1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算Q 卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？X 1平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相_垂直_的向量，叫做平面向量的正交分解2平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向_相同_的两个_单位_向量i，j作为_基底_.(2)坐标：对于平面内的一个向量a，_有且只有一_对实数x、y，使得axiyj，我们把有序实数对_(x，y)_叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做向量a在_x_轴上的坐标，y叫做向量a在_
2、y_轴上的坐标(3)坐标表示：a(x，y)就叫做向量的坐标表示(4)特殊向量的坐标：i_(1,0)_， j_(0,1)_，0_(0,0)_.3向量与坐标的关系设xiyj，则向量的坐标_(x，y)_就是终点A的坐标；反过来，终点A的_坐标_就是向量的坐标(x，y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示即以原点为起点的向量与实数对是_一一对应_的知识点拨点的坐标与向量的坐标的联系与区别点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关1联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标(2)两个向量
3、相等，当且仅当它们的坐标相同即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同2区别：(1)书写不同，如a(1,2)，A(1,2)(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y)4平面向量的坐标运算设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应
4、坐标的_和_ab_(x1x2，y1y2)_减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_差_ab_(x1x2，y1y2)_数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的_相应坐标_a_(x1，y1)_向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则_(x2x1，y2y1)_Y 1判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“”，错误的打“”(1)一个坐标对应唯一的一个向量()(2)相等的向量，即坐标是相同的()(3)相等的向量其终点坐标与起点坐标是相同的()(4)一个向量的坐标等于其起点的坐标减去其终点的坐标()(5
5、)任何平面向量都有唯一的坐标()2已知A(5，1)，B(3，2)，是的坐标为(B)A(8,1)B(4，)C(8,1)D(8，1)解析(3，2)(51)(8，1)，(4，)3下列各组向量中，不能作为表示平面内所有向量基底的一组是(D)Aa(2,4)，b(0,3)Ba(2,3)，b(3,2)Ca(2，1)，b(3,7)Da(4，2)，b(8,4)解析D选项ab共线，不能作基底4已知a(1,3)，b(2,1)，则ba等于(C)A(3,2)B(3，2)C(3，2)D(2，3)H 命题方向1利用正交分解求向量的坐标典例1在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c|4，
6、分别计算出它们的坐标解析设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos452，a2|a|sin452，b1|b|cos1203()，b2|b|sin1203，c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)4()2.因此a(，)，b(，)，c(2，2)规律总结求向量坐标的三个步骤：跟踪练习1在平面直角坐标系中，|a|4，且a如图所示，则a的坐标为(D)A(2，2)B(2，2)C(2,2)D(2，2)解析xrcos(30)42，yrsin(30)4()2.命题方向2向量的坐标运算典例2已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求、2.思路分析先计
7、算出，的坐标，再进行向量的线性运算解析A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)(7,5)(4,6)(3，1)；(1,8)(4,6)(3,2)；(3，1)(3,2)(0,1)；(3，1)(3,2)(6，3)；22(3，1)(3,2)(6，2)(，1)(，1)规律总结(1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用(2)若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则跟踪练习2已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M、N的坐标和的坐标解析因为A(2,4)，B(
8、3，1)，C(3，4)，所以(1,8)，(6,3)设M(x，y)，则(x3，y4)由3得(x3，y4)3(1,8)，即，解得，即M(0,20)同理可得N(9,2)所以(9，18)X 方程思想的运用 典例3已知A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(6,9)，试用，表示.思路分析利用向量加减法的三角形法则，建立等量关系，代入坐标利用向量相等得到参数的值解析由已知可得(1,3)，(2,4)，(5,11)设xy.则(5,11)x(1,3)y(2,4)，即(5,11)(x2y,3x4y)，解得2.规律总结利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法设cxay
9、b，在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x，y的值跟踪练习3已知A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)和D(2,3)，以，为一组基底来表示.解析A(1，2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,2)，(5,1)，(3,5)(4,2)(5,1)(12,8)根据平面向量基本定理得，存在m，nR使得mn，(12,8)m(1,3)n(2,4)，3222.Y 误把向量的坐标当作点的坐标 典例4已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若(R)，试求当点P在第三象限时，的取值范围错解由已知得(52,43)(72,103)(3,1)(
10、5,7)(35，17)，又点P在第三象限，所以所以，故的取值范围为(，)错因分析错解中误把向量的坐标当作点P的坐标，混淆了点的坐标与向量的坐标的概念正解同错解得(35，17)，设点P(x，y)，则(x2，y3)于是(x2，y3)(35，17)，即又点P在第三象限，所以解得1.所以的取值范围为(，1)误区警示向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的跟踪练习4已知点O是ABC内一点，AOB150，BOC90，设a，b，c且|a|2，|b|1，|c|3，求向量，的坐标解析建立如图所示的平面直角坐标系因为|1，AOB150
11、，所以B(cos30，sin30)，所以B(，)因为|3，BOC90，所以C(3sin30，3cos30)，即C(，)所以(，)(，)(，)，易知A(2,0)，所以(，)(2,0)(2，)K 1向量正交分解中，两基底的夹角等于(B)A45B90C180D不确定2如图所示，向量的坐标是(D)A(1,1)B(1，2)C(2,3)D(2，3)解析由图知，M(1,1)，N(1，2)，则(11，21)(2，3)3已知平面向量a(0,1)，b(1,2)，则向量2ab等于(D)A(，)B(，)C(，)D(，)解析2ab2(0,1)(1,2)(0,2)(，)(，)4已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab(C)A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线解析ab(0,1x2)，与y轴平行5已知向量a(2,1)，b(1，2)若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_3_.解析由向量a(2,1)，b(1，2)，得manb(2mn，m2n)(9，8)，则，解得，故mn3.
