1、5.5.2 简单的三角恒等变换（一）学习了和(差)角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为提高我们的推理、运算能力提供了新的平台.1.巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式，利用二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式 2.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换.(重点、难点）3.体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高推理能力.数学运算：通过简单的三角恒等变换，培养数学运算的核心素养 cos22与有什么关系？那么能用的三角函数表示出来吗？222cossin,cos,tan222反之，能用表示吗？提示：能 思考 2221c
2、ossin,cos,tan.222例试 以表 示2因为是角，解：的二倍微课1 二倍角公式的变形 22cos1 2sin.21sin.22 所以即cos=222cos2cos121coscos.221tan.21cos由，得所以有cos=21 cossin=22，21coscos.22公式说明:从左到右降幂扩角，从右到左升幂缩角.也称为降幂公式.升幂降幂1 cossin,221 coscos,221 costan,21 cos 例1的结果还可以表示为：并称之为半角公式.符号由 所在象限决定.2思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换，由于不同的三角
3、函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点 提示:已知 cos 45，32，2，则 sin2等于()A 1010B.1010C.310 3D35【解析】选 B.由题意知234，sin20，sin21cos 2 1010.B【变式练习】【方法规律】1若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论 2由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：(1)先化简所求的式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)微课2 和角公式的变形 1sinco
4、ssinsin;2sinsin2sincos.22例2 求证：（1）（2）这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？提示：一边是积，一边是和。sinsincoscossinsinsincoscossin.(1)因明：为，证将以上两式的左右两边分别相加，得 sinsin=2sincos.1sincossinsin.2即（）由(1)得：sinsin2sincos,设,22那么 把 的值代入上式中得 ,sinsin2sincos.22 三角变换，应注意三角函数种类和式子结构特点的变化，分析透彻.找到它们之间的联系，即学会“三看”看角、看函数名称、看式子结构.1.在例2证明过程中，如果不用（1）的结
5、果，如何证明（2）？.2222令，利用和差角公式展开，仿照（1）求解.+=+=思考：提示:2.在例2的证明中，用到哪种数学思想？换元的思想，如把看作，把看作，从而把含有，的三角函数式变换成，的三角函数式.+提示:2sin1cos,tan 21122 已知则等于（）.A.2 B.C.或不存在 D.不存在C1+cos0tan 2sinsincos2221cos0tan 2coscoscos2222sincossin122.1cos 22coscos22 当时，不存在；当时，【解析】选C.【变式练习】21 cossin=22，21coscos.221.降幂公式 2.公式的灵活应用:正用、逆用、变形应
6、用.4.换元思想.3.三角变换要三看：看角、看函数名称、看式子结构.三角恒等变换公式转换 22tantan 2=1tantantantan()1tantan 2222cos2=cossin=2cos1=1 2sinsin 2=2sincos SCCS（）（）（）（）221 cos=2cos 21 cos=2sin 21sincos=sin()sin()21cossin=sin()sin()21coscos=cos()cos()21sinsin=cos()cos()2 1 cossin 221 coscos 22 1 cossin1 costan=21 cos1 cossin ABABsin A
7、sin B=2sincos22ABABsin Asin B=2cossin22ABABcosAcosB=2coscos22ABABcosAcosB=2sinsin22相除相除变形相除相加减移项,2 令AB 简单的三角 恒等变换（一）使用半角公式时注意角的范围 三角恒等变换的方法：变角；变名；变式 降幂公式 半角公式 数学运算：通过简单的三角恒等变换，培养数学运算的核心素养 1函数 ysinx3 sinx3 的最大值是()A2 B1 C.12 D.3 【解析】选 B.y2sin xcos 3 sin x B 2.使函数 f(x)sin(2x)3cos(2x)为奇函数的 的一个值是()A.6 B.
8、3 C.2 D.23 【解析】选 D.f(x)sin(2x)3cos(2x)2sin2x3.当 23时，f(x)2sin(2x)2sin 2x.D 3.已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是_【解析】设 为该等腰三角形的一底角，则 cos 23，顶角为 1802.sin(1802)sin 2 2sin cos 21232234 59.4 59 4、已知 sin35，372，则 tan2_.-3 解析：根据角 的范围，求出 cos 后代入公式计算，即由 sin35，372，得 cos45，从而 tan2sin1cos351453.4sin,sin,cos,tan522225.已知且，试求的值.cos先求的值，再利用倍角公式的变形公式求半角的三角分析：函数值.24sin,5 231 sin.5.422 因为，所以解：cos21 cos4sin.2252 5sin.25所以21cos1cos.2255cos.25sin 2tan2.2cos 22212 sincos1tan.cossin1tanxxxxxx6、求证:2222sincos2sin coscossin左=明：xxxxxx证边2(sincos)cossin(cossin)(cossin)sincosxxxxxxxxxx1tan=1tan xx右边 不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的。贝尔奈