1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.2.3向量数乘运算及其几何意义 学 习 目 标 1通过实例理解并掌握向量数乘定义及其规定2理解两向量共线的含义，并能用向量共线定理解决简单的几何问题3掌握向量数乘运算的运算律，并会进行有关运算知识点一|向量的数乘运算阅读教材P87P88，完成下列问题知识梳理1向量数乘的定义一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(1)或反方向(1)上伸长为原来的|倍(2)当0|1时，有|a|a|，这意味
2、着表示向量a的有向线段在原方向(01)或反方向(10)上缩短为原来的|倍3向量数乘的运算律设，是实数，a，b是向量，则(1)结合律：(a)()a；(2)第一分配律：()aa a；(3)第二分配律：(ab)ab.特别地，我们有()a(a)(a)，(ab)ab.思考辨析1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)已知a，b为两个非零向量(1)2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍()(2)2a与5a的方向相反，且2a的模是5a的模的.()(3)2a与2a是一对相反向量()(4)ab与(ba)是一对相反向量()答案：(1)(2)(3)(4)知识点二|向量共线定理阅读教材P88P89，完
3、成下列问题知识梳理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.一般地，解决向量a，b共线问题，可用两个不共线向量(如e1，e2)表示向量a，b，设ba(a0)，化成关于e1，e2的方程()e1()e20，由于e1，e2不共线，则解方程组即可思考辨析2判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)a的方向与a的方向一致()(2)共线向量定理中，条件a0可以去掉()(3)对于任意实数m和向量a，b，若mamb，则ab.()答案：(1)(2)(3)小试身手1若|a|1，|b|2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()Ab2aBb2aCa2b Da2b答案：A2在四边形ABC
4、D中，若，则此四边形是()A平行四边形 B菱形C梯形 D矩形答案：C3化简：2(3a4b)7a_.答案：a8b 向量的线性运算【例1】化简下列各式：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2)2(2a8b)4(4a2b)解(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b.(2)原式(4a16b16a8b)(12a24b)2a4b.方 法 总 结解决向量线性运算问题的基本方法(1)向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并要注意向量的数乘所得结果仍是向量(2)向量的线性运算也可以通过方程形式来考查，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方
5、法求解.1(1)设向量a3i2j，b2ij，求(2ba)；(2)已知a与b，且5x2ya,3xyb，求x，y.解：(1)原式abab2baabab(3i2j)(2ij)i5j.(2)由解得题型二用已知向量表示相关向量【例2】如图，四边形OADB是以向量a，b为邻边的平行四边形，对角线交于点C，又，试用向量a，b表示，.解ab，(ab)，b(ab)ab.，()(ab)ab.ab.方 法 总 结用已知向量表示相关向量的基本思路用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未
6、知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.2(2018广东省汕头市模拟)如图，在ABC中，BD2DC若a，b，则()AabB.abCabD.ab解析：选C由题意可得，()ab.故选C3已知O是ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且20，则()AB2C3 D2解析：选A在ABC中，D为边BC的中点，2，2()0，即0，则.故选A题型三向量共线定理的应用多维探究常见的应用角度有：1判断或证明点共线2利用向量共线确定参数值3利用向量共线解决三角形问题角度1判断或证明点共线【例3】已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e18e2，e13e2，2e1e2，求证：A，B，D三点共线证明e13e2
7、，2e1e2，e14e2.又2e18e22(e14e2)，2，.AB与BD有公共点B，A，B，D三点共线方 法 总 结三点共线的证明问题及求解思路(1)证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据(2)若A，B，C三点共线，则向量，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据角度2利用向量共线确定参数值【例4】(2019山西大学附属中学期中)在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则()A BC D解析解法一：由2得2()，即，所以.解法二：因为()，所以.答案A角度3利用向量共线解决三角形
8、问题【例5】(2018河北省秦皇岛市期中)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B内心C重心 D垂心解析，.令，则是以A为起点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在BAC的平分线上，共线故点P的轨迹一定通过ABC的内心答案B方 法 总 结(1)表示与非零向量a同向的单位向量(2)解题时一定要灵活运用平面几何中图形的几何性质，如菱形的对角线平分其内角1掌握1种思路用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共
9、点，则这两条直线重合例如，若向量，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法2辨析2个易错点(1)是实数，a是向量，它们的积a仍然是向量实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如a，a均没有意义(2)共线向量定理ba中a0不能漏掉若ab0，则实数可以是任意实数；若a0，b0，则不存在实数，使得ba.3记住3个常用结论(1)以，为邻边作ABCD，且a，b，则对角线所对应的向量ab，ab.(2)在ABC中，若D为BC的中点，则()(3)在ABC中，若G为ABC的重心，则0.自测检评1已知ae12e2，b3e12e2，则3ab()A4e2 B4e1C3e16e2 D8e
10、2解析：选D3ab3(e12e2)(3e12e2)3e16e23e12e28e2.故选D.2化简：()A2ab B2baCba Dab解析：选B原式(a4b)(4a2b)(3a6b)2ba，故选B.3已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a2e13e2，be16e2，若a，b共线，则实数等于()A9 B4C4 D9解析：选B由a，b共线知amb，mR，于是2e13e2m(e16e2)，即(2m)e1(6m3)e2.由于e1，e2不共线，所以所以4.故选B.4设D为ABC所在平面内一点，3，则()AB.CD.解析：选A由题意得.故选A5若|a|5，b与a的方向相反，且|b|7，则a()Ab BbCb Db解析：选Bb与a反向，设ab(0)，|a|b|，则57，所以.所以ab.故选B.- 9 - 版权所有高考资源网
