1、选修11 第三章测试卷(时间：90分钟满分：150分)一、选择题(共12小题，满分60分，每小题5分)1函数f(x)(x2a)(xa)2的导数为()Af(x)2(x2a2) Bf(x)2(x2a2)Cf(x)3(x2a2) Df(x)3(x2a2)解析：由f(x)(x2a)(xa)2(x2a)(x22axa2)x33a2x2a3，所以，f(x)(x33a2x2a3)3(x2a2)，故选C.答案：C2若函数yx3log2xex，则y()A.x4ex B.x4exC3x2ex D3x2ex解析：因为yx3log2xex，所以y3x2ex，故选C.答案：C3函数f(x)2xln x的图象在x1处的切
2、线方程为()Axy10 Bxy10C2xy10 D2xy10解析：当x1时，f(1)202，所以切点为(1，2)，由题得f(x)2，kf(1)21，所以切线方程为y21(x1)，即：xy10.故选A.答案：A4以下四个数中，最大的是()Aln B.C. D.解析：由题意，令f(x)，则f(x)，所以xe时，f(x)0，f(x)在(e，)上递减，又由e3f(3)f()f(15)，则ln eln 3ln ln ln 15ln 15，即lnln 15，故选B.答案：B5下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Aysin x Byxe2Cyx3x Dyln xx解析：只有B中ye20在(0，)内恒成立
3、答案：B6已知当m，n1,1时，sinsinn B|m|n|Cm0，f(x)单调递增，又由m3sinn3sin，所以f(m)f(n)，即m0；x时h(x)g(x0)成立，则实数a的取值范围为()A1，) B(1，)C0，) D(0，)解析：设h(x)f(x)g(x)ax2ln x，则h(x)a.若a0，h(x)在1，e上的最大值为h(1)a0，不存在x01，e，使得h(x0)0，即f(x0)g(x0)成立；若a0，则由h(1)a0知，总存在x01使得f(x0)g(x0)成立故实数a的范围为(0，)故选D.答案：D10设点P是曲线f(x)x2ln x上的任意一点，则P到直线xy20的距离的最小值
4、为()A. B2C2 D3ln 2解析：因为点P是曲线f(x)x2ln x上的任意一点，当点P是曲线的切线中与直线xy20平行的直线的切点时，距离最小，由xy20的斜率是1，得y121，解得：x1，所以可得P点坐标(1,1)，点P到直线xy20的距离的最小值为：2，故选C.答案：C11已知函数f(x)Acos(x)A0，0，|的图象如图所示，令g(x)f(x)f(x)，则下列关于函数g(x)的说法中正确的是()A若函数h(x)g(x)2的两个不同零点分别为x1，x2，则|x1x2|的最小值为B函数g(x)的最大值为2C函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线y3x1平行D函数g(
5、x)图象的对称轴方程为xk(xZ)解析：由图象可知，A2，T2，1，f(x)2cos(x)，f2cos2，且|，f(x)2cos，g(x)f(x)f(x)2cos2sin2cos，由h(x)g(x)20可得cos，则|x1x2|的最小值为，故A项正确；结合余弦函数的性质可知，f(x)的最大值为2，故B项错误；根据导数的几何意义可知，过点P的切线斜率kf(x)2sin2，2，不存在斜率为3的切线方程，故C项错误；令xk可得，xk，kZ，故D项错误，故选A.答案：A12已知函数f(x)x31a(xe，e是自然对数的底数)与g(x)3ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是()A0
6、，e34 B1，e34C1，e33 De，e33解析：根据题意，若函数f(x)x31a(xe，e是自然对数的底数)与g(x)3ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则方程x31a3ln x在区间上有解，x31a3ln x即a1x33ln x，即方程a1x33ln x在区间上有解，设函数h(x)x33ln x，其导数h(x)3x2，又h(x)0在x1有唯一的极值点，分析可得：当x1时，h(x)0，h(x)为减函数，当1xe时，h(x)0，h(x)为增函数，故函数h(x)x33ln x有最小值h(1)1，又由h3，h(e)e33，比较得h0.请你给出一个满足上述两个条件的函数yf(x)的例子_解析
7、：依题意可知，ysin x1有极大值2，也有极小值0；且满足x0,1，f(x)0.答案：ysin x116已知函数f(x)|ln x|ax有三个零点，则实数a的取值范围是_解析：由函数f(x)|ln x|ax有三个零点，可转化为y|ln x|与直线yax有三个不同的交点，显然a0时不满足条件当a0时，若x1，设切点坐标为(x0，ln x0) ，由yln x得y，所以切线斜率为，因此，切线方程为：yln x0(xx0) ，由切线过原点，得x0e ，此时切线的斜率为.故当0a1，直线yax与y|ln x|有两个交点；当0x1时，直线yax与y|ln x|有一个交点，结合图象可得0a0时，令f(x)
8、0，得x，所以函数f(x)在上单调递增；令f(x)0，得x0时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减；(2)当a2时，由(1)知，函数f(x)在上单调递减，在(1，e上单调递增故f(x)minf(1)1，又因为f23,5.292.722f(e)e222.8225.84，故f(x)maxf(e)e22.19(12分)设函数f(x)定义在(0，)上，f(1)0，导函数f(x)，g(x)f(x)f(x)求g(x)的单调区间和最小值解析：由题设易知f(x)ln x，g(x)ln x，g(x)，令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间，因此，x1是g(x)的
9、唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.20(12分)已知函数f(x)ln xax2(a2)x，aR.讨论f(x)的单调性解析：因为f(x)ln xax2(a2)x所以f(x)2axa2(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上是单调增函数；当a0，当x时，f(x)0，f(x)在上单调递增，在上单调递减综上，当a0时，f(x)在(0，)上是单调增函数，当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减21(12分)已知函数f(x)x3x2bxc，(1)若f(x)在(，)上是增函数，求b的取值范围；(2)若f(x)在x1处取得极值，且x1,2时，f(x)c2恒成立，求
10、c的取值范围解析：(1)由f(x)x3x2bxc得，f(x)3x2xb.f(x)在(，)上是增函数，112b0，解得b.故b的取值范围为.(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)2b0，b2.故f(x)x3x22xc，f(x)3x2x2.由f(x)0，解得x或x1.当x0，当x1时，f(x)1时，f(x)0，故f(x)在x处取得极大值，fc.当x1,2时，f(1)c，f(2)2c.此时，f(x)maxf(2)2c.由题意得，2c2或c0)当a0时，f(x)0，即f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0，解得：x.当x时，f(x)0f(x)在上单调递减，在上单调递增(2)证明：由已知得：h(x)x22ln xx22，则h(x)2x1，x0，x11，(x1)(1)1，2(x1)(1)0，当x(0,1)时，10，则h(x)0，则h(x)0，h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又h(1)12ln 11220，h(x)在(0，)上有唯一零点
