此扇形的圆心角的弧度数是2，半径为1 cm.回顾本节知识，自我完成以下问题1弧度制与角度制互化公式是什么？提示1 rad，10 rad.2角度制与弧度制互化的关键与方法是什么？提示关键：抓住互化公式 rad180，方法：度数弧度数，弧度数度数3若角度中含有分、秒该如何化为弧度？提示应先将分、秒化成度，再化成弧度4在表示终边相同的角时应注意什么问题？提示角度与弧度不能混用在表示角时要么全部用弧度制，要么全部用角度制
