1、21.1合情推理填一填1.归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(2)特征：由部分到整体，由个别到一般2类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)(2)特征：由特殊到特殊的推理3合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理(2)推理的过程判一判1.由个别到一
2、般的推理为归纳推理()解析：符合归纳推理的特征，故正确2类比推理得到的结论可作为定理应用()解析：类比得到的结论不一定是正确的，故错误3统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理()解析：符合由特殊到一般的特征，故正确4在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()解析：平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，故错误5.，由此猜想：0，则由dn_(nN*)构造的新数列dn也是等比数列解析：由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性等差数列与等比数列的类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比由此猜想dn(nN*)答案
3、：知识点一归纳推理1.数列2,5,11,20，x,47中的x等于()A28 B32C33 D27解析：由前几个数字可归纳出此列数字为：2,5,11,20,32,47，答案为B项答案：B2观察下列各等式：2，2，2，2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.2B.2C.2D.2解析：观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A项正确答案：A3如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，第n层，第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问
4、题：(1)按照要求填表：n1234Sn136(2)S10_解析：S11，S2312，S36123，推测S4123410，S101231055.答案：(1)10(2)554在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，由此猜想凸n边形有几条对角线？解析：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，于是猜想凸n边形的对角线条数比凸(n1)边形多(n2)条对角线，由此凸n边形的对角线条数为2345(n2)，由等差数列求和公式可得n(n3)(n4，nN*)所以凸n边形的对角线条数为n(n3)(n4，nN*)
5、.知识点二类比推理5.由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”其中类比结论正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：由向量的有关运算法则知正确，都不正确，故选B.答案：B6类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边长的一半；(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和
6、大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有()A(1) B(1)(2)C(1)(2)(3) D都不对解析：以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确答案：C7我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线AxByC0的距离公式为d.通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到平面x2y2z30的距离为()A3 B5C. D3解析：类比点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离公式d，可知在空间中，点P
7、(x0，y0，z0)到平面AxByCzD0的距离d.点(2,4,1)到平面x2y2z30的距离d5.答案：B8在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为，则cos2cos21，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明解析：如图，在矩形ABCD中，cos2cos2221.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2cos2cos21，证明如下：如图，cos2cos2cos22221.基础达标一、选择题1已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S，可推知扇形的面积S扇()A. B.C. D不可类比答案：C2由“若ab，则acbc”得到“若ab，则ac
8、bc”采用的是()A归纳推理 B演绎推理C类比推理 D数学证明答案：C3定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应图中的，那么图中的所对应的运算结果是()AB*D，A*D BB*D，A*CCB*C，A*D DC*D，A*D解析：由图中得，A表示“|”，B表示“”，C表示“”，D表示“”，故图中所对应的运算结果分别为B*D和A*C.故选B.答案：B4观察下列各式：7249,73343,742 401，则72 018的末两位数字为()A01 B43C07 D49解析：因为717,7249,73343,742 401,7516 807，76117 649，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且
9、周期T4.又2 01845042，所以72 018的末两位数字与72的末两位数字相同，为49.答案：D5有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26 B31C32 D36解析：方法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.方法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6块有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹
10、正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：65(61)31.故选B.答案：B6n个连续自然数按规律排列(如图所示)根据规律，从2 016到2 018，箭头的方向依次是()A BC D解析：观察数字排列的规律知，位置相同的数字是以4为公差的等差数列，故可知从2 016到2 018的箭头的方向依次为.故选A.答案：A7设n棱柱有f(n)个对角面，则(n1)棱柱的对角面的个数f(n1)等于()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：对于n棱柱，由于过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能确定一个对角面，所以过每一条侧棱可确定(n3)个
11、对角面，所以过n条侧棱可确定n(n3)个对角面，又因为这些对角面相互之间重复计算了，所以过n条侧棱共可确定个对角面，所以可得f(n1)f(n)n1，故f(n1)f(n)n1.故选C.答案：C二、填空题8在ABC中，D为BC的中点，则，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：_.解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线答案：在四面体ABCD中，G是BCD的重心，则9在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程AxBy0(A，B不同时为0)表示过原点的直线类似地：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程AxByCz0(A，B，C不同时为0)表示_解析：平面
12、几何中的直线类比到立体几何中应为平面，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程AxByCz0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面答案：过原点的平面10观察由火柴棒拼成的一系列图形(如图所示)，第n个图形是由n个正方形组成通过观察可以发现：在第4个图形中，火柴棒有_根；第n个图形中，火柴棒有_根解析：第1个图形有4根火柴棒，第2个图形有7根火柴棒，第3个图形有10根火柴棒，第4个图形有13根火柴棒，猜想第n个图形有(3n1)根火柴棒答案：133n111蜜蜂被认为是自然界中杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第1个图有1个蜂巢，第2个图有7
13、个蜂巢，第3个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则f(n)_.解析：由题可得，f(4)37，f(5)61.由于f(2)f(1)716，f(3)f(2)19726，f(4)f(3)371936，f(5)f(4)613746，因此，当n2时，有f(n)f(n1)6(n1)，所以f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)6(n1)(n2)2113n23n1.又f(1)1312311，所以f(n)3n23n1.答案：3n23n112设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前
14、n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，成等比数列答案：三、解答题13已知数列an的通项公式为an(nN*)，记f(n)(1a1)(1a2)(1an)，试计算f(1)，f(2)，f(3)的值，并推测出f(n)的表达式解析：因为a1，a2，a3，所以f(1)1a1，f(2)(1a1)(1a2)，f(3)(1a1)(1a2)(1a3)，推测f(n)(nN*)14在RtABC中，若C90，ACb，BCa，则ABC外接圆半径r.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，
15、b，c，求其外接球的半径R.解析：通过类比可得R.证明过程为：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.能力提升15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图，为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值解析：(1)f(5)41.(2)因
16、为f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上面规律，得出f(n1)f(n)4n.因为f(n1)f(n)4nf(n1)f(n)4nf(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(n3)4(n1)4(n2)4(n3)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.(3)当n2时，.所以11.16如图(1)，在三角形ABC中，ABAC，若ADBC，则AB2BDBC.若类比该命题，如图(2)，三棱锥ABCD中，AD平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是不是真命题解析：命题是：三棱锥ABCD中，AD平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有SSBCMSBCD.此命题是一个真命题证明如下：在图(2)中，延长DM交BC于E，连接AE，则有DEBC.因为AD平面ABC，所以ADAE.又AMDE，所以AE2EMED.于是S2SBCMSBCD.
