1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义1掌握1类运算方法向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算2把握1种思路用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量，则
2、，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法3记住3个常用结论(1)以AB，AD为邻边作ABCD，且a，b，则对角线所对应的向量ab，ab.(2)在ABC中，若D为BC的中点，则()(3)在ABC中，若G是ABC的重心，则0.知识点一向量的数乘运算1已知实数m，n和向量a，b，给出下列说法：m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana(a0)，则mn.其中，正确的说法是()ABC D解析：选B易知和正确；中，当m0时，mamb0，但a与b不一定相等，故不正确；中，由mana，得(mn)a0，因为a0，所以mn，故正确故选B.2(2018山
3、西朔州怀仁一中期末)化简(ab)(2a4b)(2a13b)_.解析：原式abababab0a0b000.答案：03.(2019四川绵阳开元中学期末)如图，平行四边形OADB中，向量a，b，且，试用a，b表示，.解：ab，(ab)，b(ab)babab.由ab，得ab.ab.知识点二共线向量定理应用4已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有()a5e1，b7e1；ae1e2，b3e12e2；ae1e2，b3e13e2.A BC D解析：选A中，a与b显然共线；中，因为b3e12e266a，故a与b共线；中，设b3e13e2k(e1e2)，得无解，故a与b不共线故选A.5若非零向
4、量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析：向量a，b不平行，a2b0.又向量ab与a2b平行，存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则解得.答案：6已知e、f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足e2f，4ef，5e3f.(1)将用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形解：(1)(e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f.(2)证明：因为8e2f2(4ef)2，所以根据数乘向量的定义，知与同向，且|2|，所以在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD是梯形1下列说法中正确的是()Aa与a的方向不是相同就是相反B若a，b共
5、线，则baC若|b|2|a|，则b2aD若b2a，则|b|2|a|解析：选D显然当b2a时，必有|b|2|a|.故选D.2如图，AB是O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，a，b，则()Aab BabCab Dab解析：选D连接CD，OD，如图所示点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，ACCD，CADDAO30.OAOD，ADODAO30，CADADO，ACDO.由ACCD，得CDACAD30，CDADAO，CDAO，四边形ACDO为平行四边形，ab.故选D.3(2018江西临川一中月考)设D，E，F分别是ABC的边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，则与()A反向平行 B同向平行
6、C一定不平行 D不能判断两个向量的关系解析：选A()，故选A.4已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足，则点P一定为()AAB边中线的中点BAB边中线的三等分点(非重心)CBC边中线的中点DAB边的中点解析：选BO是ABC的重心，0，点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心)故选B.5(2019安徽太和中学高一期中)已知a，b是不共线的向量，a2b，a(1)b，且A，B，C三点共线，则实数的值为()A1 B2C2或1 D1或2解析：选D由于A，B，C三点共线，故，因为a2b，a(1)b，所以(1)210，解得1或2.故选D.6设D，E分别是ABC的边AB，
7、BC上的点，.若12(1，2R)，则12的值为_解析：由()，得1，2，从而12.答案：7已知点P，Q是ABC所在平面上的两个定点，且满足0,2，若|，则实数_.解析：由0，知，所以点P是边AC的中点又2，所以22，从而有，故点Q是边AB的中点，所以PQ是ABC的中位线，所以|，故.答案：8已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，y，x，其中x，yR，且均不为0.若，则_.解析：xy，由，可设，即xy()，则.答案：9(2019湖北宜昌长阳二中月考)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，求实数m的值解：m，m.又()，设(01)，则m，m.10.(2019四川眉山仁寿一中周练)如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示，；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)如图，延长AD到点G，使2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.则ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba.(2)证明：由(1)，知，共线又，有公共点，B，E，F三点共线
