1、高考资源网（） 您身边的高考专家23平面向量的数量积23.1向量数量积的物理背景与定义23.2向量数量积的运算律1.了解平面向量数量积的物理背景及其含义2.理解平面向量数量积的定义3掌握平面向量数量积的定义、性质、运算律并会应用,学生用书P49)1两个向量的夹角(1) 已知两个非零向量a，b(如图所示)，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b，并规定它的范围是0a，b在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，bb，a(2)当a，b时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作ab在讨论垂直问题时，规定零向量与任一向量垂直(3)当a，b0时，a与b同向；当a，b时，a与b反向；
2、当a，b或a，b中至少有一个零向量时，ab.2向量在轴上的正射影已知向量a和轴l，如图作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .3向量的数量积(内积)(1)物理背景：一个力F使物体发生位移s，所做的功W可以用下式计算：W|F|s|cos .其中|F|cos 就是F在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正射影的数量(2)定义：向量a与b的数量积
3、(或内积)：两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab.规定：零向量与任一向量的数量积为0.(3)数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是单位向量，是a与e的夹角，则eaae|a|cos ；abab0；当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；特别地：aa|a|2或|a|.(4)cosa，b(|a| b|0)(5)|ab|a|b|.4向量数量积的运算律已知向量a，b，c与实数，则交换律abba数乘向量的数量积(ab)(a)ba(b)分配律(ab)cacbc1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的数量积仍然是
4、向量()(2)若ab0，则a0或b0.()(3)若a，b共线ab|a|b|.()(4)若abbc，则一定有ac.()答案：(1)(2)(3)(4)2已知ab12，|a|4，a和b的夹角为135，则|b|()A12B3C6D3答案：C3已知|a|10，|b|12，且(3a)36，则a与b的夹角为()A60 B120 C135 D150答案：B4已知|a|5，向量a与b的夹角60，则向量a在b方向上的射影为_答案：向量数量积的运算学生用书P50(1)已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b)(2)如图，在ABCD中，|4，|3，DAB60，求：；.【解】(1)(a2b)(a
5、3b)aa5ab6bb|a|25ab6|b|2|a|25|a|b|cos 606|b|262564cos 60642192.(2)因为，且方向相同，所以与的夹角是0，所以|cos 03319.因为与的夹角为60，所以与的夹角为120，所以|cos 120436.本例(2)的条件不变，求.解：因，()()229167.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算 1.已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1
6、b2_解析：由题设知|e1|e2|1且e1e2，所以b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e3286.答案：62已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.解析：因为bc0，所以bta(1t)b0，即tab(1t)b20，又因为|a|b|1，a，b的夹角为60，所以t1t0，所以t2.答案：2利用数量积解决长度、垂直及夹角问题学生用书P50(1)已知|a|b|5，a，b，求|ab|，|ab|；(2)已知a，b是两个非零向量若|a|3，|b|4，|ab|6，求a与b的夹角；若|a|b|ab|，求a与ab的夹角【解】(1)ab|a|b|cosa，b55，
7、所以|ab| 5.|ab| 5.(2)因为ab|a|b|cosa，b，所以|ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b|6.又因为|a|3，|b|4，所以|cosa，b|.所以cosa，b.因为a，b0，所以a与b的夹角为或.如图所示，在平面内取一点O，作a，b，以，为邻边作平行四边形OACB，使|，所以四边形OACB为菱形，OC平分AOB，这时ab，ab，由于|a|b|ab|，即|，所以AOC，即a与ab的夹角为.(1)求模问题一般转化为求模平方，灵活应用aa|a|2，勿忘记开方(2)求向量夹角问题应用数量积的变形公式cos ，一般要求两个整体ab，|a|b|，不方便求出的，要寻求两者
8、关系，转化条件解方程组 已知x1是方程x2|a|xab0的根，且a24，a，b120，求向量b的模解：因为a24，所以|a|24，所以|a|2.把x1代入方程x2|a|xab0，得1|a|ab0，所以ab3，则ab|a|b|cosa，b2|b|cos 1203，所以|b|3，即向量b的模为3.平面向量数量积的综合应用学生用书P51已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角【解】由已知条件得，即得23b246ab0，所以2abb2，代入得a2b2，所以|a|b|，所以cosa，b.因为a，b0，所以a，b，即a与b的夹角为.应用数量积运算可以解决两向
9、量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题 已知a，b是非零向量，当atb(tR)的模取最小值时，(1)求t的值；(2)已知a与b共线同向，求证：b(atb)解：(1)|atb|2a22tabt2b2，即|atb|2b2t22abta2，所以当t时，|atb|有最小值(2)证明：因为a与b共线同向，所以ab|a|b|，所以t，所以b(atb)abt|b|2|a|b|a|b|0.所以b(atb)1两向量的数量积是一个数量，而不是向量，可结合数量积的几何意义去理解定义的实质2数量积的性质是由数量积的定义推出的，可在理解的基础上去记忆和应用3(ab)(cd)acadbcbd类似于多项式乘以多项式的运算法则
10、向量作为一种工具在解决几何问题中有着广泛的应用，几何问题向向量的转化是关键的一步，同时注意向量的数量积及向量的运算律的运用；在应用时还要注意向量的相关概念与一些几何概念的区别，如向量的夹角与直线的夹角就不相同1有4个式子：0a0；0a0；0；|ab|a|b|，其中正确的个数为()A4B3C2 D1解析：选C.0|0|a|cos 0，故正确，错误；00，故正确；而|ab|a|b|cos |a|b|cos |，故错误，从而选C.2已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab()A3B1C D2解析：选A.ab|a|b|cosa，b23.3设e1，e2是两个单位向量
11、，它们的夹角为60，则(2e1e2)(3e12e2)_.解析：(2e1e2)(3e12e2)6e7e1e22e67cos 602.答案：,学生用书P115(单独成册)A基础达标1若|a|4，|b|6，a与b的夹角为135，则ab等于()A12B12C12 D12解析：选D.ab|a|b|cos 1354612.2已知|b|3，a在b方向上的正射影的数量为，则ab等于()A3 BC2 D解析：选B.因为a在b方向上的正射影的数量为，所以|a|cosa，b，所以ab|a|b|cosa，b3.3已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，则(a2b)(a3b)等于()A72 B72C36 D36解析
12、：选B.因为ab|a|b|cos 6012，所以(a2b)(a3b)a2ab6b236129672.4如图，在ABC中，ADAB，|1，则()A2 BC D解析：选D.设|x，则|x，()|cosADBx1.5在ABC中，若2，则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形解析：选D.因为2，所以2.所以()()所以2.所以()0.所以0.所以ACBC.所以ABC是直角三角形6已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角为_解析：因为a(ba)aba22，又|a|1，所以ab3，即|a|b|cosa，b316cosa，b，所以cosa，b，所以a与b的夹角为.答
13、案：7已知a，b120，|a|2，|b|5，则|ab|_解析：|ab|2a22abb242252519.所以|ab|.答案：8若四边形ABCD是边长为1的菱形，BAD60，则|_解析：因为四边形ABCD是边长为1的菱形，BAD60，所以DCB60，所以|2|2|221212211 cosDCB3，所以|.答案：9设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(2)()0，试判断ABC的形状解：因为(2)()()()()()0，即|2|20，所以|.所以ABC为等腰三角形10已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab
14、与向量a3b互相垂直？解：(1)由题意知|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影为|a|cos 1，所以cos ，所以.(2)易知ab1，则(a2b)bab2b2123.(3)因为ab与a3b互相垂直，所以(ab)(a3b)a23abba3b24313740，所以.B能力提升11在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足 2，则()等于()A BC D解析：选A. 因为AM1，且2.所以|.如图，()22()2.12已知圆O是ABC的外接圆，M是BC的中点，AB4，AC2，则_解析：因为M是BC的中点，所以()，又O是ABC的外接圆圆心，所以|cos BAO|28，同理可得|22，
15、所以()415.答案：513已知两个非零向量a，b，夹角120，且(a3b)(7a5b)，问是否存在实数，满足(a4b)(ab)?解：由(a3b)(7a5b)，得(a3b)(7a5b)0.即7|a|215|b|216ab0.由(a4b)(ab)，得(a4b)(ab)0，即|a|24|b|2(14)ab0，又ab|a|b|cos 120|a|b|，把代入得|a|b|，再代入得(4)|a|20.因为|a|0，所以40，即.故存在实数，使(a4b)(ab)14(选做题)在四边形ABCD中，已知AB9，BC6，2.(1)若四边形ABCD是矩形，求的值；(2)若四边形ABCD是平行四边形，且6，求与夹角的余弦值解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以0，由2，得，.所以22368118.(2)由题意，所以22361818.又6，所以186，所以36.设与的夹角为，又|cos 96cos 54cos ，所以54cos 36，即cos .所以与夹角的余弦值为.高考资源网版权所有，侵权必究！
